Оглавление
Введение 4
Структура рабо ты ...................................... 4
Гравиметрия............................................. 6
Задачи топопривязки и точной навигации.................. 8
Робастные методы в задачах гравиметрии и топопривязки 9 Обзор предшествующих работ.......................... 10
1. Задача авиационной гравиметрии 14
1.1. Гравитационные аномалии .......................... 14
1.2. Средства авиационной гравиметрии.................. 16
1.3. Постановка задачи авиационной гравиметрии. . . 17
1.4. Методы, используемые при решении задачи авиационной гравиметрии ................................... 20
1.4.1. Методы оконного сглаживания................ 20
1.4.2. Фильтр Калмана .3 :;Цч>..: .. > •.......... 23
1.4.3. Сглаживающие сплайны....................... 28
2. Робастные методы 32
2.1. О существующих методах, порождающих П и сходные оценки............................................. 32
2.1.1. Метод наименьших модулей .................. 32
2.1.2. Статистические свойства выборочной медианы 32
2.1.3. Метод наименьших модулей и линейное программирование .................................... 35
2.1.4. Алгоритм Барродейла-Робертса............... 36
2.1.5. Взвешенные квадратичные приближения . . 42
2.1.6. 1\ - оценка как предельный случай оценки
Хьюбера .................................... 45
2.1.7. /1 -сплайны................................ 45
2.2. Робастная коррекция квадратичной оценки .... 46
2.3. Нелокальные сплайны и калмановское сглаживание 49
2.4. К вопросу о свойствах сглаживающего сплайна . . 52
3. Задача авиационной гравиметрии 56
3.1. Моделирование..................................... 56
3.1.1. Модель гравитационной аномалии............. 56
2
3.1.2. Недифференцирующая обработка гравиметрической информации ............................. 58
3.1.3. Сглаживающие робастные сплайны ........... 60
3.2. Анализ целесообразности применения робастных
методов в реальной задаче авиационной гравиметрии ............................................ 64
3.2.1. Статистический анализ данных авиационной гравиметрии .................................. 64
3.2.2. Сравнение результатов применения различных алгоритмов.................................... 66
4. Задачи топопривязки и точной навигации 69
4.1. Задача об использовании видеоизображений для навигации .............................................. 69
4.1.1. Постановка задачи......................... 69
4.1.2. Уравнения изображения..................... 69
4.1.3. Задача о навигации зависшего вертолёта . . 71
4.2. Робастные методы в задаче о навигации вертолёта . 77
5. БИНС 83
5.1. Задача об избыточной БИНС....................... 83
5.2. Анализ работы лазерных ДУС...................... 83
5.3. Обработка данных БИНС при избыточной системе датчиков.............................................. 86
5.3.1. БИНС с 4-мя ДУС........................... 86
5.3.2. БИНС с 5-ю и более ДУС.................... 88
5.4. Оценка вычислительной сложности ................ 90
Заключение 93
А. Приложение Задача авиационной гравиметрии 95
А.1. Численное интегрирование......................... 95
Б. Приложение Задача о точной навигации вертолета 97
Б.1. Искажения в оптических системах ................. 97
Библиография 100
3
Введение
Структура работы
Настоящая работа выполнена автором под научным руководством профессора Н.А.Парусникова на базе и с использованием материалов научно-исследовательских работ по авиационной гравиметрии, ведущихся в Лаборатории Навигации и Управления Механико-Математического Факультета Московского Государственного Университета им. М.В.Ломоносова. В частности, для проведения сравнительного анализа работы различных алгоритмов были использованы алгоритмы, любезно предоставленные автору В.В.Тихомировым, а также данные реальных авиаграви-метрических измерений.
Целью работы являлись практическое получение робастных оценок (прежде всего, /1-оценок) и оценка целесообразности применения подобных оценок и алгоритмов в задачах авиационной гравиметрии и навигации.
Работа состоит из пяти глав, введения, заключения и двух приложений.
• «Введение», является кратким введением в историю возникновения, терминологию, проблематику и современное состояние рассматриваемых в работе задач. Также в этой главе расположен обзор имеющихся в работе библиографических ссылок.
• Первая глава содержит математическую постановку задачи авиационной гравиметрии, краткий обзор используемых в ней аппаратных средств, а также обзор математических методов, традиционно используемых для обработки результатов авиагравиметрических измерений: методов оконного сглаживания, сглаживающих сплайнов, а также оптимальных фильтрации и сглаживания по Калману.
• Вторая глава посвящена методам робастного оценивания, прежде всего, методам оценивания в норме 1\ и методам которые могут быть реализованы сходным с ними образом. Изложены основные статистические результаты, касающиеся оценок, минимизирующих норму /]. В главе содержатся
4
подробные алгоритмические описания методов, необходимые для практического вычисления таких оценок:
- алгоритм Барродсйла-Робсртеа, позволяющий сократить вдвое размерность системы уравнений при точном решении задачи ^-оптимизации методом линейного программирования.
- алгоритм взвешенных квадратичных приближений, позволяющий с помошью квадратичных методов эффективно получать приближения решения задачи 1\.
Третья глава состоит из двух частей, содержащих результаты применения робастных алгоритмов, соответственно, в модельной и реальной задачах авиационной гравиметрии.
Для модельной задачи строится модель гравитационной аномалии, на которой испытываются различные варианты сглаживания предлагаемыми робастными нелокальными сплайнами.
Для реальных данных приводятся результаты статистического анализа работы струнного гравиметра и результаты применения /1-алгоритма при решении задачи гравиметрии локально-полиномиальным приближением в бегущем окне.
