а
СОДЕРЖАНИЕ
Введение...........................................................5
1. Технологические задачи механики пластического деформирования ди-латирующих материалов....................................................6
1.1. Пластическая дилатансия материалов............................6
1.2. Применение дилатирующих материалов и задачи их пластического деформирования..........................................................17
1.2.1 Порошковая металлургия......................................17
1.2.2. Обработка пористых металлов давлением, прокаткой и резанием ........................................................................27
1.2.3. Обработка материалов электронной техники в электрических и магнитных полях.........................................................32
1.2.4. Предельные состояния магнитосвязных сыпучих сред...........33
1.2.5. Гравитационный выпуск сыпучих материалов из емкостей 36
1.2.6. Уплотнение и резание грунтов..............................3.8
1.2.7. Другие задачи, связанные с учетом пластической дилатансии материалов .................................................................42
1.3. Основные модели пластической дилатансии......................46
Выводы по разделу 1 ..............................................48
2. Постановка и методы решения задач теории осесимметричной пластической деформации дилатирующих материалов...............................49
2.1. Полная система уравнений теории осесимметричного пластического течения дилатирующих сред...............................................49
2.2. Верхнеграничные решения в теории осесимметричного пластического течения дилатирующих сред............................................53
2.3. Нижнеграничные решения в теории осесимметричного пластического течения дилатирующих сред..................................Г.........55
3
2.4. Решение задач осесимметричного пластического течения дилатирующих сред методом тонких сечений.......................................56
Выводы по разделу 2................................................58
3. Верхнеграничные решения осесимметричных технологических задач теории пластичности дилатирующих сред....................................60
3.1. Расчет усилий прокола грунтов при бестраншейной прокладке трубопроводов ..............................................................60
3.1.1. Вводные замечания...........................................60
3.1.2. Расчетная схема процесса прокола фунта наконечником конической формы...............................................................61
3.1.3. Определение материальных функций в условии пластичности Грина для фунтов............................................................69
3.1.4. Числовые результаты........................................77
3.1.5. Экспериментальная проверка зависимостей для расчета усилий прокола фунтов...........................................................91
3.2. Верхнеграничные решения задач о прошивке кругового цилиндра из пористого материала и о вдавливании инденгора в пористое полупространство .........................................................................96
Выводы по разделу 3...............................................103
4. Решение осесимметричных технологических задач теории пластичности дилатирующих сред методами нижних границ и тонких сечений ........................................................................104
4.1 Построение статически допустимых полей напряжений, согласованных с кинематически допустимыми полями скоростей...................... 104
4.2. Построение статически допустимых полей напряжений с помощью функций напряжений......................................................110
4.3. Нижнефаничное решение задачи о проколе грунта коническим нако-
• *
нечником................................................................117
4.4. Решение методом тонких сечений задачи о прошивке кругового цилиндра из пористого материала 120
Выводы по разделу 4.................................................127
Заключение. Практические рекомендации...............................128
Литература..........................................................131
Приложение..........................................................142
ВВЕДЕНИЕ
В машиностроении и строительстве широко распространены устройства и процессы, связанные с использованием дилатирующих материалов (порошковых и пористых металлов, грунтов, бетонов и т.п.). Например, пористые металлы применяются как функционирующие элементы в фильтрах тонкой очистки жидкостей и газов, как конструкционные материалы при создании камер сгорания и лопаток турбин с пористым охолождением и т.д. Керамика из высокоогнеупорных материалов применяется в высокотемпературной технике в качестве тепло- и электроизоляционных материалов и высокотемпературный проводников. Грунты подвергаются проколу и продавливанию при бестраншейной прокладке трубопроводов и т.д. К дилатирующим материалам относятся также различные сыпучие среды, движущиеся под действием сил тяжести в направлении относительно узкого выпускного отверстия, например, при переработке топлив и т.п.
В рамках экспериментальных и теоретических исследований отечественных и зарубежных ученых разработаны некоторые методы расчета основных параметров процессов пластического деформирования дилатирующих материалов. Однако дальнейшее развитие техники выдвигает все более сложные задачи, эффективно решение которых связано как с уточнением математических моделей изучаемых процессов, так и с совершенствованием расчетных методов.
о
1. ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ МЕХАНИКИ ПЛАСТИЧЕСКОГО ДЕФОРМИРОВАНИЯ ДИЛАТИРУЮЩИХ МАТЕРИАЛОВ.
1.1. ПЛАСТИЧЕСКАЯ ДИЛАТАНСИЯ МАТЕРИАЛОВ.
Как известно [1, 2] дилатансией называется изменение объема материала, деформируемого в условиях простого сдвига. Она проявляется, например, в грунтах и горных породах, бетонах, порошковых и пористых металлах и может быть упругой, вязкой и пластической.
Явление пластической дилатансии впервые было обнаружено в 1885 г.
