Динамика твердых тел и вихревых структур в идеальной жидкости

Оглавление
Введение ............................................................................... 4
ГЛАВА 1. Взаимодействие вихрей и твердых тел в идеальной жидкости .... 18
1.1. Вывод уравнений движения для кругового цилиндра, взаимодействующего с точечными вихрями.................................................................... 18
1.2. Интегрируемость и качественное исследование в случае одного пихря.............. 30
1.3. Случай двух вихрей............................................................. 17
1.4. Случай тела произвольной формы ................................................ 49
1.5. Движение твердого тела и точечных вихрей на поверхности двумерной сферы . . 59
1.5.1. Гидродинамика на двумерных поверхностях................................. 02
1.5.2. Движение кругового твердого тела на 6У2................................. 68
1.5.3. Движение твердого тела на в2, взаимодействующего с точечными вихрями 71
1.5.4. Явное интегрирование уравнений движения. Диаграмма Смейла и геометрическая интерпретация......................................................... 75
1.5.5. Приложение. Вывод формулы для момента Мг'............................... 79
Глава 2. Движение нескольких твердых тел в идеальной жидкости........................ 84
2.1. Движение двух круговых цилиндров в идеальной жидкости.......................... 88
2.1.1. Уравнения движения ..................................................... 89
2.1.2. Сведение к двум степеням свободы. Первые интегралы и интегрируемость. Отображение Пуанкаре........................................................... 92
2.1.3. Ограниченные задачи..................................................... 94
2.1.4. Уравпешш движения в предельном случае = Яг =■ 0.........................100
2.2. Общие уравнения движения массовых вихрей.......................................106
2.3. Задача о движении двух массовых вихрей
(качественное исследование)....................................................115
2.1. Взаимодействие двух сфер. Вывод уравнений движения. Редукция...................122
2.4.1. Уравнения движения .....................................................123
2.4.2. Редукция системы в алгебраическом виде .................................128
2.4.3. Симплектические координаты..............................................131
Ь
2.4.4. Ограниченные задачи.................................................133
2.5. Редукция в задаче о движении двух сфер на 53 и задаче о движении трех вихрей
на 52......................................................................137
Глава 3. Самонродвижение твердого тела в идеальной жидкости.......................149
3.1. Обобщение теоремы Лиувилля. Вывод уравнения движения деформируемого тела 151
3.2. Самонродвижение тела с твердой оболочкой..................................160
3.3. Случай тела с 'гремя ортогональными плоскостями симметрии.................166
Приложение 1. Описание программного комплекса................................172
1.1. Общий вид комплекса.......................................................174
1.2. Вазовые инструменты.......................................................178
1.3. Зависимые инструменты.....................................................181
1.4. Фильтры и дополнительные окна.............................................189
1.5. Методы интегрирования ....................................................192
Заключение........................................................................198
Литература........................................................................200
Введение
Исследование вихревых структур имеет важное значение в силу очень большого спектра приложений применяемых здесь моделей: с одной стороны эти модели, наиболее хорошо описывают движение подводных аппаратов, крупномасштабную динамику атмосферы и океана (и на сегодняшний день наиболее часто используются для анализа движений различных вихревых образований, таких как, циклоны, торнадо, океанические ринги; анализа динамики иримсси, загрязнений, некоторых аспектов прогноза погоды, позволяют объяснить различные явления астрофизики, связанные с возникновением и эволюцией звезд), с другой стороны эти модели активно используются для описания движения вихрей в сверхтекучих жидкостях и находят применение в квантовой механике. Не случайно этой тематике посвящено и посвящается огромное, порой трудно обозримое, число работ во всем мире. Рассмотрим прежде основные этапы возникновения вихревой теории п охарактеризуем ее современное состояние. В основном тексте при обсуждении конкретных результатов будут приводиться более полные комментарии, которые, возможно, иногда будут пересекаться с изложенными во введении.
Ранние исследования по теории вихревого движения восходят к Декарту, Гюйгенсу, Иоганну и Даниилу Бернулли. В этот период были установлены некоторые закономерности вихревого взаимодействия, но вихревая теория Декарта в этот период претендовала на описание движения небесных тел и конкурировала, с ньютоновской теорией гравитации. Несмотря на ожесточенную полемику картезианцев и пыотоииаицев, теория Декарта вскоре была вытеснена ньютоновской картиной мира и почти совсем забыта. Интересное описание этого периода развития вихревой теории можно найти в книге В. В. Козлова «Общая теория вихрей»
Ч
[33|. Отметим, что исторически первые труды Эйлера и Лагранжа, создававших ньютоновскую гидродинамику (а также теорию сплошных сред), ограничивались описанием потенциальных (безвихревых) течений идеальной жидкости.