В четвёртой главе рассматривается задача о точной навигации висящего вертолёта по данным ведущейся с его борта видеосъёмки. Автоматизированная компьютерная обработка видеоизображений служит хорошим примером задачи с неизвестными статистическими свойствами ошибок измерения, что приводит к большим преимуществам применения робастного 1\ -метода. В главе приведены результаты компьютерного моделирования, подтвердившие существенное превосходство алгоритма над аналогичным алгоритмом 12 с точки зрения надёжности.
В пятой главе рассматривается задача обработки данных, снимаемых с бесплатформенной инерциальной навигационной системы (БИНС), имеющей избыточную систему датчиков угловой скорости. Предлагается построение робастной
оценки вектора мгновенной угловой скорости по избыточным данным путём решения переопределённой системы уравнений измерений в смысле наименьших модулей либо Хыобера относительно проекций мгновенной угловой скорости на оси приборной системы координат. Оценивается сложность численной реализации метода для случаев использования методов линейного программирования и итерационного квадратичного.
• «Заключение», обобщает результаты применения автором алгоритмов робастного оценивания в рассмотренных задачах и содержит вывод о целесообразности их применения в реальных задачах гравиметрии и топопривязки.
• В приложении А содержатся некоторые детали численного интегрирования, применяемого в разделе 3.1.2
• В приложении В приведены результаты дополнительных исследований, проведённых автором по теме главы 4 с целью подтверждения возможности создания описываемой системы.
Гравиметрия
Задача разведки полезных ископаемых является столь же необходимой сколь и дорогостоящей операцией. Бурение пробной нефтяной скважины обходится в миллионы долларов, которые могут быть потрачены впустую в случае неудачи. При этом большинство доступных территорий хорошо изучены с точки зрения геологии, в том числе и с применением самых сложных и современных средств. В настоящее время поиск новых месторождений вынужденно ведётся в местах, где геологические исследования естественным образом затруднены: в труднодоступных местностях, районах крайнего севера, местах возможного залегания под морским дном - последнее относится прежде всего к прибрежным шельфам.
Одним из немногих методов разведки, который может быть применён в подобных случаях является гравиметрический, суть которого состоит в обнаружении гравитационных возмущений у
6
поверхности Земли, вызываемых присутствием под поверхностью больших объемов, отличающихся по плотности от окружающих их пород. Прежде всего, так могут быть обнаружены залежи нефти и газа, имеющие характерные проявления на гравитационных картах.
До недавнего времени гравиметрические измерения проводились исключительно наземным способом, позволяющим непосредственно измерять значение силы тяжести в выбранной точке. Появившиеся не столь давно средства точной навигации, и в первую очередь средства спутниковой навигации, позволили поставить задачу о гравиметрических измерениях на подвижном основании. Первой была решена задача морской гравиметрии. Несмотря на достаточную точность для задач разведки (ОАмГал), построение карт морским способом остаётся всё же весьма дорогостоящим и не удовлетворяет всем потребностям, что и заставило искать более дешевые способы. Одной из альтернатив стало проведение гравиметрических измерений с борта летательного аппарата.
Авиационная гравиметрия может стать одним из наиболее дешевых и практичных способов построения гравитационных карт. Однако для решения задачи авиационной гравиметрии необходимо преодолеть целый ряд трудностей, как технологических, так и методических. Траекторные перегрузки, возникающие при движении самолётов и вертолётов, имеют порядок сотен Гал (при проведении гравиметрических измерений их удаётся снизить до ста, в лучшем случае, до нескольких десятков Гал), точность же определения аномалии должна составлять менее 1 мГал. Единственной фирмой, преодолевшей все названные трудности и создавшей коммерческую авиагравиметрическую систему на базе вертолёта с точностью 1 мГал, является фирма Carson; на момент написания работы в нескольких местах ведутся интенсивные разработки с целью создания аналогичных и более точных систем. В Лаборатории Навигации и Управления Механико-Математического факультета Московского Государственного Университета им. М.В.Ломоносова разрабатываются алгоритмы обработки авиагравиметрических измерений, позволившие получить точность 0.7 мГал для измерений, ведущихся с борта самолёта.
7
С точки зрения механики задача авиационной гравиметрии представляет собой пример некорректной задачи определения сил, действующих на тело, по дискретным измерениям его траектории. Неоднозначность решения преодолевается явным или неявным заданием математической модели действующих сил, в результате чего задача становится задачей оценивания. Другой её особенностью является необходимость выделения малого сигнала на фоне больших шумов, в связи с чем становится весьма важным вопрос об оптимальной обработке данных с точки зрения статистики. Поскольку большинство методов, используемых на практике в задачах оценивания ориенировано на нормальное распределение ошибок измерений, возникает интерес к методам, предполагающим другие распределения ошибок, или, но крайней мере, нечувствительным к отклонениям от нормального их распределения.
Задачи топопривязки и точной навигации
С появлением спутниковых навигационных систем, в идеале позволяющих получить координаты антенны с точностью до миллиметров, несколько уменьшился спрос на другие методы топопривязки. Тем не менее, некоторые недостатки систем GPS, а именно: присущие GPS сбои, чувствительность к помехам и блокаде спутниковых сигналов, пока еще имеющее место загрубление точности в военных целях могут заставить использовать дублирующие средства навигации, особенно в системах с повышенными требованиями к безопасности.
В работе приведён алгоритм, позволяющий реализовать давно предложенную идею визуальной навигации, г.е. использования в навигационных целях видеосъёмки, ведущейся с подвижного объекта.
Проведение любых измерений на реальных фото- и видеоизображениях сопряжено со значительными трудностями прежде всего потому, что имеет, как правило, малую степень автоматизации. Как показало моделирование, использование рассматриваемых в работе робастных методов может позволить добиться устойчиво точной работы в полевых условиях и реальном времени алгорит-
8
- Киев+380960830922