РОЗДІЛ 2
МЕТОД БАЗИСНИХ МАТРИЦЬ
Сучасні методи моделювання та обчислень суттєво використовують класичні
положення математики, зокрема, математичного аналізу та лінійної алгебри. До
лінійних моделей у повній мірі можна віднести такі математичні об’єкти як
моделі лінійного програмування, системи алгебраїчних рівнянь та нерівностей з
постійними елементами. Об’єктами дослідження з використанням математичного
моделювання та обчислювальних методів є системи, в частинному випадку лінійні,
які за своєю природою часто бувають ергатичними або людино-машинними. Такі
системи передбачають наявність в контурі прийняття рішень дослідника операцій
та особи, що приймає рішення (ОПР). Дослідження такого класу систем передбачає
додаткові вимоги до інструментарію їх дослідження. У першу чергу апарат
дослідження має бути спроможним здійснювати апріорний та апосторіорний аналіз
моделей при неточності задання даних та здійснення обчислень, враховувати вплив
змін у моделі на властивості розв’язків тощо.
Базовою методологією аналізу лінійних та слабкозбурених моделей вибрано
обчислювальні методи, в основі яких закладена ідеологія базисних матриць та
послідовного аналізу. Це дає можливість враховувати специфіку моделі за вибором
варіанта застосувань методу чи алгоритму, охопити дослідження широкого класу
моделей з єдиних позицій.
2.1. Базові моделі
Базовими моделями будемо вважати лінійні та слабкозбурені за параметрами
моделі.
До лінійних моделей будемо відносити математичне подання лінійної системи у
вигляді: систем лінійних алгебраїчних рівнянь, нерівностей та задачі лінійного
програмування.
Елементами лінійної моделі будемо називати: матрицю, вектор обмежень, градієнт
цільової функції, нормалі обмежень, нижні та верхні обмеження на вектор
змінних, ранг матриці, рядки, стовпці матриці обмежень тощо.
Під статусом (властивістю) обмежень, тобто півпросторів, що породжені
гіперплощинами обмежень лінійної системи будемо вважати їх вла- стивості:
активності, оптимальної активності, базисності та небазисності, пасивності та
породжувати нерозв’язність. Ці властивості встановлюються в ході аналізу
моделі.
Відомо ряд геометричних інтерпретацій лінійних моделей. Наприклад, для задачі
лінійного програмування використано багатогранні множини, зокрема, конуси та
симплекси.
Будемо називати структурними елементами моделі: вершини, ребра багатогранної
множини, твірні конуса, -вимірні грані, багатовиди, гіперплощини, півпростори
тощо.
Зокрема, геометрично структура лінійної моделі може бути подана багатогранною
множиною, для якої структурними елементами є -вимірні грані (вершини), -вимірні
грані або ребра та -вимірні грані, де .
У загальному випадку багатогранна множина лінійної моделі, матриця обмежень
якої має повний ранг m, подається у вигляді
,
де? вершини, ? направляючі вектори необмежених ребер, . Знаходження величин та
у лінійній моделі задача трудомістка і практично нездійсненна навіть для задач
порівняно невеликої розмірності. Побудова та розробка альтернативних способів
аналізу моделі, зокрема, на основі оціночних множин “зовні” та ”зсередини” є
актуальною задачею.
Під аналізом будемо розуміти послідовність досліджень лінійної моделі, що
представляються у вигляді алгоритму, що направлена на визначення її
властивостей (обмеженості, замкнутості, сумісності) багатогранної множини,
розв’язків, структурних елементів, статусу обмежень.
Послідовність кроків дослідження, яка може розглядатись як єдине ціле в
подальшому буде називатись фазами дослідження.
Зокрема, фази дослідження лінійної моделі можна агреговано представити у
вигляді дорозрахункового, розрахункового, та построзрахункового аналізу, які
при оптимізаційному аналізі набувають відповідно форм дооптимізаційного,
оптимізаційного та постоптимізаційного аналізу.
Дорозрахунковий (дооптимізаційний) аналіз направлений на виявлення властивостей
лінійної моделі необхідних при виборі методу чи алгоритмічної схеми.
Розрахунковий (оптимізаційний) аналіз направлений на здійсненні обчислень
згідно вибраного методу чи алгоритму. В ході контролюються значення параметрів
методу, тобто коректність методу.
Построзрахунковий (постоптимізаційний) аналіз направлений на дослідження
еволюції властивостей структурних елементів, статусу обмежень, розв’язків при
змінах або збуренні елементів лінійної моделі.
Введемо в розгляд гіперпараллелепіпед параметрів вигляду:
, де ? вектор параметрів (часовий, керування, збурення).
Визначення 2.1. Називатимемо модель слабкозбуреною за параметрами , якщо деякі
елементи лінійної моделі містять нелінійні функціональні зв’язки параметрів .
Вважатитемо, що такі нелінійні функціональні зв’язки в елементах лінійної
моделі належать до класу на .
У загальному випадку слабкозбурена модель має представлення:
, (2.1)
aj()uTЈcj(), . (2.2)
В частинному випадку обмеження (2.2) набуватимуть вигляду:
aj()uT=cj(), , (2.3)
де ? - вимірні нормалі обмежень, ? n -вимірний вектор правих частин обмежень
? m - вимірний вектор змінних, ? m - вимірний вектор градієнта цільової
функції, , ? множини індексів рядків та стовпців.
Вважаємо, що в моделі , а параметри пов’язані ? малим додатним параметром . У
подальшому будемо розглядати залежності типу , , , , де ? задані. При кожному
елементи моделі (2.1)?(2.3) визначають модель лінійного програмування, яку при
будемо називати породжуючою, а модель вигляду (2.1)?(2.2) або (2.3) зі
зміненими параметрами збуреною задачею. За своєю природою вони є двоїстими до
канонічної (прямої), а тому подамо лінійну (породжуючу) модель як
За кожним елементи моделі (2.1)?(2.4), як значення функцій, визначають
детерміновану модель типу мо
- Киев+380960830922