Возрождение интереса к вихревой динамике относится к середине XIX столетия. Это труды Гельмгольца, Кельвина и Кирхгофа, приведшие не только к открытию существенно новых гидродинамических результатов, но и к созданию наиболее общей вихревой теории материи (которая в основном пропагандировалась Кельвином). Остановимся здесь более подробно на достижениях этих ученых и их современников, а затем перейдем к более поздним исследованиям.
Гельмгольц, Герман Фердинанд фон (1821—1894). Возникновение современной вихревой теории следует связывать с замечательной работой Г. Гельмгольца «Об интегралах уравнений гидродинамики, соответствующих вихревым движениям» (1858 г.) [101], в которой он доказал основные теоремы о движениях идеальной жидкости, при отсутствии однозначного потенциала скоростей. Эти движения жидкости он и назвал вихревыми. Там же он указал аналогию между движением жидкости и магнитным действием электрических токов, а также привел ряд примеров, относящихся к движению прямолинейных и кольцеобразных вихрей (имеющих форму 'гора, в предельном случае «бесконечно-малого сечения»).
Особое значение в вихревой теории имеет теорема Гельмгольца, которую Л. Пуанкаре считал наиболее значительным вкладом в гидродинамику [50]. Ее сутью является закон вморо-жеиности вихревых линий, позволяющий рассматривать вихревые образования как некоторые материальные объекты, подобные телам в классической механике.
13 движении кольцеобразных вихрей Гельмгольц описал два частных случая, в одном из которых вихри (с противоположно направленными вращениями) движутся навстречу друг к другу, а радиус их колец возрастает. Движение колец во втором случае, в котором вращения уже сонаправленны, еще более интересно: оба кольца будут передвигаться в одну и ту же сторону, причем первое из них расширяется и замедляет свое движение, пока через него проходит второе, сужающееся, кольцо. Этот процесс повторяется периодически во времени и называется чехардой.
Отметим, что Гельмгольц также опиат движения двух точечных вихрей (параллельных вихревых нитей). Более подробные обсуждения результатов Гельмгольца, электродинамической аналогии и метеорологических приложений теории вихрей, содержатся в лекциях Пуанкаре 1893 г. |50].
5
Кирхгоф, Густав Роберт (1824-1887). В своих лекциях по математической физике (первое издание относится к 1876 году) Кирхгоф (30| вывел общие уравнения движения N точечных вихрей (называемые иногда уравнениями Кирхгофа), указал их гамильтонову форму, а также получил для них все возможные первые интегралы. По сравнению с небесномеханической задачей N тел эти уравнения имеют первый порядок относительно координат вихрей, роль масс в них играют некоторые параметры, называемые циркуляциями. Он также более подробно (по сравнению с Гельмгольцем) рассмотрел случай двух вихрей, включая случай вихревой пары. В последующих изданиях он рассмотрел также указанный Гребли интегрируемый случай трех вихрей.
Кирхгоф рассмотрел особый случай вихревого движения, когда параллельные вихревые нити заполняют внутренность эллиптического цилиндра. Оказывается, что эллиптическая форма цилиндра сохраняется во время движения, хотя сам цилиндр при движении деформируется. Модель вихря Kupxeotßa, или эллиптического вихря> и используется для изучения движений пятен завихренности. В лекциях Кирхгофа также дан более подробный анализ движения вихревого кольца.
Гребли, Вальтер (1852-1903), Горячев Д. Н. (1867-1949). Вальтер Гребли в своей диссертации 1S77 года «Spezielle Probleme über (lie Bewegung geradliniger paralleler Wirbelfäden» [97] подробно проанализировал интегрируемую задачу о движении трех вихрей на плоскости. Отметим, что ссылка на эту работу Гребли уже имеется в лекциях Кирхгофа (1883 года) (30]. С другой стороны, Л. Пуанкаре в своих лекциях 1893 года и вышедшей по ним книге «Théorie des Tourbillions» не только не ссылается на Гребли, а дает достаточно запутанное доказательство интегрируемости (возможно, просто допуская типичную для него неточность в выражениях).
