РОЗДІЛ 2
КОРЕЛЯЦІЙНИЙ ТА СПЕКТРАЛЬНИЙ АНАЛІЗ ДЕЯКИХ КЛАСІВ
НЕСТАЦІОНАРНИХ ВИПАДКОВИХ ФУНКЦІЙ
2.1. Опис нестаціонарності за допомогою нових функціональних та числових
характеристик, які використовуються для обробки даних у випадкових процесах
У цьому розділі запропоновано єдиний підхід до опису відхилення випадкової
функції від заданого класу випадкових функцій, заснований на рівняннях у
часткових похідних або різницях, яким задовольняють кореляційні функції тих, чи
інших класів випадкових функцій. Так, для стаціонарного випадкового процесу
кореляційна функція є розв'язком наступного рівняння в часткових похідних
, (2.1)
яке можна розглядати як необхідну та достатню умову на функцію двох змінних,
для того щоб вона була кореляційною функцією стаціонарного випадкового процесу
(з урахуванням ермітової невід`ємності початкових умов). Якщо кореляційна
функція залежить від суми аргументів, то вона є розв`язком рівняння
(ганкелева випадкова функція). (2.2)
Для стаціонарних у широкому змісті випадкових послідовностей кореляційна
функція задовольняє рівнянню в часткових різницях:
, (2.3)
а для ганкелевих випадкових послідовностей відповідно:
. (2.4)
У разі, коли випадковий процес (послідовність) не є стаціонарним (ганкелевим)
рівняння (2.1), (2.3) ((2.2), (2.4)) для кореляційної функції не
задовольняється, для опису характеру відхилення від нестаціонарності
(ганкелевості) необхідно досліджувати структуру перетворень або ().
Поштовхом для наступних досліджень є операторний підхід, який полягає в тому,
що випадковий процес (послідовність) занурюється в гільбертів простір,
скалярний добуток у якому породжується відповідною кореляційною функцією. Тоді
проблема побудови кореляційної теорії нестаціонарних (неганкелевих) випадкових
функцій зводиться до деякої детермінованої проблеми для гільбертовозначних
функцій.
Надалі, при побудові кореляційної теорії обмежимось кривими (послідовностями )
у гільбертівому просторі, що мають зображення (які далі називатимемо
еволюційними) вигляду
, (2.5)
де фіксований елемент гільбертова простору , а лінійний обмежений оператор, що
діє у цьому просторі.
Якщо А самоспряжений оператор, то стаціонарний випадковий процес, а ганкелева
випадкова послідовність. (Для стаціонарних випадкових послідовностей А повинен
бути унітарним оператором, а для ганкелевих випадкових процесів , де В
самоспряжений оператор).
Як уже відзначалося в підрозділі 1.2 еволюційна зображеність стаціонарних
випадкових функцій є наслідком залежності кореляційної функції від різниці
відповідних аргументів.
Необхідні та достатні умови еволюційної зображеності в термінах кореляційної
функції для випадкових процесів були отримані в [124] та мають наступний
вигляд:
1) ермітово невід`ємна функція;
2) двічі неперервно диференційовна;
3) , де довільні комплексні числа, а .
Легко перевірити, використовуючи доказ [124], що для випадкових послідовностей
критерій еволюційної зображеності має наступний вигляд:
1) ермітово невід`ємна функція;
2) , де довільні комплексні числа, а .
Саме зображення (2.5) дозволяє дати опис характеру відхилення від
стаціонарності або ганкелевості. Так
(2.6)
де . Відповідно, .
Ці співвідношення [22, 24] є ключовими (фундаментальними) для подальших
дисертаційних досліджень.
З (2.6) можна побачити, що характер відхилення від стаціонарності або
ганкелевості зв`язаний із відхиленням оператора А від самоспряженого. У
найпростішім випадку, коли (тобто оператор А всюди в , за винятком
одновимірного підпростору, є самоспряженим). (, через те, що в цьому випадку та
.
Ці прості міркування є принциповими для побудови кореляційної теорії
нестаціонарних (неганкелевих) випадкових функцій. Якщо ввести наступні функції
двох змінних , то легко підрахувати, що максимальні ранги квадратичних форм
вигляду у випадку дорівнюють одиниці. Відзначимо, що для стаціонарних
(ганкелевих) функцій ранги цих форм дорівнюють нулю через те, що . Таким чином,
функції , а також ранги відповідних квадратичних форм служитимуть
функціональними (числовими) характеристиками відхилення випадкових функцій від
стаціонарних або ганкелевих.
Означення 2.1 Інфінітезимальною кореляційною функцією (кореляційною різницею)
назвемо функцію .
Означення 2.2 Рангом (квазірангом) назвемо максимальні ранги квадратичних форм
.
Відзначимо, що означення 2.1 відрізняється від означення ІКФ, що було введено в
[77].
Покажемо, що випадковий процес зі стаціонарною першою похідною (стаціонарними
приростами), а також послідовності зі стаціонарними першими приростами
укладаються в запропоновану вище схему опису нестаціонарності та більш того,
мають ранг нестаціонарності, який дорівнює двом. Це свідчить про те, що
запропонована схема класифікації нестаціонарності є детальнішою, ніж досі
існуюча.
Розглянемо випадковий процес, у якого перша похідна є стаціонарним випадковим
процесом з кореляційною функцією, що залежить від різниці аргументів , де , ,
тобто використаємо еволюційне зображення стаціонарного випадкового процеса. Для
маємо , або
, де. Тоді для кореляційної функції маємо
. Для ІКФ легко отримати вираз , де
– інволютивна матриця, тобто вона самоспряжена, а її квадрат є одиничною
матрицею. Звідси випливає, що .
Розглянемо випадковий процес , у якого перша похідна є ганкелевим випадковим
процесом. , , кореляційна функція якого залежить від суми аргументів .
,
,
де , – інволютивна матриця .
Розглянемо стаціонарну випадкову послідов
- Київ+380960830922