РАЗДЕЛ 2
ТЕОРИЯ ОПТИМАЛЬНОГО БАЛАНСА ДОБРОТНОСТИ И
ЗАПАСА УСТОЙЧИВОСТИ МНОГОКРАТНОИНТЕГРИРУЮЩИХ
ЭЛЕКТРОМЕХАНИЧЕСКИХ СИСТЕМ
В настоящее время в эксплуатации находится большой парк систем подчиненного регулирования (СПР) скорости и положения с ПИ-регуляторами. Разработанные для таких двукратно и трехкратно интегрирующих систем традиционные критерии качества управления, методы расчета и настройки параметров регуляторов не обеспечивают максимальной добротности при заданном запасе устойчивости а, следовательно, и минимальной ошибки воспроизведения управляющего сигнала. Многие из этих методов имеют большую погрешность в результате упрощения математического описания объекта регулирования, что затрудняет сравнительный анализ результатов оптимизации. Произведем анализ комплексных критериев качества управления многократно интегрирующих систем на диаграммах качества управления в плоскости "добротность - параметр b" с применением современной компьютерной технологии [176-179], предоставляющей возможность учета всех особенностей динамических свойств таких систем, и выберем впервые предлагаемый оптимальный вариант [170-175].
2.1. Диаграммы качества управления в плоскости "добротность -параметр b"
Характерные особенности и технологию построения диаграмм покажем на примере многократно интегрирующего контура СПР с кратностью интегрирования n=2, n=3 и настроенным на модульный оптимум подчиненным контуром. Известно [1], что настроенный на модульный оптимум подчиненный контур имеет динамические свойства колебательного звена с нормированной передаточной функцией
, (2.1)
где s - оператор Лапласа.
Отметим, что упрощение модели (2.1) до звена первого порядка приводит к ошибкам при построении диаграмм качества управления и принципиально неверным выводам при сравнении критериев оптимизации.
На рис.2.1 приведена простейшая структурная схема трехкратно интегрирующего контура СПР в условных обозначениях пакета программ Matlab и его приложения Simulink, где b параметр настройки.
Рис.2.1. Структурная схема трехкратно интегрирующего контура СПР в
обозначениях Matlab
Объект регулирования состоит из звена (2.1) и интегратора, соединенного последовательно с двумя пропорционально-интегральными корректирующими звеньями с варьируемым параметром b и добротностью k системы в принятых относительных единицах с единичным коэффициентом при операторе Лапласа s в характеристическом полиноме подчиненного контура (2.1). Двукратно интегрирующая система моделируется исключением из схемы рис.2.1 одного пропорционально- интегрирующего звена. Влияние всех второстепенных факторов по предлагаемой методике исследования можно учесть неограниченным усложнением структурной схемы конкретного электропривода как линейной стационарной системы с автоматическим перерасчетом амплитудной частотной характеристики A(k, b, ?) и переходной характеристики h(k, b, t) при вариации параметров.
На рис.2.2 над плоскостью параметров k и b построены поверхности частотного показателя колебательности M=f(k,b) с характерным "оврагом", вдоль "дна" которого проходит линия максимального запаса устойчивости.
Поверхность "оврага" одномассовых электромеханических систем выпукла, "дно оврага" имеет уклон в область низких значений добротности с монотонным переходом в горизонтальную плоскость апериодических процессов на уровне M=1.
Колебательная область, находящаяся вне "оврага" на рис.2.2, искусственно ограничена уровнем M=2,5. Диаграммы качества управления построены на топографических картах этих "оврагов" рис.2.3.
а)
б) Рис.2.2. Поверхность частотного показателя колебательности системы над плоскостью параметров регулятора
a)
б) Рис.2.3. Диаграммы качества управления в частотной области:
----- изолинии частотного показателя колебательности 1,5
На диаграммах представлены изолинии показателя колебательности, границы области устойчивости и три линии оптимальных настроек: линия (q1, q2)оптимального баланса добротности и запаса устойчивости (максимум добротности и запаса устойчивости МДУ [170-175]), линия (q3, q4) минимума показателя колебательности M при вариации добротности k с постоянным значением параметра b (критерий Экслби [27, 28]), линия (q5, q6)минимума квадратичной интегральной оценки (КИО [97-99]).
Диаграммы качества управления во временной области показаны на рис.2.4. При их построении критерием запаса устойчивости было выбрано перерегулирование ?% переходной характеристики системы по управлению h(k, b, t).
а)
б) Рис.2.4. Диаграммы качества управления во временной области:
----- изолинии перерегулирования в %;
-· - · - линии оптимальных настроек.
Рассмотрим последовательно и детально методику построения диаграмм качества управления рис.2.3. Изолинии частотного показателя колебательности M при значениях от 1,5 до 2,5 с шагом 0,1 построены с помощью пакета программ Matlab по квадратной матрице значений максимума АЧХ в узлах сетки выбранного фрагмента колебательной области устойчивости системы. Каждая из этих унимодальной формы изолиний разделяет область устойчивости на внешнюю зону с пониженным запасом устойчивости и внутреннюю зону S с повышенным запасом устойчивости, а по их плотности можно судить о параметрической чувствительности по запасу устойчивости. Меньшей плотности соответствует меньшая крутизна "склонов оврага" и, следовательно, меньшая параметрическая чувствительность запаса устойчивости. Крутизна "склонов" возрастает с удалением от "дна оврага" к границам устойчивости. Точки максимума изолиний показателя колебательности соответствуют максимальному значению добротности и по ним построена линия максимальной добротности, совпадающая с проекцией линии максимального запаса устойчивости (см. рис.2.2) и являющаяся в совокупности с ней линией оптимального баланса (q1, q2 ) МДУ.
Положение и размер рабочего фр