Для анализа движения Гребли получает (приведенную) систему трех нелинейных уравнений, обладающую двумя интегралами движения и позволяющую получить явную квадратуру. Далее он рассматривает вопрос восстановления по полученной квадратуре абсолютного движения. Более подробно он анализирует частные случаи равных интенсивностей и взаимодействия вихревой пары с единичным вихрем (случай, интересный с точки зрения теории рассеяния). Гребли также вводит геометрическую интерпретацию, полезную при исследовании движения трех вихрей на сфере (последние исследования этой системы относя тся уже к 1998 году).
Отмстим, что в своей диссертации Гребли также рассматривает частный случай задачи четырех вихрей (при наличии оси симметрии) и более общий случай движения 2/V вихрей, обладающих N осями симметрии.
Анализ частных движений системы N вихрей, характеризующихся наличием различных дискретных симметрий, которые обеспечивают сведение к квадратурам, содержится в неболь-
6
той книге Д. Н. Горячева [23), вышедшей в 1898 году к 40-летшо написания Г. Гельмгольцем его основной работы по теории вихрей (в |23| особенно подробно разбираю гея случаи п = 4,5). Укажем, что частные решения, найденные и изученные Д. И. Горячевым, оказались очень важными для понимания общей динамики в неинтегрирусмой ситуации. При дополни тельных ограничениях они приводят к семейству замечательных периодических и квазииериодичееких решений*, называемых аналитическими хореографиями.
Исследования Гребли задачи трех вихрей были продолжены Дж. Сингом1 [1 19], который сформулировал и доказал ряд теорем об абсолютном движении и получил простое условие ограниченности трасктори й.
Исследования Гребли и Синга были частично забыты, и в исследованиях Е. А. Новикова ■ IT), X. Лрсфа (64), их многие результаты были повторены. Анализ устойчивости стационарных коллинеарных конфигураций задачи трех вихрей содержится в работе [150].
Лорд Кельвин (В. Томсон), Дж. Дж. Томсон, Т. X. Хавелок. Следуя общей идее XIX века, согласно которой обьяснения различных физических феноменов следует искать в подходящих механических интерпретациях, лорд Кельвин предложил теорию вихревых атомов (On vortex atoms. Phil. Mag. 1867). В этой теории мир понимается как некоторый эфир (аналог идеальной жидкости), в котором взаимодействуют вихри Гельмгольца, подобные атомам, образующим молекулы. При этом сами атомы имели форму вихревых колец. Микроскопические вихри (по терминологии Кельвина) в этой теории объясняли гравитацию, которая понималась как результат их усредненного воздействия (толчков) с достаточно большой скоростью. Эти идеи Кельвина вскоре были полностью вытеснены атомной и квантовой механикой.
Кельвин также поставил вопрос об устойчивости стационарного вращения системы N точечных вихрей, помещенных в вершинах правильного /V-уголышка. Он обратил внимание на аналогию этой проблемы с проблемой устойчивости равновесия системы одинаковых плавающих магнитов во внешнем магнитном поле. Эксперименты с плавающими магнитами, проведенные первоначально А. М. Майером [127), привели Кельвина к мысли, что при числе вихрей (магнитов), большем 5, вращающийся многоугольник является неустойчивым (на самом деле случай п = 6 является устойчивым). Эксперименты Майера далее совершенотовались во многих работах, в том числе современных, подробные ссылки имеются в [40].
Линейную устойчивость правильного АГ-угольника исследовал
Дж.Дж. Томсон (открывший электрон). Он установил, что при /?. ^ 6 имеет место линейная устойчивость. Допустив арифметическую ошибку, для п = 7 он нашел экспоненциально расту-
111а русский язык были переведены четыре работы Дж Смш а (но другой транскрипции — Дж Синджа): Тсп.юрные методы о динамикс, ИЛ, 1947; Классическая динамика, ГИФМЛ, 19G3; Общая теория, относительности, ИЛ, 1963; Релятиоиапский гио, Л том из дат, 1960.
7
щие решения. Томсон также предположил, что при п > 8 линейная неустойчивость сохраняется. За свои исследования устойчивости Дж.Дж. Томсон был удостоен в 1883 году премии Адамса.