О.Рейпольдсом [3] в опытах с песком и объяснено с помощью простейшей математической модели механического поведения песка в виде системы одинаковых жестких регулярно упакованных шаров. При наиболее плотной укладке шаров на плоскости каждый из них соприкасается с шестью соседними шарами, а при наименее плотной - с четырьмя; поэтому в первом случае сдвиг вызывает разрыхление - переход к менее плотной упаковке шаров, а во втором -уплотнение. Первый случай соответствует положительной дилатансии - увеличению объема, а второй - отрицательной - его уменьшению. В классической теории пластичности рассматриваются несжимаемые материалы (как правило, компактные металлы), не проявляющие дилатансии.
В развитие идей О.Рейнольдса рядом авторов были предложены более сложные математические модели, связанные с различными способами укладки жестких шаров в пространстве, использовавшиеся не только для качественного объяснения, но и для количественного описания эффекта дилатансии. Возможности такого подхода обусловлены тем, что геометрические характеристики различных правильных шаровых упаковок существенно отличаются друг от друга. Например, координационное число (количество соседних контактов) простой кубической упаковки равно о , а коэффициент компактности (отношение объема шаров ко всему объему, включая пустоты между шарами) - 52,36%;
(
те же величины для ромбоэдрической упаковки равны соответственно 12 и 74,05% [4].
П.Роу [5] рассмотрел схемы деформирования кубической и ромбоэдрической упаковок шаров и получил выражения для отношений главных напряжений и скоростей деформаций типа
где а - угол, характеризующий геометрию укладки шаров, Р - угол между плоскостью скольжения и одной из главных осей тензора напряжений, (р - угол ку-лонова трения, \|/ и со - некоторые функции соответствующих аргументов.
Дилатаисионная теория деформирования П.Роу была проверена экспериментально им самим, а также И.Ли [6], Л.Барденом, А.Хайятом [7] и другими авторами. В то же время ее адекватность изучаемым явлениям была поставлена под сомнение К.Роско [8] и др., что стимулировало дальнейшие исследования в этой области.
М.Хорн [9| в 1965 г. распространил указанную модель на сыпучие среды с нерегулярной упаковкой сферических частиц, а П.Роу [10] в 1972 г. развил модельные представления для ансамбля контактирующих твердых частиц неправильной формы.
А.Дрешер и Ж.де Йоселен де Йонг [11] предприняли экспериментальное исследование методами фотомеханики поведения гранулированного материала, моделируемого набором дисков различного диаметра. Результаты достаточно трудоемкой обработки эксперимента были истолкованы в рамках гипотезы некоаксиальности тензоров напряжений и скоростей деформаций, хотя, как указал В.Н.Николаевский [12], они могут получить иную трактовку в других теориях. Кроме того, указанное исследование ограничено двумерной постановкой.
(ко
8
Представляется очевидным, что дальнейшее совершенствование дискретных математических моделей пластической дилатансии связано с использованием многомерных функций распределения и их числовых характеристик. Однако не менее очевиден и тот факт, что трудоемкость сопутствующих расчетов не будет адекватной построенным моделям.
Более плодотворным является использование континуальных моделей пластической дилатансии, в том числе и стохастических. Первый шаг на тгом пути был сделан в 1952 г. Д.Драккером и В.Пратером [13], которые с позиции теории пластического потенциала на основе линейного условия текучести
а]\ + у[^2 = У, (1.2)
где Д - сумма главных напряжений, .12 - второй инвариант девиатора напряжений, а и У - положительные константы, получили для скорости объемной пластической деформации в выражение
£ - ЗаЛ , (1.3)
причем из определяющих соотношений, ассоциированных с условием (1.2), следует, что коэффициент пропорциональности X между компонентой ц тензора скоростей деформаций и частной производной пластического потенциала Г по соответствующей компоненте тензора напряжений сту равен интенсивности скоростей деформаций сдвига Н.
Величина
определяемая отношением скорости объемной деформации к интенсивности скоростей деформаций сдвига, называется скоростью дилатансии [2].
При условии пластичности Драккера-Прагера А=3а>0, так что материал, поведение которого описывается этим условием и ассоциированным законом течения, в процессе деформирования разрыхляется. В задачах о продолжающемся пластическом течении, как отметили П.Чедвик, А.Кокс и Г.Гопкинс
9
[14], указанные конституционные соотношения приводят к нереальной возможности неограниченной дилатансии.
Кроме того, во многих случаях дилатирующие материалы подвергаются преимущественному уплотнению. Таковы, например, процессы прокатки, экструзии и прессования порошковых и пористых металлов [15-23], уплотнения грунтовых оснований сооружений и дорожных одежд [24-27], проникания твердых тел в грунты [28-32], формования электровакуумной и радиотехнической керамики [33-35].
