Розділ 2. Математичне моделювання та оптимізація навчальних планів
В розділі представлено розроблені математичні моделі для складання оптимального навчального плану для груп студентів та для окремих студентів. Для сучасного дистанційного навчання зникає основна проблема щодо організації стаціонарних занять для студентів. Відповідно, кожен студент може мати індивідуальну освітню програму. Це означає, що за певний семестр студенти можуть мати різні набори предметів.
2.1. Вступ до проблеми формування навчального плану
2.1.1. Визначення навчального плану
Навчальний план - це список всіх предмети, які викладають за весь період навчання. Крім того, навчальний план містить інформацію про те, протягом якого семестру потрібно читати окремі предмети. Не обов'язково, щоб всі предмети, які читають в навчальному закладі, входили до навчального плану. Навчальний план для типового навчального закладу встановлюють на весь період навчання. Зміни в навчальному плані відбуваються досить рідко і, як правило, мають бути затверджені керівним органом навчального закладу.
Сучасні навчальні заклади вводять певні елементи вибору предметів до навчального плану. На практиці це реалізують для малої кількості предметів, у зв'язку зі значними коштами на введення нових предметів та певного ризику, пов'язаного з можливим вибором студентів. Однак, в таких випадках, студенти можуть обирати предмети з певної групи доступних. Таким чином навчальна пропозиція є цікавішою та більш привабливою.
Для закладу дистанційного навчання не існує основного обмеження, яке пов'язане з немалими витратами на проведення типових занять. Якщо певний предмет вибере мала кількість студентів, то на практиці - це незначна проблема. Вартість індивідуальних консультацій є стала для кожного студента, а вартість екзаменів дещо зростає. Нема ніяких труднощів в доведенні до ситуації, коли кожен студент може мати інший навчальний план. На практиці причиною створення індивідуального плану може бути різниця в програмах, борги студентів з минулих семестрів, тощо. Однак, найважливішою є можливість для кожного студента вибирати предмети в індивідуальному порядку. Така можливість значно підвищує привабливість навчального закладу.
Основою для моделі є предмети. Введемо позначення P - кількість предметів. Окремі предмети в моделях будемо позначати індексом p. Основою для основних матриць результатів будуть предмети. План складаємо для сталої кількості семестрів. В більшості навчальних закладів ця кількість є сталою і не змінюється навіть за тривалі періоди часу. Для узагальнення, кількість семестрів буде змінною. Позначимо її як N. Індексом n позначимо номер семестру. Позначимо як S загальну кількість студентів, які будуть мати можливість подавати свої побажання. Індексом s позначимо номер окремого студента.
2.1.2. Кредити ECTS
Впровадженням програм цільових дотацій Європейський Союз виявляє значну підтримку міграції студентів між навчальними закладами. Обмін студентами між навчальними закладами можливий завдяки кільком чинним програмам. Однак виникла серйозна проблема визнання результатів навчання, отриманих в інших навчальних закладах. Окрім визнання детальної тематики та профілю одержаних знань, з'явилась проблема визнання тривалості роботи студента. Для вирішення цієї проблеми створено Європейську Систему Трансферних Кредитів (англ. ECTS - European Credit Transfer System). Її ідея полягає в тому в тому, що кожен навчальний заклад призначає кредити предметам, які там читають. На практиці ці кредити відповідають сумарній роботі студента в рамках конкретного предмету. При цьому, за певний семестр, чи за весь час навчання студент повинен набрати певну кількість кредитів. В разі переходу з одного навчального закладу до іншого, ці кредити мають бути порівнянними та визнаними. За призначення предметам певної кількості кредитів ECTS відповідальний навчальний заклад. Ці значення підбирають на основі призначеного часу роботи студента в рамках окремого предмету. Орієнтовно, прийнято вважати, що робота близько 20 годин прирівнюється до одного кредиту ECTS.
При складанні навчального плану слід враховувати обмеження, що випливають з системи кредитів ECTS. За кожен семестр студент повинен набрати певну кількість кредитів. Також встановлено обмеження на кількість кредитів, які студент має здобути за весь період навчання. При переході студента з іншого навчального закладу потрібно враховувати набрані студентом кредити та здані предмети. В таких випадках має велике значення складання індивідуального навчального плану, часто з індивідуальними обмеженнями ECTS.
2.1.3. Врахування порядку предметів в навчальному плані
Проблему складання індивідуального навчального плану ускладнює проблема порядку предметів. Ця проблема полягає в тому, що деякі предмети вимагають наявності знань, отриманих під час вивчення інших предметів, які в навчальному плані мають бути раніше. Під час певного семестру студент не може вивчати предмет, якщо до цього він не здав всі предмети, здача яких є необхідною. На рис. 2.1 наведено приклад дерева, що описує порядок предметів.
Якщо студент перебуває на певному семестрі навчання і здав певні предмети, виникає серйозна проблема: які предмети він має вивчати на наступному семестрі так, щоб можна було закінчити всі обов'язкові предмети до кінця навчання. Ще однією проблемою є запис до навчального плану предметів, які ведуть до факультативних предметів, які обрав студент.
Рис. 2.1. Приклад дерева, що описує зв'язки між предметами в навчальному плані
Описуємо дерево зв'язків між предметами за допомогою такої бінарної матриці:
де
Таким чином, кожному напрямленому зв'язку між предметами p1 та p2, зображеному на графі стрілкою, в матриці відповідає значення 1. На основі означеної таким чином матриці можна однозначно визначити матрицю:
де
Але визначена таким чином матриця не описує безпос