Полный линейный анализ устойчивости полигональной конфигурации провел Т. X. Хаве-лок [100], который установил линейную неустойчивость при п ) 8 и указал на выделенность случая п = 7, для которого линейный анализ не позволяет сделать выводы об устойчивости, и на необходимость рассматривать нелинейные слагаемые. Устойчивость случая п — 7 была недавно доказана в работе [40] после различных, не совсем удачных, попы ток нескольких авторов [75, 129].
Отметим, что в работе [100] (1931 г.) Хавелок исследовал также устойчивость системы вложенных друг в друга вихревых многоугольников и устойчивость томсоновских многоугольников, помещенных в круговую область.
Современные исследования. 1) В работах Е. А. Новикова (1975) и X. Арефа
(1979) были еще раз независимо воспроизведены исследования Гребли и Синга по анализу интегрируемой задачи трех вихрей, причем были указаны некоторые новые интересные факты.
2) В работах В. А. Богомолова были получены уравнения движения точечных вихрей на сфере. Первоначальный и не совсем полный анализ этой задачи был выполнен еще И. С. Громекой. (На самом деле Богомолов переоткрыл результаты Е.Цермело, который еще в XIX веке получил, а в случае малого 4) числа вихрей очень подробно исследовал эти уравнения. Здесь мы, тем не менее, упоминаем Богомолова поскольку авторство в данном вопросе (ошибочно) приписывается ему. Справедливости ради следует отметить, что работы и Богомолова и Цермело замечательны и идейно абсолютно различны; подробнее это обсуждается в последнем параграфе первой главы). В. А. Богомолов также указал все необходимые дополнительные интегралы и подробно исследовал интегрируемый случай трех вихрей с одинаковым значением интенсивностей. В случае различных интенсивностей анализ движения был выполнен одновременно и независимо в работах А. В.Борисова, В. Г. Лебедева [79], П. Ньютона и Р. Кидамби [116, 115| (1998 г).
3) В. А. Богомоловым были получены условия линейной устойчивости аналогов томсоновских конфигураций на сфере, которые далее неоднократно переот-
8
крывались [8]. Условия устойчивости по Ляпунову были получены в [75|. Нелинейный анализ устойчивости этих конфигураций в критических случаях был недавно выполнен Л. Г. Куракиным [39|. В нескольких работах были указаны статические конфигурации, составляющие Платоновы тела (ем., например, [13|). В связи с проблемами современной химии полимеров в последнее время изучаются также близкие периодические движения или составные конфигурации, образующие так называемые вихревые кристаллы [67].
4) Неинтегрируемость задачи четырех вихрей на плоскости (в ограниченной постановке) была первоначально доказана С.Л.Зиглиным [29]. Этот результат подтверждает хаотизацию движения четырех вихрей, отмеченную Е. А. Новиковым II Ю. Б. Седовым [48]. Неинтегрируемость движения четырех вихрей на сфере и движения трех соосных вихревых колец была исследована А. А. и Д. А. Багре-цами [5, 68]. Применение КАМ-теории и явное понижение порядка для четырех вихрей (интенсивностей одного знака) на плоскости было выполнено К. М.Хани-ным [114] п позднее Лимом [124] (см. также работу [87]).
5) Статистические аспекты вихревой теории, непосредственно связанные с моделями регулярной турбулентности, подробно описываются в книге П. Ньютона [133]; аэрогидродинамические вопросы, связанные, например, с проблемой вихревого обтекания, представлены в книге Ф. Дж. Сэффмэна [59].
6) В ряде работ, принадлежащих Ткаченко [60], 0:Нейлу [132], Арефу и Стрем-леру [66, 148], рассматриваются задачи, связанные с взаимодействием вихревых цепочек и вихревых решеток. Здесь речь идет о бесконечных в обе стороны наборах одинаковых вихрей, образующих цепочку (когда вихри лежат на прямой через одинаковый интервал) или решетку (т. с. совокупность цепочек, также лежащих на одинаковом расстоянии друг от друга). В первом случае система является однопериодической п определена на цилиндре, во втором случае — она двоякопериодична и определена па торе. В такой постановке вопрос о взаимодействии вихревых цепочек, по существу, рассматривался Г. Ламбом, Т. фон Карманом, Н. Е. Ко-
9
чиным [38, 45, 113) в связи с анализом устойчивости вихревых дорожек (дорожек Бен ара-Кармана), образующихся при вихревом обтекании цилиндра. В этом случае мы имеем две вихревые цепочки с равными, но противоположными по знаку циркуляциями.
