РАЗДЕЛ 2
ПРОБЛЕМА УЧЕТА ГЕОМЕТРИЧЕСКОЙ ИНФОРМАЦИИ ПРИ
РЕШЕНИИ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ
2.1. Анализ конструктивных средств математического моделирования обратной задачи аналитической геометрии и методов учета геометрической информации
Известен широкий круг научно-технических проблем, при решении которых необходимо учитывать и преобразовывать геометрическую информацию. В простейших случаях (например, при задании информации о машиностроительном чертеже для хранения её в памяти ЭВМ) вполне можно ограничиться тем или иным способом кодирования элементов чертежа или в крайнем случае их сканированием. Такие задачи в большинстве случаев носят чисто технический характер и их решение не сопряжено с преодолением принципиальных затруднений. Вместе с тем во многих случаях простого кодирования геометрической информации недостаточно, а необходимо описание её в той форме, какая принята в аналитической геометрии, т.е. с помощью уравнений или неравенств. Речь идет о том, чтобы так же, как, например, для прямой на плоскости или шара в пространстве, можно было бы и для таких "сложных" геометрических объектов, как усеченный конус с цилиндрическим отверстием, ломаная линия, зубчатое колесо и других строить уравнения (или неравенства ). Здесь - функция, которая имеет вид единого аналитического выражения и обладает некоторыми дополнительными свойствами.
В историческом плане сформулированная проблема восходит еще к Декарту и известна в литературе как обратная задача аналитической геометрии: задан геометрический объект, требуется написать его уравнение. (Прямая задача: дано уравнение , найти соответствующий ему в геометрический объект , т.е. совокупность всех точек , которые удовлетворяют уравнению .) Во времена Декарта запас изученных линий и поверхностей (локусов) мало чем отличался от того, каким располагали математики древности. Метод координат позволил беспредельно увеличивать число изученных локусов, так как каждое новое уравнение давало и новый локус. Это привело к тому, что в дальнейшем основное внимание было уделено изучению локусов, описываемых заданными уравнениями. Обратная же задача рассматривалась лишь для простейших геометрических объектов: прямой, конических сечений, эллипсоидов, параболоидов и др.
В аналитической геометрии обычно ограничиваются системой операций, применяемых для написания уравнений, которая приводит к множеству целых рациональных функций (полиномов). Заметим [57], что множество всевозможных суперпозиций системы h называют множеством h-реализуемых функций и обозначают . Множеству соответствует множество N локусов, описываемых уравнениями и называемых алгебраическими. Cоответствующее множеству М множество N алгебраических чертежей вполне определяется заданием базисной системы и в конечном счете все свойства алгебраических чертежей определяются свойствами системы .
Однако множество алгебраических чертежей все же весьма "бедно". Оно не содержит, например, таких локусов, как прямоугольник, двутавр и т.д. Правда, существует принципиальная возможность аппроксимации сложных локусов алгебраическими (это следует из известной теоремы Вейерштрасса о приближении непрерывных функций полиномами [3]), но сама по себе реализация её весьма сложная проблема. То же можно сказать и относительно известной теоремы о возможности сколь угодно хорошей аппроксимации замкнутых кривых на плоскости лемнискатами (т.е. также алгебраическими кривыми [75]). В ряде работ используется понятие полуалгебраического множества (полуалгебраического чертежа). К числу полуалгебраических относятся чертежи, точки которых удовлетворяют конечным системам алгебраических уравнений и неравенств, а также объединения конечного числа таких чертежей. Множество полуалгебраических чертежей обозначают N [57].
Множество полуалгебраических чертежей N существенно более широкое, чем множество алгебраических. Например, квадрат, ломаная линия, усеченный конус и другие принадлежат, очевидно, множеству полуалгебраических чертежей. Однако то, что при таком подходе они задаются не одним уравнением вида , а системами систем уравнений и неравенств - серьезный конструктивный недостаток, проявляющийся в тех случаях, когда требуется учитывать геометрическую информацию единым аналитическим уравнением. В.Л.Рвачев поставил вопрос: нельзя ли и такие чертежи, как полуалгебраические, задавать одним уравнением, подобно тому, как это можно сделать для прямых, окружностей, эллипсоидов и других линий и поверхностей? Решение этого вопроса он начал искать на пути расширения базисной системы
Другим важным множеством, более широким, чем множество реализуемых функций, является множество элементарных функций , где
- множество так называемых основных элементарных функций (примитивов), арифметических операций и констант. Множество элементарных чертежей обозначают - N. По аналогии с множеством полуалгебраических чертежей вводится множество полуэлементарных чертежей N, которое включает точечные множества, удовлетворяющие системам элементарных уравнений и неравенств, и конечные объединения таких множеств [57]. На плоскости, например, к числу полуэлементарных принадлежат не только чертежи, составленные из кусков алгебраических кривых, но и из синусоид, тангенсоид, логарифмических и любых других элементарных кривых.
Может показаться, что, по аналогии с множеством алгебраических чертежей N, для которого множество полуалгебраических чертежей N оказалось существенно более широким, множество полуэлементарных чертежей N также шире множества элементарных чертежей N. В работах В.Л.Рвачева и его учеников [56-62] показано, что это не так: всякий полуэлементарный чертеж является элементарным. Таким образом: N= N. Дело в том, что множество содержит функции с "логическим зарядом", а именно R-функции, которые и позволили решить обратную задачу аналитической геометрии. В частности, это означает, что символов основных элементарных функций, арифметических операций и констант достаточно для того,