РАЗДЕЛ 2
ИССЛЕДОВАНИЕ ТОЧНОСТИ ПАРАЛЛЕЛЬНЫХ БЛОЧНЫХ МЕТОДОВ ИНТЕГРИРОВАНИЯ ДЛЯ МОДЕЛИРОВАНИЯ ДВИЖЕНИЯ КОСМИЧЕСКИХ АППАРАТОВ
Моделирование динамических объектов сводится к интегрированию обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ). Как отмечается в [50, 51], в последнее время появилось большое количество численных методов интегрирования ОДУ, которые ориентированы на вычислительные системы с параллельной архитектурой, однако практическое использование большинства методов не всегда оправдано, поскольку многие из них либо обладают численной неустойчивостью, либо имеют очень сложную структуру, приводящую к потере эффективности. Блочные методы интегрирования обладают "внутренним" параллелизмом, поскольку допускают одновременное вычисление функций правых частей и решений системы ОДУ в нескольких точках независимой переменной.
В [50] исследована сходимость и получены аналитические оценки погрешности блочных методов интегрирования, зависящие от шага дискретизации. Для практических целей моделирования динамических объектов (моделирование движения КА) представляет интерес знание погрешностей параллельных блочных методов интегрирования, которые зависят не только от шага дискретизации, но и от конкретной программной реализации метода интегрирования, характера правых частей уравнений, метода округления результатов счета, аналитическое получение которых часто связано со сложностью и громоздкостью выкладок.
Поэтому целесообразно разработать методику экспериментальной оценки точности параллельного интегрирования уравнений движения КА и на ее основе провести исследование точности параллельных блочных методов.
2.1. Параллельные блочные методы интегрирования
Для параллельных процессоров разработаны параллельные блочные методы интегрирования [35, 36, 50]. Если уравнения движения КА (1.1)-(1.3) рассматривать как систему дифференциальных уравнений в общей постановке задачи Коши:
, (2.1)
где - вектор состояния параметров движения КА;
- функция правых частей уравнений,
то для описания численных параллельных блочных методов введем равномерную сетку , которую разобьем на блоки, состоящие из точек (рис. 2.1). Точки внутри блоков перенумеруем так, что . Тогда каждую точку сетки можно обозначить с помощью номера блока и номера точки внутри блока как .
Рис. 2.1. Разбиение интервала интегрирования на блоки
Особенностью блочных методов является возможность одновременного вычисления значений функции и решения во всех точках блока. Данная особенность методов согласуется с архитектурой параллельных вычислительных систем. Метод является одношаговым, если для расчета значений в новом блоке используется только последняя точка предшествующего блока. Если для расчета значений в новом блоке используются все точки предшествующего блока, то метод является многошаговым.
В общем случае уравнения одношаговых методов для блока из точек представляются в виде:
, , (2.2)
для многошаговых блочных методов уравнения могут быть записаны как:
, , (2.3)
где ;
и - элементы матриц и , вид которых зависит от порядка точности метода и количества точек блока, .
Так, матрицы и для многошагового двухточечного метода определяются:
, , (2.4)
а для одношагового двухточечного метода:
, , (2.5)
в [50] приведены значения элементов матриц и для четырехточечных одношагового и многошагового методов.
Уравнения (2.2) и (2.3) представляют собой неявные методы решения задачи (2.1) и искомое значение входит в них нелинейно, поэтому для их решения необходимо использовать итерационные процессы. Для многошагового метода формулы итерационного процесса можно записать [50]:
, , (2.6)
, , , (2.7)
а для одношагового метода эти формулы имеют вид:
, , (2.8)
, , , (2.9)
где - номер итерации.
Формулы (2.6) и (2.8) необходимы для вычисления начальных приближений для процесса итераций.
Рассмотрим более подробно параллельные блочные одношаговые двухточечный и четырехточечный методы, многошаговые двухточечный и четырехточечный методы, а также использование комбинированных методов. Комбинированные методы представляют собой последовательности одношагового блочного метода и одного или нескольких многошаговых блочных методов.
2.1.1. Параллельные блочные одношаговые методы интегрирования
Параллельный блочный одношаговый метод с двухточечным блоком реализуется формулами [35]:
. (2.10)
Как видно из структуры приведенных рекуррентных формул, вычисления значений функций , и получаемых решений , можно выполнять одновременно (параллельно). Таким образом, решение в -м блоке получается сразу в двух точках: , - это, соответственно, , , причем, значение является начальным для следующей итерации, т.е. выступает в качестве в -м блоке в приведенных выше формулах. На рис. 2.2 показана условная схема процесса итераций.
Рис. 2.2. Схема процесса итераций двухточечного блочного метода
Параллельный блочный одношаговый метод с четырехточечным блоком реализуется формулами [35]:
(2.11)
Здесь также вычисления значений функций , , , и получаемых решений , , , можно выполнять параллельно. В данном методе решение в -м блоке получается сразу в четырех точках: , , , - это, соответственно, , , , , причем, значение является начальным для следующей итерации, т.е. выступает в качестве в -м блоке в приведенных выше формулах. Условная схема процесса итераций показана на рис. 2.3.
Рис. 2.3. Схема процесса итераций четырехточечного блочного метода
2.1.2. Параллельные блочные многошаговые методы интегрирования
Пусть необходимо обеспечить моделирование управляемого динамического объекта в реальном времени и такт управления (базовый такт управления) больше (например, кратен) суммы нескольких тактов интегрирования уравнений модели этого объекта. Если для интегрирования используется параллельная вычислительная система, то можно применить блочные методы интегрирования.