Здесь следует также отметить замечательную работу А. А. Фридмана и П. Я. Полубариновой (Кочиной) (1928 г.) [61], в которой впервые были получены общие уравнения взаимодействия произвольного числа вихревых цепочек, а также уравнения движения вихреисточников.
Интегрируемость трех вихрей на цилиндре и торе с нулевой суммарной циркуляцией была впервые отмечена Х.Арефом в 1984 году [65|. В работе [132] О’Нейл произвел суммирование бесконечных рядов, приведших к ^-функциям Вейерштрасса, и указал явное сведение этих задач к одной степени свободы. В работе [155| используются не эллиптические формулы, а явные выражения в виде быстросходящихся рядов, которые упрощают вычисления. Более подробно эти задачи изучались в [66, 148], где приведены несколько фазовых портретов приведенной системы на двумерной плоскости. Однако качественный анализ интегрируемых и неинтегрпруемых задач в этой области еще далек от завершения.
7) Взаимодействие точечных вихрей с неподвижными гладкими стенками рассматривалось на раннем этапе развития теории вихревых структур. Еще Гельмгольц рассмотрел движение одного точечного вихря в идеальной жидкости, ограниченной плоскостью. Теория движения вихрей в произвольной области была заложена Э.Дж. Раусом [142] (решение для случая круговой области уравнения движения получил еще раньше А. Гринхилл [96]). Наиболее детально исследовались простейшие области — круг, прямоугольник, прямолинейный канал, многоугольники. Следует, однако, отметить, что эти задачи, хотя в большинстве случаев и имеют важное азрогидродпнамическое значение (и рассматривались еще
Н. Е. Жуковским и С. А. Чаплыгиным в связи с вихревым обтеканием тел идеаль-
10
ной жидкостью и общей теорией подъемной силы), до сих пор далеки ОТ ПОЛНОГО решения.
Э) Ограниченные задачи вихревой динамики связаны с динамикой «бесконечно-малого» вихря (частицы жидкости или примеси) в потоке жидкости, создаваемом вихревыми структурами (например, взаимодействующими точечными вихрями). При этом предполагается, что рассматриваемый малый вихрь никак не влияет на движение этих структур. Такого рода исследования лежат в основе теории адвекции. Очевидно, что общее движение примеси является хаотическим уже для двумерного случая. Интерес к этой тематике в основном был стимулирован работами X. Арефа (который ввел широко используемое понятие хаотической адвекции). Изучение хаотизации в таких задачах, как иногда считают, имеет важное значение для объяснения турбулентности. Рассмотренная в диссертации модель массовых вихрей [139| позволяет изучать более реалистичное и важное, ггапример для изучения процессов волнового перемешивания [21], явление динамической адвекции, когда массы перемешиваемых частиц отличны от нуля.
9) Задача о движении 'твердого тела в жидкости по праву относится к числу наиболее трудных проблем гидродинамики. Первые задачи о движении твердого тела, взаимодействующего с жидкой средой, восходят к Максвел- лу, Кирхгофу, Ламбу, Жуковскому и Чаплыгину. Существует два основных подхода к ее решению, первый, так называемый феноменологический, имеет в своей основе данные экспериментов и построение упрощенных моделей движения тела. Этот подход восходит своими истоками к работам классиков механики [27, 28]. В современных работах он широко применяется при исследовании движения тела в сопротивляющейся среде (см., например, [46]). Второй подход представляет собой попытку точного определения сил н моментов, действующих на тело со стороны жидкости. Для этого в случае вязкой жидкости необходимо использовать полные уравнения Навье-Стокса с граничными условиями на подвижной поверхности. Аналитически такая задача представляется неразрешимой. Однако в случае, когда жидкость
п