Значительный вклад в развитие теории и практики обработки порошковых и пористых металлов и керамических материалов внесли Г.И.Аксенов, P.A.Андриевский, М.Ю.Балынин, Г.А.Виноградов, Ю.Г.Дорофеев,
Г.М.Жданович, С.С.Кипарисов, В.Е.Перельман, И.Д.Радомысельский, В.С.Раковский, О.В.Роман, В.В.Саклинский, Г.В.Самсонов, В.В.Скороход, В.Г.Трощенко, И.М.Федорченко, И.Н.Францевич, К.Агте, Ф.Айзенкольб, Х.Антес, В.Джонс, К.Конопицкий, К.Кун, Г.Кучинский, Ф.Ленель и др. Различные вопросы разработки грунтов, уплотнения оснований и дорожных одежд, закрытой прокладки коммуникаций без экскавации грунта, проникания твердых тел в грунты, взаимодействия колес машины с грунтовым основанием рассмотрели В.Ф.Бабков, А.К.Бируля, С.Г.Васильев, Ю.А.Ветров,
В.II.Горячкин, Н.Г.Домбровский, А.Н.Зеленин, Я.А.Калужский, Г.Н.Пестов, А.Я.Сагомонян, Н.Я.Хархута, И.Брах, Е.Динглингер, Ф.Кинаст, Л.Распер, И.Ратье и др.
Поэтому в связи с необходимостью учета уплотнения гипотеза о связно-сыпучей среде, соответствующей идеальной пластичности, встретила ряд возражений, опиравшихся на экспериментальные результаты.
Необходимые обобщения условия (1.2), обеспечивающие в той или иной степени согласование теории дилатансии с экспериментом, были выполнены в 1957 г. Д.Драккером, Р.Гибсоном и Д.Хенкелем, в 1959 г. ЭДженике и
Р.Шилдом, в 1969 г. Н.Су, Дж.Вейдлером и П.Пэсли, в 1970 г. Ф.Димаджио и И.Сандлером, - их результаты, а также результаты других авторов, отраженные в обзоре В.Херрмана [36], сводятся в основном к построению замкнутых поверхностей текучести в пространстве напряжений.
Наибольшее распространение в расчетах технологических процессов порошковой металлургии получило квадратичное условие текучести Р.Грина [37]:
где Ак, Вк, Уи - функции относительной плотности К (отношения плотностей пористого и компактного металлов); У]=Уя при 11=1, и его модификации, различающиеся лишь видом материальных функций.
Обзор этих результатов дали в 1984 г. С.Дорайвелу, X.Гегель, Дж.Г унасскера, Дж.Малас, Дж.Морган и Дж.Томас. Приведем по данным обзора некоторые выражения материальных функций с указанием авторов соответствующих работ:
(1.5)
а) Р.Грин
(1.6)
б) А.Гарсон
(1.7)
в) Х.Кун и С.Доуней
Ак = 2 + 1<\ Вк = ±(1-Я% д'=1 ,
(1.8)
11
г) М.Оэн, С.Шима и И.Коно
Л' = Т" г*%>(1+2<5=кг' <15>
д) И.Корапчиоглу и Т.Уз
0.3б(1-Я2)+0.39(1- Я)
Л = 3. В«=---------------------------- . 5=1 . (1-10)
к
с) авторы обзора [38]
Ак = 2 + К2, 5Я=|( 1-Л2), £ = 2Л2-1 ,
В рамках закона пластического течения, ассоциированного с условием текучести типа (1.5), для скорости дилатансии по формуле (1.4) находим
а _ 35^1 А_ (1.12)
откуда следует, что знаки скорости дилатансии и среднего напряжения совпадают, причем Л=0 при 11=0.
Достоинством всех условий типа (1.5) является то, что, во-первых, при 1^=1 они обращаются в условие пластичности Мизеса, во-вторых, учитывают упрочнение и разупрочнение дилатирующего материала и, в-третьих, предусматривают изменение знака дилатансии с изменением знака нормального октаэдрического напряжения. Недостаток этих условий заключается в том, что они предсказывают одинаковую сопротивляемость материала растяжению и сжатию, а также нулевую скорость дилатансии в отсутствие гидростатического
давления. Последние замечания снимаются, если ввести еще одну материальную функцию Ск>0 и записать условие текучести в виде
Л4 + ял0/1 + сл)2 = уд\
(1.13)
11ри этом условии скорость дилатансии составляет
(1.14)
и является положительной при і)=0, т.е. в отсутствие гидростатического давления дилатирующий материал разрыхляется. Однако тог факт, что некоторые материалы при ^=0 могут проявлять отрицательную дилатансию, условием
(1.13) игнорируется.
В математической модели пластически сжимаемого или разрыхляемого материала, построенной Д.Д.Ивлевым [39], Д.Д.Ивлевым и Г.И.Быковцевым [40], используются две функции нагружения типа
(1.15)
где сг - среднее напряжение, ]2 и 1з - второй и лретий инварианты девиатора напряжений, 0=(1/3)ен,еу - тензор пластических деформаций.
Выражение для скорости объемной деформации постулирует в виде
- Киев+380960830922