РОЗДІЛ 2
МЕТОДИКА РОЗРАХУНКУ ОПТИМАЛЬНИХ ПАРАМЕТРІВ ДЛЯ ЗАДАЧІ СИНТЕЗУ ОПТИЧНИХ
ПОКРИТТІВ
2.1. Основні положення.
В загальному вигляді задача оптимізації параметрів оптичного покриття
формулюється наступним чином: потрібно мінімізувати скалярну функцію в області
, тобто
, (2.1)
де — -мірний вектор-стовпчик, визначений на лінійному просторі (значок означає
операцію транспонування). Вектор називається вектором конструктивних
параметрів, координатами якого в нашому випадку є показники заломлення і
товщини шарів покриття, тобто .
Допустима область визначається можливістю практичної реалізації шарів
покриття. При конструюванні інтерференційних покриттів до обмежень відносяться
верхні та нижні границі інтервалу зміни показників заломлення та товщин шарів:
. (2.2)
Оскільки у виразі (2.2) допустимі рівності, то область являється замкнутою. У
протилежному випадку вона називається відкритою.
Обмеження на показники заломлення шарів пов’язані з наявністю плівкоутворюючих
матеріалів, які можуть бути використані при виготовленні покриття. Наприклад,
при конструюванні покриттів, призначених для роботи у видимій та ближній
інфрачервоній областях спектру, показники заломлення зазвичай вибирають із умов
. Для дальньої ультрафіолетової області показник заломлення може досягати 5.0.
Нижнє обмеження на товщину шарів може бути пов’язане з необхідністю отримання
суцільних плівок на підкладинках, володіючих мікронерівностями поверхні, або з
обмеженнями за чутливістю використовуваної контрольно-вимірювальної апаратури.
Реально складає 50 нм. Верхнє обмеження зазвичай пов’язане з вимогами
механічної стійкості шарів. Як правило, оптичну товщину шару вибирають не
більшою, ніж . Таким чином, при машинному конструюванні покриттів на відміну
від аналітичних методів обмеження на параметри шарів враховують уже на етапі
формулювання задачі.
Обмеження типу нерівностей (2.2) можна легко виключити із розгляду. Для цього
використовують стандартний прийом, який полягає у введенні нової змінної , яка
зв’язана з відношеннями виду [3]
(2.3а)
або
, . (2.3б)
Тут при довільних значеннях . Таке перетворення змінних зводить задачу (2.1) до
задачі безумовної мінімізації.
Кожному значенню вектора конструктивних параметрів відповідає точка на
гіперповерхні функції , причому ця відповідність є взаємно однозначною.
Сукупність параметрів шарів покриття, що забезпечує мінімальне значення функції
, будемо позначати через . Значення функції називається глобальним мінімумом,
якщо для всієї допустимої області виконується умова . Якщо ж ця умова
виконується тільки для деякої частини допустимої області, то називається
локальним мінімумом.
Оскільки характеристики інтерференційного покриття нелінійно залежать від
конструктивних параметрів, то з обчислювальної точки зору задача (2.1) – є
задачею нелінійного програмування. В загальному випадку її розв’язок полягає в
побудові послідовності векторів конструктивних параметрів, які забезпечують
монотонне спадання цільової функції:
.
Процедура пошуку мінімуму нелінійної функції складається з декількох етапів
(рис. 2.1). Передусім необхідно вибрати нульове (початкове) наближення в
області, де ітераційний процес, що застосовується є збіжним. Потім
перевіряється умова припинення пошуку. Якщо цей критерій не задовольняється, то
починається безпосередній пошук. Перший етап –визначення напрямку переміщення
робочої точки в просторі можливої варіації параметрів, а другий етап – вибір
зсуву вздовж цього напрямку. Як правило, цикл виконується багато разів, причому
отриманий на кожній ітерації результат використовується як нульове наближення
для наступної ітерації.
Досить часто, використовуючи одне нульове наближення, знайти глобальний
максимум не можна. Тому на практиці це роблять таким чином: 1) область, в якій
шукається екстремум цільової функції розбивається на невеликі підобласті, на
центрах яких як нульових наближеннях перевіряють роботоздатність того чи
іншого ітераційного алгоритму. Якщо при цьому потрібний критерій поведінки
цільової функції виконується, то можна процес продовжити до критерію припинення
ітераційного процесу, в протилежному випадку необхідно впевнитись, що
екстремуму потрібного характеру в даній підобласті немає; 2) нульові наближення
визначаються методами випадкового пошуку. Для достовірності розв’язання задачі
доцільно використовувати обидва підходи до визначення початкового наближення.
Для визначення глобального максимуму вибиралась велика кількість початкових
наближень. Із отриманих локальних максимумів вибиралось найбільше значення, яке
і вважалось глобальним максимумом.
2.2. Застосування методів багатовимірного пошуку до розв’язання оберненої
задачі синтезу.
В загальному випадку ітераційні методи [101–119] представляються у вигляді:
, , (2.4)
де вектор визначає напрям переміщення робочої точки на -ій ітерації, а –
невід’ємне значення кроку , мінімізуючи цільову функцію вздовж напрямку .
Способи формування вектора і визначення оптимального кроку по суті визначають
різні пошукові методи. Вибір і виконується в значній мірі незалежно, і тому має
сенс розглядати їх окремо.
1. Визначення оптимального розміру кроку (одновимірна мінімізація). Більшість
пошукових методів включають одновимірну мінімізацію як підзадачу. Її мета
полягає в забезпеченні спадання цільової функції в напрямку вектора . В деяких
методах визначення потрібно виконувати з більшою точністю, в других достатньо
лише зафіксувати спадання цільової функції в напрямку .
У найбільш простому варіанті одновимірного пошуку крок покладається сталим. В
цьому випадку після кожного кроку перевіряється умова монотонного с
- Киев+380960830922