идеальная п несжимаемая, а течение безвихревое, ее удается свести к интегрированию системы обыкновенных дифференциальных уравнений, для исследования которых применимы методы классической механики. Различные частные случаи этой задачи рассматривали Пуассон, Стокс, Дирихле, Клебш и др. В 1870 г. Г.Кнрхгоф свел задачу о движении твердого тела в неограниченном объеме идеальной несжимаемой жидкости, покоящейся на бесконечности, к интегрированию замкнутой системы обыкновенных дифференциальных уравнений. Влияние идеальной жидкости на тело, как известно, проявляется в эффекте присоединенных масс. Затем В.Томпсон и Р.Тэт дали свой вывод этих уравнений([45],§134) с использованием принципа Гамильтона, обобщив при этом задачу па случай неодносвязного тела. При выполнении определенных условий, помимо эффекта присоединенных масс, действие жидкости на тело может проявляться в виде дополнительных гироскопических сил, обусловленных циркуляцией. Так Н.Е. Жуковским [27] получена формула для подъемной силы, действующей па тела цилиндрической формы. Применяя свою формулу, Жуковский рассмотрел ряд задач о падении тяжелых твердых тел в безграничном объеме идеальной жидкости [27, 28]. В этих работах действие жидкости на твердое тело сводилось лишь к одной подъемной силе, что приводило, в частности, к нереалистичному предположению о несвязности поступательного и вращательного движений. С.А. Чаплыгин в 1926 г. [62] решил более общую задачу о силах и моментах, действующих па твердое тело, двигающееся произвольным образом в бесконечном объеме идеальной жидкости. Предполагается, что жидкость совершает безвихревое движение и покоится на бесконечности. В частности, циркуляция жидкости вокруг тела постоянна. Формулы Чаплыгина позволяют записать дифференциальные уравнения движения тяжелого цилиндрического тела в идеальной жидкости с учетом ненулевой циркуляции. В отсутствии циркуляции эта задача была рассмотрена Чаплыгиным в своей более ранней работе [63]. Качественный анализ задачи Чаплыгина без учета циркуляции дан в [34], с учетом циркуляции в [35, 54, 55]. Результаты этих работ
12
были существенно доработаны и обобщены в обзорной статье [78], в которой также содержится большое число ссылок на недавние работы (в основном численные и натурные эксперименты) по данной тематике. Движение твердых тел в жидкости под действием следящей силы (направление и величина силы фиксированы в некоторой жестко связанной! с телом системе координат) выполнено в [56, 53].
10) Задача о движении в идеальной! жидкости двух твердых тел изучалась еще Стоксом, а с экспериментальной точки зрения Бьеркнесом [73]. В несколько более общей постановке задача исследовалась Н. Е. Жуковским в его «Лекциях по гидродинамике» |2б). Не менее интересной и представляющей практический интерес для современной гидроаэромеханики является задача взаимодействия в идеальной жидкости твердого тела (имеющего циркуляционное обтекание) и вихрей (137]. (Здесь подразумевается «плоская» постановка задачи.) В [83] показано, что такая система для случая круглого цилиндра является гамильтоновой с некоторой нелинейной скобкой Пуассона. При этом всегда существуют два первых интеграла движения, и задача об инерциальном взаимодействии кругового цилиндрического тела и точечного вихря является интегрируемой. Взаимодействие кругового цилиндра с двумя точечными вихрями уже не является интегрируемым и сводится к гамильтоновой системе с двумя степенями свободы. Указанные интегрируемые и иеинтегрируемые системы пока почти совсем не изучены. Отметим, что несколько позже исследований автора [137, 138], аналогичная задача исследовалась в [145]. Полученные в [145] уравнения являются частным случаем [137]. Укажем также работы [110, 1311, в которых изучается взаимодействие поступательно и равномерно движущегося или колеблющегося кругового цилиндра с одним и двумя точечными вихрями. В основном в этих работах анализируется возможность интегрируемости (и вычисляется интеграл Пуанкаре-Мельникова), а также определяются условия коллапса. В [145) анализируется устойчивость в задаче Фёппля, состоящей в изучении пары вихрей (два вихря с равными по величине, но отличающимися по знаку циркуляциями), взаимодействующей с
13
круговым цилиндром в набегающем потоке. Как известно, эта задача является хорошей моделью вихревого обтекания цилиндра при небольших числах Рейнольдса Re = 13 ^ 41. Конфигурации Феппля для случая эллиптического цилиндра исследованы в недавней работе [111).
