Теоретичні засади та методи забезпечення завадостійкості пристроїв фазової синхронізації на етапі проектування

розділ 2.
ТеоретичнІ ЗАСАДИ стохастичних біфуркацій
у динамічних системах
Вирішення проблеми дослідження одночасного впливу детермінованих та випадко­вих
збу­рень на нелінійні динамічні системи вимагає розроблення уні­фікованого
підходу, який послужив би теоретичним підґрунтям для створення ефективних
методів ана­лі­зу статистичної динаміки таких систем при змінах в широкому
діапазоні параметрів самих систем та випадкових збурень.
Складність розв’язання цього завдання полягає у тому, що детерміновані та
випадкові процеси у нелінійних динамічних системах описуються принципо­во
від­мінними способами та принципово відрізняються характером змін своїх
основних характеристик при неперервних змінах параметрів системи та зовніш­ньої
дії. Так, для опису стану детермінованої n - вимірної системи достатньо за­дати
миттєві зна­чення n визначальних змінних, а для опису стохастичної сис­теми
необ­хід­на n – ви­мірна функція розподілу густини імовірності. За умови
неперервної зміни параметрів сис­теми і збурень у детермінованих системах
мож­ливі стрибкоподібні зміни режимів (біфуркації, порогові явища), а у
стохас­тич­них відбувається неперер­вна зміна зна­чень імовірнісних
характеристик процесу.
Тому виявлення якісних змін характеру випадкових про­це­сів (стохас­тичних
біфуркацій) та визначення умов їх виникнення є необхідною пе­ред­умо­вою
розроблення уніфікованої методики розв’язання задач аналізу стійкості ре­жи­мів
роботи динамічних систем до детермінованих та випадкових збурень.
Метою цього розділу є виявлення та означення характерних особливостей
ви­падкових процесів у стохастичних системах, аналітичний опис та визначення
умов зміни характеру цих процесів, тобто умов виникнення стохастичних
бі­фур­кацій, що дасть змогу уні­фікувати опис та аналіз впливу детермінованих
і випадкових збурень.
2.1. Особливості випадкових процесів у лінійних динамічних системах першого
порядку
Математичною моделлю динамічної системи першого порядку під впливом шуму є
стохастичне рівняння
dx/dt = – F(x) + n(t) = – dU(x)/dx + n(t), (2.1)
де F(x) – коефіцієнт зносу,
– потенціальна функція,
n(t) – випадкове збудження з кореляційною функцією  = Nd(Дt).
Розв’язок рівняння (1) подають як ан­самбль реалізацій, або як нестаціонарний
(змінний в часі) розподіл імовір­но­сті P(x,t), який задовольняє рівняння
Фокера-Планка
. (2.2)
Поведінка системи еквівалентна поведінці важкого газу з температурою N/2 на
потенціальній поверхні U(x). Реалі­за­ції x(t) описують броунівський рух
молекул, а розпо­діл P(x,t) – густину газу.
2.1.1. Представлення випадкових процесів характерними перетинами
густини розподілу імовірності.
Розподіл густини імовірності в кожний момент часу можна задати або як набір
значень розподілу P(x) (рис. 2.1 а), або як набір пе­ретинів розподілу прямими
P(x)=const (рис. 2.1 б).
Рис. 2.1. Представлення випадкових процесів перетинами.
Для одновимірного роз­по­ділу перетином є дві точки з абсцисами "x1" та "x2"
(рис. 2.1. б і 2.2 а). Для опису поведінки розподілу запровадимо поняття
"потенціал точок перетину".
Означення 1. Потенціал точки перетину – значення по­тен­ціальної функції в
точці, координати якої дорівнюють координатам точки перетину.
Рис.2.2. Представлення часових змін одновимірного (а) та двовимірного (б)
розподілів випадкових процесів.
Оскільки за заданої форми розподілу всі перетини по­діб­ні, то для опису усього
розподілу достатньо задати тільки один з них. Для вибору найбільш
інформативного перетину знайдемо стаціонарний розв’язок рівняння (2.2),
прирівнявши його праву частину до нуля:
. (2.3)
За виконання умови (2.3) друга похідна густини імовірності P(x,t) по часу рівна
нулеві, отже перша похідна ?P(x,t)/?t є константою, значення якої за­ле­жить
від координати "х". Ця константа у жодній точці "х" не може бути мен­шою від
ну­ля, оскільки в такому випадку значення P(x,t) буде зменшуватись і ра­но чи
піз­­но стане від’ємним, що неприпустимо. Ця константа не може бути більшою від
нуля, оскільки у цьому випадку значення P(x,t) будуть або зро­ста­ти, або не
змінюватись (жодне з них не може зменшуватись) і інтеграл P(x,t) стане біль­шим
від одиниці, що неприпустимо. Отже, умова (2.3) означає, що перша похід­на
P(x,t) по часу є константою, яка дорівнює нулеві, тобто за ви­ко­нання цієї
умови густина імовірності P(x,t) є стаціонарною. З рівняння (2.3) випливає
, (2.4)
де – нормувальний множник. Мак­симального значен­ня Pmax=A густина імовірності
набуває в точках "x0", для яких U(x0)=0, а в точках "х", в яких потенціальна
функція дорівнює енергії збудження, зна­чення густини імовір­ності становить
е–2 від макси­маль­ного:
. (2.5)
Означення 2. Характерний перетин розподілу – перетин на рівні 1/е2 від
макси­маль­ного значення.
З Означень 1 і 2, рівняння (2.4) та виразу (2.5) випливає наступна власти­вість
характерного перетину розподілу імовірності ВП, яка виконується за до­вільних
потенціальних функцій U(x).
Властивість 1. Потенціал усіх точок усталеного характер­ного перетину дорівнює
енергії збудження.
Характерний перетин однозначно описують координата його центра "x0" і
характерне відхилення "Дх":
x0 = (x1 + x2)/2; Дх = |x2 – x1|/2. (2.6)
Характерне відхилення "Дх" пропорційне середньоквадратичному "у" з
коефі­цієнтом k, поданим в табл. 2.1 для різних типових розподілів.
Таблиця 2.1
Співвідношення характерного і середньоквадратичного відхилення
для різних розподілів
Розподіл
Нормальний
Експонентний
Рівномірний
Вираз
a e–ax, x>0
, |x|СКВ у
x1, x2
–2у, 2у
0, 2/a
–a, a
Характерне відхилення Дх
2у
2/a
k = Дх/ у
2.1.2. Стр