Розділ 2
Математична модель комп’ютерного томографа, основана на використанні
інтерлінації функцій та прямого методу Фур’є
2.1. Означення інтерлінації функцій. Задачі прикладного характеру, що приводять
до інтерлінації функцій двох змінних
В теорії наближення функцій двох і більше змінних в останні десятиліття
інтенсивно розвивається розділ, присв’ячений побудові, дослідженню та деяким
застосуванням операторів, які відновлюють (можливо, наближено) функції f(x) за
відомими їх слідами та слідами їх частинних похідних до фіксованого порядку N
на M (Мі2) m - вимірних (0Ј m
називаються операторами інтерполяції (inter - між, pol - полюс, точка). У
випадку m=1 інформація про функцію f(x) задається слідами f та її частинних
похідних на М лініях і такі оператори будемо називати операторами інтерлінації
(inter - між, line - лінія). У випадку інформація про функцію f(x) задається
слідами f та на М поверхнях в Rn (nі3) і такі оператори наближення будемо
називати операторами інтерфлетації (inter-між, flat- поверхня плоска). В
зарубіжній літературі для операторів інтерлінації та інтерфлетації
використовується назва “blending function interpolation” - “мішана інтерполяція
функцій”.
Враховуючи, що інтерлінація є природним узагальненням інтерполяції, в теорії
інтерлінації використовується термінологія з теорії інтерполяції (інтерполююча
функція - інтерлінуюча функція - інтерфлетуюча функція, вузли інтерполяції -
лінії інтерлінації - поверхні інтерфлетації тощо).
Серед інженерних задач, які приводять до інтерлінації [49]-[51], слід відмітити
наступні:
- Картографія дна океану за даними гідролокації;
- Побудова поверхні космічного тіла за даними радіолокації;
- Проектування корпусів літаків, суден, автомобілів та деякі інші.
2.2. Поліноміальна інтерлінація на системі взаємно перпендикулярних прямих
2.2.1. Інтерполяційний поліном Лагранжа від однієї змінної. Інтегральне
представлення залишку.
Нехай нам задано вузлів інтерполяції та відповідні їм значень функції однієї
змінної, що інтерполюється . При цьому аналітичне подання шуканої функції може
біти невідомо. Поліномом Лагранжа називається поліном степеня (мінімально
можливого) з такими властивостями .
Часто використовується термін “інтерполяційний поліном Лагранжа”. Поліном
Лагранжа можна представити у наступному вигляді:
Відомо, що для неперервних залишок
можна представити у вигляді:
,
де деяке число з інтервалу ,
Відзначимо, що ці формули мають наступні недоліки [51, стор.5].
1. Функція, що інтерполюється повинна мати неперервну похідну .
2. У формулі для залишку значення невідоме, на практиці користуються
нерівністю:
3. Для практичного знаходження залишку у точці у інтегральній формі необхідно
знайти кратний ітерований інтеграл від , що при може привести до великих
об’ємів обчислень.
У роботі Литвина О.М. [51, стор.8-9] отримано інше подання залишкового члена,
основане на використанні класичної формули Тейлора [58]. Ця формула є більш
простою у тому сенсі, що для його знаходження треба обчислювати лише однократні
інтеграли. Наведемо цю теорему.
Твердження 2.1 (О.М.Литвин [51]). Якщо , то залишок має вигляд
Звертаємо увагу на те, що існує інший підхід до отримання залишкового члена
інтерполяційної формули Лагранжа, що описаний у праці академіка
С.М.Нікольського [88]. Цей підхід потребує введення додаткового вузла, що
збільшує кількість арифметичних операцій при практичній роботі з наведеними
формулами.
Зауважимо, що у комп’ютерній томографії інтерполяційні поліноми Лагранжа широко
використовуються при побудові квадратурних та кубатурних формул, при
перенесенні даних, що подаються на спецпроцесор з комп’ютерного томографа, з
полярної сітки на декартову сітку (з метою використання швидкого перетворення
Фур’є) тощо .
2.2.2. Інтерполяційний поліном Лагранжа від двох змінних. Інтегральне
зображення залишку.
Нехай нам задано дві множини взаємно перпендикулярних прямих, які, не зменшуючи
загальності, вважаємо паралельними відповідним осям координат:
Нехай функція f(x)=f(x1,x2)О(R2), r і 1 задана своїми слідами на цих прямих:
(2.1)
(2.2)
Нехай , тоді, враховуючи, що fО(R2) можна довести справедливість рівностей
(2.3)
Введемо до розгляду інтерполяційні оператори Лагранжа та по змінних x1 та x2
відповідно:
(2.4)
(2.5)
де - базисні поліноми Лагранжа степеня М-1, N-1 відповідно із властивостями
(2.6)
Для цих базисних поліномів можна написати явні формули:
(2.7)
(2.8)
Оператори мають властивості:
(2.9)
Інтерполяційний поліном Лагранжа від двох змінних має вигляд
(2.10)
Для похибки його наближення справедлива наступна тоерема.
Теорема 2.1. Оператор
інтерлінує функцію f(x) на прямих Г1i, Г2j :
(2.11)
та для залишку наближення функцій справедлива формула
(2.12)
Доведення. Нехай . Тоді, враховуючи (2.9), отримаємо
Таким чином перша група властивостей (2.11) доведена. Аналогічно доводиться і
друга група властивостей (2.11).
Запишемо наступні операторні рівності
(2.13)
Враховуючи, що
Для отримаємо
Підставимо ці вирази в операторне рівняння (2.13) та після групування членів з
множниками із урахуванням тотожностей отримаємо доведення теореми 2.1.
Наслідок до теореми 2.1.
2.2.3. Оператори поліноміальної інтерлінації на системі
взаємно-перпендикулярних прямих.
Оператори поліноміальної інтерлінації визначаються формулою
Теорема 2.2. Для залишку наближення функцій справедлива формула
(2.14)
Доведення.
Звідси, враховуючи (2.13) отримаємо доведення (2.14).
Теорема 2.2 дов