Итак, мы подробно показали, что многочисленные различные постановки как задачи о движении точечных вихрей в жидкости, так и задачи о движении в жидкости одного твердого тела изучались долго и изучены уже достаточно основательно. Исследования в этом направлении давно перешагнули границы традиционной гидромеханики и "стали достоянием" механиков и математиков, использующих уравнения в этих задачах как полигон для испытания новых и новых качественных методов анализа динамических систем. Но вместе с тем исследования совместного движения твердых тел и вихрей (именно аналитические, а не экспериментальные исследования), а также опять-таки аналитические исследования задачи о движении нескольких тел практически не проводились. Имеющиеся работы (частично уже упомянутые) можно пересчитать по пальцам. Настоящая диссертация призвана хотя бы частично восполнить этот пробел. Представ л я етея актуальным получение точных уравнений движения (наподобие знаменитых уравнений Кирхгофа), описывающих поведение тел, взаимодействующих с вихрями, а также системы нескольких тел. Подобные системы исключительно важны не только для непосредственного вычисления гидродинамического сопротивления, испытываемого телом, движущемся в завихренном потоке, но и для исследования задач турбулентности и перемешивания. Родственная задача о самопродвижении тела в жидкости имеет важное значение для моделирования и проектирования подводных аппаратов. Интерес к ней связан с изучением механизма плавания рыб, а также явления кавитации.
Особенностью диссертации является широкое использование численных экспериментов и методов компьютерной визуализации в сочетании с аналитическими методами. Специально для этих целей был создан программный комплекс, оппсан-
14
ный в Приложении. При проверке полученных результатов (и особенно случаев интегрируемости) использовалась система аналитических вычислений МАРЬЕ. Помимо широкого приложения компьютерных методов, в работе используются и развиваются идеи и методы Ли-алгебраическиЙ редукции уравнений движения, основанные на анализе соответствующих пуассоиовых структур. Без подобных методов анализа, развивающих и обобщающих идеи Рауса, решение ряда задач представленных в диссертации традиционными классическими методами (например, движение тела в жидкости на £2, движение в жидкости двух сфер) представляется весьма проблематичным.
Остановимся теперь подробнее на структуре диссертации.
Первая глава посвящена классической задаче о взаимодействии в жидкости твердых тел и точечных вихрей. Дается строгий аналитический вывод основных уравнений, описывающих взаимодействие в идеальной жидкости кругового цилиндра и точечных вихрей. Доказано, что эта система гамильтонова, в явном виде указана достаточно нетривиальная пуассоиова структура, существование которой было обнаружено в ходе численных экспериментов. Для данной структуры выполнена редукция Дирака, что позволило записать уравнения движения цилиндра и точечных вихрей в виде, практически аналогичном классическим уравнениям Кирхгофа, описывающим движения точечных вихрей. Показано, что задача о движении цилиндра и двух вихрей не является интегрируемой. Полученные уравнения затем обобщаются на случай цилиндра произвольной формы и указывается на неинтегрируемость задачи о движении эллиптического цилиндра и одного вихря. В заключении, развивая идеи Э. Цермело, И.С. Громеки, В.А. Богомолова, заложивших основы гидродинамики на двумерных поверхностях, исследуется задача о движении на поверхности двумерной сферы кругового твердого тела, взаимодействующего с точечными вихрями.
Во второй главе рассматриваются простейшие постановки задачи о движении в жидкости нескольких тел. Исследуется движение двух круговых ЦИЛИН-
15
дров при наличии циркуляции вокруг каждого из них. Выполнено сведение к системе с двумя степенями свободы и указана иеиитегрируемость в общем случае. Устремляя затем радиусы цилиндров к нулю, считая при этом их массы неизменными, получены новые гидродинамические объекты, так называемые массовые вихри. Подробно исследовано движение двух массовых вихрей. Показано, что в общем случае эта система неинтегрируема. Найдены случаи интегрируемости н выполнен качественный анализ. В частности, найдено условие устойчивости для решения типа вихревой нары (массовые вихри противоположных интенсивностей движутся по параллельным прямым). Рассмотренная далее задача о движении в жидкости двух сфер оказывается менее тривиальной с точки зрения приведения. Для выполнения редукции к системе с двумя степенями свободы применен, разработанный в [13], метод цепочек подалгебр. Запись уравнений в редуцированных переменных позволила обнаружить нетривиальное винтовое стационарное решение в ограниченной задаче о движении двух сфер. Указанный алгоритм редукции затем распространен на случай, когда редуцированные переменные образуют уже, вообще говоря, нелинейную структуру.
