РОЗДІЛ 2
ПОРІВНЯЛЬНА ОЦІНКА МЕТОДІВ ЕЛЕКТРОДИНАМІКИ З ВРАХУВАННЯМ СПЕЦИФІКИ ПОСТАВЛЕНОЇ
ЗАДАЧІ. РОЗРОБКА МАТЕМАТИЧНИХ МОДЕЛЕЙ.
2.1.Загальні відомості про методи рішення задач електродинаміки.
Різноманітність та специфічність задач електродинаміки, до яких належить і
аналіз розподілу електромагнітного поля в тілі людини від зовнішніх джерел, не
дозволяє використовувати єдиний універсальний метод для їх рішення. Це пояснює
наявність значної кількості методів, кожний з яких є ефективним тільки для
певного класу задач. Тому виникає необхідність при рішенні поставленої задачі
провести аналіз існуючих методів і вибрати той з них, що забезпечує високу
ефективність та достатню точність.
Всі методи, що існують в електродинаміці, можна поділити на дві великі групи :
аналітичні та чисельні. Вибір того чи іншого методу залежить від специфіки та
складності поставленої задачі. Характерною особливістю аналітичних методів є
одержання результату у формульному вигляді, що дає можливість виконувати аналіз
результатів розв’язку задачі за одержаним формульним виразом і в разі
необхідності легко визначати чисельний результат. Аналітичне рішення задач
вдається знайти тільки для моделей, де використовуються спрощені початкові
умови. Через це значно звужується коло задач, що можна строго розв’язати даними
методами. При вирішенні складних задач виникає необхідність або сильно
ідеалізувати задачу, або відмовлятись від її теоретичного дослідження і
переходити до експерименту.
В чисельних методах рішення електродинамічної задачі зводиться до складання
алгоритму, в результаті якого вихідні числові дані задачі перетворюються в
числове її рішення. Розвўязок лінійних задач електродинаміки часто зводиться до
рішення системи лінійних алгебраїчних рівнянь. Клас чисельних методів, що
зводять граничну задачу математичної фізики до рішення системи алгебраїчних
рівнянь, називають прямими методами. Позитивними рисами чисельних методів є
широка область їх використання. На основі цих методів розроблені програми для
ЕОМ , кожна з яких дозволяє розв’язувати цілий клас задач. В багатьох випадках
відпадає необхідність в ідеалізації задачі, що дає можливість фізичний
експеримент замінити симулюванням, тобто дослідженням на основі математичного
моделювання. Вибір того чи іншого методу залежить від характеру поставленої
задачі. Задачі аналізу можна поділити на внутрішні та зовнішні. Формулювання
внутрішньої задачі зводиться до знаходження розв’язку рівнянь Максвелла в
деякій області V , що обмежена ззовні поверхнею S при умові виконання на S
граничних умов електродинаміки.
До зовнішніх відносяться задачі розв’язку рівнянь Максвелла в необмеженому чи
обмеженому просторі і знаходження розподілу поля для заданого розподілу джерел.
Поставлена в даній роботі задача за своїм характером відноситься до зовнішніх
задач електродинаміки.
В обмежених середовищах підхід до розв’язку задачі суттєво залежить від
співвідношення довжини хвилі l і розміру тіла L. Розрізняють три характерні
діапазони [29]:
1.Квазістатичний діапазон, якщо L/l << 1 ;
2.Резонансний діапазон, якщо L/l » 1. В цьому випадку параметри середовища
можуть швидко змінюватись на віддалі l ;
3.Квазіоптичний діапазон, якщо L/l >>1. В цьому випадку параметри міняються
мало на віддалі l.
Існують певні особливості розв’язку рівнянь Максвелла в кожному з цих
діапазонів. У квазістатичному діапазоні розв’язок рівянь Максвелла подають у
вигляді розкладання векторів поля в ряд по степенях kL = ( 2Чp / l ) ЧL, тобто
за малим параметром задачі [30, 31]. Таким шляхом електродинамічна задача
зводиться до послідовного рішення електростатичних та магнітостатичних задач,
які є більш простими за рахунок їх скалярності і заміни рівняння Гельмгольца
рівняннями Лапласа або Пуасона. В більш простих випадках ці рівняння вдається
розв’язати аналітично, в складніших необхідно застосовувати чисельний
розв’язок.
Резонансний діапазон є найбільш складним для досліджень, оскільки вимагає
строгих рішень рівнянь Максвелла. Досить поширеними аналітичними методами
розв’язку таких задач є метод власних функцій (метод розділення змінних) і
метод інтегральних перетворень [32, 33]. При використанні цих методів важливим
є вибір системи координат так, щоб граничні поверхні або поверхні рівних
параметрів середовищ співпадали з координатними поверхнями. Після вибору
відповідної системи координат знаходять розв’язок однорідного рівняння
Гельмгольца. Ці розв’язки при певних умовах утворюють повні ортогональні
системи функцій, за якими розв’язок неоднорідного рівняння може бути
розкладений або в ряд (метод власних функцій), або в інтеграл (метод
інтегральних перетворень). Під власними функціями jІ і власними значеннями
оператора gI розуміють такі функції, що перетворюються оператором A в себе з
множником gI згідно виразу [34, 35] :
АЧjІ = gI Ч jI . ( 2.1 )
Сукупність власних значень називають спектром оператора. У випадку співпадіння
оператора А зі своїм спряженим значенням оператор називається самоспряженим.
Наприклад, для самоспряженості диференційних операторів необхідно співпадіння
їх виразів і граничних умов. Оператори Лапласа при відсутності втрат у стінках
резонаторів та хвилеводів також є самоспряженими. Доведено, що власні функції
самоспряженого оператора утворюють ортогональну повну систему функцій.
При рішенні задач електродинаміки як правило використовують ортонормовану
систему, для якої виконується умова :
, ( 2.2 )
де d ij - символ Кронекера, рівний 0 при і № j і рівний 1 при i = j.
При рішенні деяких задач вик
- Киев+380960830922