РОЗДІЛ 2
ТЕОРЕТИЧНІ ЗАСАДИ ТА ВИБІР АЛГОРИТМІВ ПОДАННЯ СИГНАЛІВ У ЧАСО-ЧАСТОТНІЙ ОБЛАСТІ
Відомо, що основною метою аналізу сигналів є отримання максимальної величини
корисної інформації з вхідного сигналу шляхом його перетворення і обробки. При
цьому більшість методів перетворення базуються на певних припущеннях відносно
досліджуваного сигналу, що звичайно дає високі результати при умові правильного
вибору припущень. Однак дуже часто такі припущення приводять до певних
ускладнень. Так, наприклад, для звичайного стаціонарного сигналу, є
справедливим звичайне стаціонарне перетворення Фур’є (1.9). Аналіз встановлює
поняття глобальної частоти, яка обчислюється як внутрішній добуток сигналу з
синусоїдальною, хвильовою базовою функцією нескінченної тривалості. Такий
підхід ефективний, якщо сигнал є композицією декількох стаціонарних
компонентів, таких як синусоїдні хвилі. Однак, якщо будь-яка раптова зміна
(нестаціонарна компонента сигналу) поширюється на всю “частотну вісь”, то
ефективність застосування такого перетворення суттєво зменшується. При цьому
простим вирішенням питання є здійснення часової локалізації. В такому випадку
перетворення Фур’є розглядає сигнал в межах вікна, в якому сигнал є приблизно
стаціонарним. Якщо сигнал умовно стаціонарний в часі у вікні, то КЧПФ, як вже
зазначалося вище, визначається згідно виразу (1.80). Таке представлення може
базуватися на смузі пропускання набору фільтрів з імпульсною реакцією,
еквівалентною функції вікна, модульованого на цій частоті.
Аналіз КЧПФ, здійснений Габором у 40-х роках, відкрив іншу проблему, яка
визначається нерівністю Гайзенберга: при зміні розмірів вікна параметр
час-частота залишається незмінним.
Для подолання вказаного обмеження можна змінювати розміри вікна або смуги
пропускання фільтра до різних значень, використовуючи аспекти
багатомасштабного аналізу. При цьому умова Гайзенберга може задовольнятися,
але параметр часу може стати помітно високим на низьких частотах. Наприклад,
два дуже короткі “викиди” в сигналі можуть в кінцевому результаті бути
відокремлені скороченням меж вікна або смуги пропускання фільтра для збільшення
параметра часу. Узагальнення цього поняття виконується у малохвильовому
(wavelet) аналізі і, в першу чергу, в неперервному (інтегральному)
малохвильовому перетворенні (НМП) (continuous (integral) wavelet transform
(CWT)), яке було вперше представлено Гроссманом та Морлетом у 1984 році [100].
НМП додає одне спрощення до наведеної концепції. Всі імпульсні відгуки банку
фільтрів визначаються як “масштабовані” (видовжені або стиснені) варіанти
одного і того ж прототипу банку фільтрів. Як результат, локальна частота в
цьому випадку стосується швидше масштабу часу, ніж частоти. Виходячи з цього, в
більшості літературних джерел термін “масштаб” використовується при посиланні
на НМП, а частота – стосовно КЧПФ.
НМП, аналогічно, як і неперервне перетворення Фур’є, не використовується так
часто, як дискретне малохвильове перетворення (ДМП). НМП початково
використовувалося для встановлення властивостей дискретних форм, які є
найкращим інструментом обчислень. В даному випадку “дискретне” малохвильове
перетворення є аналогічним до рядів Фур’є, але не до дискретного його
перетворення. Термін “дискретне” застосовується тут тільки до параметрів
області перетворення і не стосується незалежних змінних функцій, які будуть
перетворюватися (тобто час, простір і т.д.). Таким чином, масштаб і зміщення є
дискретні, а незалежна змінна - неперервна. Таке перетворення представляють як
неперервні в часі малохвильові ряди (НЧМР) [55,122].
При ДМП здійснюється перетворення над дискретними значеннями вхідного сигналу
за допомогою дискретних малохвильових та масштабуючих функцій. Тому в деяких
працях [55,122] їх ще називають дискретними в часі малохвильовими рядами
(ДЧМР). В цьому полягає відмінність між ДМП і НМП, при якому відбувається
перетворення неперервного в часі сигналу за допомогою неперервних малохвильових
функцій, а також від перетворення малохвильових рядів, в яких вхідний сигнал –
неперервна функція, а масштабуючі та малохвильові функції представлені в
дискретній формі.
У даному розділі розглядаються основні форми подання сигналів у часо-частотній
області, а також аналізуються алгоритми розрахунку малохвильових коефіцієнтів,
та можливості їх вдосконалення.
2.1. Базові малохвильові функції перетворення сигналів
Проведений аналіз багатьох відомих перетворень свідчить, що одним із
загальноприйнятих підходів до аналізу сигналів є представлення функціональних
залежностей цих сигналів через суми простих складових з відповідними ваговими
коефіцієнтами [2,18,61]:
, (2.1)
де – базові функції, а – вагові коефіцієнти. Оскільки базові функції є,
переважно, апріорі визначеними, то інформація про сигнал міститься у вагових
коефіцієнтах. Найпростішим випадком такого подання є використання зсуву
імпульсної функції, що відіграє роль базової, вздовж часової осі. Таке
представлення характеризує поведінку сигналу тільки в часовій області. Якщо
базова функція вибрана у вигляді синусоїди, то можна отримати перетворення
Фур’є, яке добре характеризує сигнали тільки в частотній області. Таке
перетворення є найбільш оптимальним для аналізу періодичних широкосмугових
сигналів. Проте, коли необхідно аналізувати неперіодичні (як стаціонарні, так і
нестаціонарні) сигнали, швидкість зміни яких може значно мінятися на невеликому
часовому інтервалі, то ефективність такого перетворення суттєво зменшується або
воно стає цілком непридатним. Ускладнюється одночасно і апаратна р
- Киев+380960830922