В главе 3 изучается классическая задача о самопродвижении тела в идеальной жидкости, то есть обсуждается следующий вопрос: может ли тело, пребывая изначально в состоянии покоя, переместиться в наперед заданное положение лишь под действием внутренних сил? Ответ на этот вопрос положительный, в то время как при отсутствии жидкости этого, очевидно, добиться невозможно. В диссертации доказывается обобщение теоремы Лиувилля о вращении деформируемого тела (вне жидкости) вокруг неподвижной точки, и на основании этого обобщения, выводятся общие уравнения движения для деформируемого тела, погруженног о в жидкость. В публикациях, посвященных этой задаче, самопродвижение связано с изменением формы тела, а также сходом вихрей с острых кромок. Основным результатом третьей главы является утверждение о том, что для гидродинамически несимметричного тела самопродвижение возможно за счет изменения раеггределе-
16
ния массы внутри тела, тогда как форма оболочки остается неизменной. Так для тела с тремя ортогональными плоскостями симметрии при условии, что не все его присоединенные массы равны между собой, доказано, что за счет изменения геометрии масс его можно перевести в любое наперед заданное положение. Более того, используя теорему Рашевского, показано, что эффект полной управляемости проявляется уже в простейшем случае, когда внутри материальной оболочки перемещается всего одна материальная точка.
Б Приложении приведено описание использованного при исследованиях программного комплекса.
Основные результаты диссертации опубликованы в работах [36, 37, 136, 137, 138, 139, 54, 140, 56, 10, 15, 16, 8*2, 83, 84, 85).
17
Глава 1
Взаимодействие вихрей и твердых тел в идеальной жидкости
1.1. Вывод уравнений движения для кругового цилиндра, взаимодействующего с точечными вихрями
Исследуется задача о взаимодействии кругового цилиндра и N точечных вихрей, движущихся в бесконечном объеме несжимаемой идеальной! жидкости, покоящейся на бесконечности. Получены формулы для гидродинамических реакций для цилиндра произвольного сечения. Для кругового цилиндра выведены уравнения движения. Укажем сначала на частные случаи этой проблемы, восходящие к классической гидродинамике. Они в основном описаны в книгах [17, 45, 59]. Ссылки на работы, где рассмотрены некоторые частные движения цилиндров и точечных вихрей, приведены в [45]. В отличие от полуэмппрических подходов к задаче о движении тела в завихренной жидкости (дорожка Кармана) в этом параграфе уравнения движения получены абсолютно строго. Почти одновременно эти уравнения были получены в [145], однако в этой работе что суммарная интенсивность вихрей равна нулю. Также в [145] обсуждается гамильтоиовость полученных уравнений, исследуется устойчивость некоторых конфигураций в задаче Феппля [45]. Движение вихря и цилиндра, исследовалось также в (110]. В этой работе предполагалось, что цилиндр движется поступательно, т.е. движение вихря на движение цилиндра влияние не оказывает. Большое внимание уделено исследованию хаоса при возмущении движения цилиндра.
Динамика точечных вихрей (или параллельных вихревых нитей) впервые си-
схематически изучалась Кирхгофом [30), который получил гамильтонову форму уравнения движения и указал возможные первые интегралы. Их оказалось достаточно для полной интегрируемости задачи двух и трех вихрей (явное интегрирование задачи трех вихрей было впервые выполнено В. Гребли).
Классиками также рассматривались задачи о взаимодействии точечных вихрей с неподвижными твердыми телами при условии выполнения на их границах идеальных условий непротекания. В частности Грпихиллом [96] была подробно изучена задача о движении двух вихрей внутри круговой области, Т. Хавелок [100) изучал условия устойчивости полигональных стационарных конфигураций вне круговой области. Отметим также исследования Фёппля относительно обтекания твердого тела при малых числах Рейнольдса, которые сводятся к задаче об устойчивости положения равновесия пары вихрей, помещенных вместе с круговым цилиндром в равномерно набегающий поток жидкости.
Вместе с тем, задача о совместном движении твердого тела и вихре!! в безграничном объеме идеальной жидкости тоже является не менее важной в классической гидродинамики. Действительно, как следует из феноменологических теорий Прандтля (49) и Жуковского при движении твердого тела в жидкости вследствие отрыва пограничного слоя образуются присоединенные вихри, которые и обуславливают подъемную силу, наблюдаемую при различных аэро- и гидродинамических экспериментах.
Указанная задача в рамках модели идеальной жидкости и выполнении идеальных условий непротекания па границе тело-жидкость также может быть описана методами гамильтоновой механики.
Здесь мы дадим качественный анализ последнего интегрируемого случая, укажем новый частный случай интегрируемости, а также выполним понижение порядка для простейшей хаотической системы, описывающей движение цилиндра, взаимодействующего с двумя точечными вихрями.
19