РАЗДЕЛ 2
МЕТОДЫ ВЫЧИСЛЕНИЯ ПРЯМЫХ ПОКАЗАТЕЛЕЙ КАЧЕСТВА
И МОДЕЛИ ИХ ОПТИМИЗАЦИИ
Оптимизация прямых показателей качества систем автоматического управления энергоблока является актуальной проблемой разработки систем. Значения прямых показателей качества - максимального отклонения, показателей колебательности и времени установления процессов существенно влияют на безопасность, надежность и быстродействие САУ энергоблока.
Цель данного раздела состоит в исследовании и решении ряда взаимосвязанных задач, составляющих проблему оптимизации прямых показателей качества систем автоматического управления энергоблока.
Проблема оптимизации прямых показателей качества включает разработку алгоритмов вычисления точек переходных процессов, разработку методов вычисления прямых показателей качества, исследование эффективности и оценку достоверности методов вычисления прямых показателей, формирование прямых критериев оптимальности, постановку задачи оптимизации прямых критериев. Алгоритмы вычисления переходных процессов рассматриваются на примерах переходной и весовой функций САУ, соответствующих переходным процессам в астатических следящей системе при задающем воздействии и системе стабилизации при возмущающем воздействии. Для вычисления максимального отклонения и показателя колебаний вычисляются экстремумы переходной и весовой функций. Разрабатываются алгоритмы для вычисления времени регулирования, на тестовых примерах систем управления различного порядка проводится сравнение различных методов построения переходных процессов по точности и скорости вычисления времени процесса. Проводится формирование прямых критериев оптимальности САУ, позволяющее учесть условия устойчивости. Анализ различных постановок задачи оптимизации прямых критериев САУ приводит к модели векторной оптимизации.
2.1. Численные методы построения переходных процессов
В общем случае прямые показатели качества переходных процессов в САУ могут быть определены только путем численного интегрирования соответствующей системы дифференциальных уравнений. Рассмотрим методы решения СДУ для вычисления прямых показателей качества.
Существует множество методов интегрирования СДУ. В теории автоматического управления наибольшее распространение получили матричные методы интегрирования, основанные на вычислении матричной экспоненты и эффективно применяющиеся для интегрирования жестких СДУ. Разработаем алгоритмы матричных методов для решения линейных и нелинейных СДУ.
Линейная неоднородная СДУ с постоянными коэффициентами имеет вид:
, , , (2.1)
где и - векторы состояния и начальных условий, и - матрицы состояния и входа, - входное воздействие, и - матрица и координата выхода. Рассмотрим вычисление функции веса и переходной функции на интервале при шагах решения СДУ (2.1) постоянной длины . Введем дискретные значения моментов времени , и обозначим , . В соответствии с (2.1)
, . (2.2)
Функция веса линейной модели САУ (2.1) как реакция системы на входной сигнал в виде ?-функции находится по формулам [149]
, . (2.3)
При имеем:
. (2.4)
Перепишем формулу (2.3), заменяя на :
,
то есть
. (2.5)
Матричную экспоненту
(2.6)
вычислим по алгоритму А.1, приведенному в Приложении А, заменяя в нем матрицу матрицей . Таким образом, на основании формул (2.4)-(2.6) приходим к рекуррентным выражениям
, , , . (2.7)
Составим алгоритм вычисления функции веса на основании вычисления матричной экспоненты и выражений (2.7) и (2.2).
Алгоритм 2.1. Вычисление функции веса. Входные параметры: , и - матрицы состояния, входа и выхода, и - конец интервала и число шагов интегрирования. Выходные параметры: и - массивы моментов времени и значений функции веса. 1. Положить , . 2. Положить , , , , , . 3. Положить . 4. Положить , . 5. Если , положить и перейти к п. 3. 6. Остановиться.
Переходная функция системы (2.1) как реакция на входной сигнал в виде единичной функции находится по формулам [155]
, . (2.8)
Положим в этой формуле равным :
. (2.9)
Умножая (2.8) на и вычитая полученное выражение из (2.9), имеем:
. (2.10)
Матричную экспоненту (2.6) и ее интеграл
(2.11)
вычислим алгоритмами А.1 и А.2, приведенными в Приложении А. Обозначая
, (2.12)
перепишем формулу (2.10):
. (2.13)
Переходя к дискретным моментам времени, по формуле (2.13) получим рекуррентные выражения
, , . (2.14)
Постоянные параметры выражений (2.14) - матрицу и вектор целесообразно вычислять с помощью единого алгоритма А.3, приведенного в Приложении А и реализующего функцию . Составим алгоритм вычисления переходной функции методом матричной экспоненты и ее интеграла по формулам (2.12), (2.14) и (2.2).
Алгоритм 2.2. Вычисление переходной функции. Входные параметры: , и - матрицы состояния, входа и выхода, и - конец интервала и число шагов интегрирования. Выходные параметры: и - массивы моментов времени и значений переходной функции. 1. Положить , , . 2. Положить , , . 3. Положить . 4. Положить , . 5. Если , положить и перейти к п. 3. 6. Остановиться.
В Приложении А приведен метод матричной экспоненты для интегрирования однородной СДУ с постоянными коэффициентами и его алгоритм А.4.
Рассмотрим теперь СДУ общего вида Коши
, . (2.15)
где - векторная функция правых частей СДУ. Для решения такой СДУ применим матричные системные методы [154, 155]. Эти методы используют якобиан векторной функции правых частей СДУ, который вычислим приведенным в Приложении А алгоритмом А.5, реализующим функцию . Рекуррентная формула системного метода первой степени имеет вид:
, , (2.16)
где - интеграл матричной экспоненты (2.11). На основании формулы (2.16) составим алгоритм системного метода первой степени.
Алгоритм 2.3. Системный метод первой степени. Входные параметры: - векторная функция правых частей СДУ, - матрица выхода, и - конец интервала и число шагов интегрирования. Выходные параметры: и - массивы