РОЗДІЛ 2
МЕТОДИ ТИПУ НЬЮТОНА ТА РУНГЕ
Будемо розглядати операторне рівняння
(2.1)
де P- нелінійний оператор, що переводить простір X типу Банаха в простір Y типу
Банаха. Широко вживаним, як було вище відзначено, методом розв'язування
рівняння (2.1) є метод Ньютона [96], який при виконанні відповідних умов має
квадратичну збіжність, але потребує "доброго" початкового наближення. У
дальнішому було запропоновано достатньо велику кількість методів, які мають
зверхлінійну збіжність і близькі за ідеєю до методу Ньютона-Канторовича. У
цьому розділі зробимо спробу дати загальну схему побудови таких методів.
2.1. Побудова ітераційних методів. Нехай маємо деяке наближення до розв'язку
рівняння (2.1). Запишемо розклад P(x) в ряд Тейлора [102] в околі точки , при
цьому вважаємо, що Р(х) необхідну кількість раз диференційовний
(2.2) де
(2.3)
і
тобто
Залишимо в розкладі (2.2) два члени (m=1) і замінимо рівняння (2.1) лінійним
операторним рівнянням
(2.4)
Якщо існує оператор , то розв'язок рівняння (2.4) можна визначити за формулою:
(2.5)
В нашому випадку є точним розв'язком рівняння (2.4) і одночасно деяким
наближенням для розв'язку рівняння (2.1). При виконанні відповідних умов нове
наближення буде кращим від попереднього, і ми отримуємо формулу методу
Ньютона-Канторовича
n=0,1,2... . (2.6)
Аналогічно можна зробити спробу побудови методів більш високого порядку
збіжності, а саме: в розкладі (2.2) взяти m+1 (m>1) член і операторне рівняння
(2.1) замінити новим рівнянням
(2.7)
Виявляється, що навіть у випадку скінченновимірних просторів ми не вміємо
(існують суттєві труднощі) розв'язувати рівняння вигляду (2.7) для m>1, або
якщо це і можна зробити, то із значними обчислювальними зусиллями. У даному
випадку поступимо іншим способом. Введемо нові оператори так, щоб виконувалося
співвідношення
(2.8)
де
У нашому випадку оператор
лінійний. Замінимо рівняння (2.1) наближеним лінеаризованим рівнянням
(2.9)
Якщо існує оператор , що діє з Y в X, то для визначення наступного наближення
маємо формулу
, n=0,1,... . (2.10)
При виконанні відповідних умов послідовність , визначена за (2.10), збігається
до розв'язку рівняння (2.1) і порядок збіжності не нижче m+1 порядку. Метод
(2.10), як і метод Ньютона-Канторовича, вимагає "доброго" початкового
наближення. Залишилось дати схему (правило) побудови операторів , і=0,1,...
Зупинимось на випадку m=2. При цьому можна записати
(2.11)
а з іншого боку маємо
. (2.12)
З (2.12), якщо існує і є обмеженим оператор , можемо записати
.
Підставимо вираз для в (2.11), тоді отримаємо
Тепер для визначення маємо рівняння
(2.13)
У цьому випадку
Якщо існує оператор , що діє з Y в X, то ми маємо новий метод, відомий в
літературі як метод дотичних гіпербол [136]
n=0,1,... , (2.14)
де
Як показано в [136], послідовність , яка визначена з (2.14), при виконанні
відповідних умов має кубічний порядок збіжності. Аналогічно можна отримати
методи з вищим порядком збіжності, наприклад 4, 5. Варто відмітити, що для
побудови методів з порядком збіжності m+1 необхідно оператори вибирати з умови
.
Даним умовам, наприклад, для m=3 задовольняють оператори
Отже, при виконанні відповідних умов отримаємо метод четвертого порядку
збіжності
n=0,1,... , (2.15)
де
Можна показати, що послідовність яка визначена по формулі (2.15) має порядок
збіжності рівний чотирьом. Методи типу Ньютона третього і вищих порядків можуть
мати і інший вигляд, оскільки представлення допоміжних операторів здійснюється
не однозначно, наприклад при побудові методу (2.15) можна для представлення
допоміжних операторів використати формулу
і т. д. Аналогічні результати були опубліковані пізніше Денисовим Д.В.,
Кармановим В.Г., Третьяковим О.О. [83]. Cтруктура запропонованих методів така,
що дає можливість ефективно використовувати паралельні процесори.
2.2 Збіжність методів. Для доведення збіжності послідовності запишемо формулу
(2.10) у більш загальному вигляді, а саме
n=0,1,2,... . (2.16) Тоді справедлива
Теорема 2. 1. Нехай:
для початкового наближення X існує оператор
причому
2) початкове наближення вибране так, що виконується умова
3) для ,
виконується оцінка
4) оператор на кожному кроці ітераційного процесу, задовольняє умови
де
, ;
5)
6)
Тоді рівняння (2.1) має розв'язок , який можна знайти за формулою (2.16) і при
цьому , а для швидкості збіжності виконується оцінка:
. (2.17)
Доведення проведемо за схемою Л.В.Канторовича [96]. Покажемо, що умови теореми
виконуються для точок ,,.... Користуючись співвідношення