Содержание
Введение 4
1 Топологические аспекты интегрируемости 9
1.1 Геометрические препятствия к интегрируемости ........................ 9
1.2 Метод сечений....................................................... 11
1.3 Трёхзвенный маятник (основной пример) .............................. 13
1.3.1 Топологические свойства фазового пространства системы, позволяющие применить метод ссчсний...................................... 16
1.3.2 Динамика системы, визуализация................................ 18
1.4 Динамика спутника (пример) ......................................... 22
1.5 Особенности применения метода сечений............................... 24
1.6 Обобщение метода сечений с помощью теории KAM....................... 26
1.6.1 Маятнико-подобные системы (пример)............................ 26
1.6.2 Анализ топологии фазового пространства........................ 28
1.6.3 Обобщение результата.......................................... 31
2 Алгебраические методы анализа интегрируемости 34
2.1 Полиномиальные интегралы............................................ 34
2.2 Продолжение интегралов в комплексную область........................ 38
2.2.1 О методе Пуанкаре............................................. 38
2.2.2 Группа монодромин и сс инварианты ............................ 40
2.2.3 Результаты С.Л. Зиглина ...................................... 45
2
2.2.4 Дифференциальная теория Галуа................................. 49
2.2.5 Результаты Моралеса-Рамиса.................................... 53
2.3 Применение к задаче о динамике маятников............................ 54
2.3.1 Двузвенный маятник............................................ 54
2.3.2 Трехзвенный маятник........................................... 57
2.4 Эффективный алгоритм применения метода Зиглина ..................... 58
2.4.1 Описание алгоритма............................................ 59
2.4.2 Система Хенона-Хейлеса (пример) .............................. 63
2.4.3 Динамика спутника (пример) ................................... 04
2.4.4 Трехзвсниый маятник (пример).................................. 65
3 Заключение 67
Список литературы 68
Приложение. Тексты программ. 71
3
Введение
Вопрос об интегрируемости динамических систем изучался приблизительно с середины XIX века. В то время иод интегрируемостью понимали интегрируемость в квадратурах, то есть для системы дифференциальных уравнений
д.х
л=у(х’°
возможность найти решение х($) с помощью операций обращения функций и взятия первообразных.
В настоящее время понятие несколько расширилось: рассматривается более сильная характеристика системы, а именно, существование достаточного количества сохраняющихся величин (первых интегралов), обладающих определенными свойствами. Приведем ниже три важных случая, когда из наличия интегралов (или инвариантов) следует интегрируемость в квадратурах.
1. Если система
^ = у(х), х.УбК" (1)
имеет (п - 1) независимый первый интеграл /ь -..,/*-1, то она интегрируема в квадратурах (векторное ноле у(х) предполагается достаточно гладким).
2. Снова рассмотрим систему (1). Пусть она имеет (п — 2) независимых первых интеграла и инвариантную меру д(х) (такая мера, что объем произвольной области не меняется при переносе области вдоль траекторий системы; эту меру называют множителем Якоби). Тогда система (1) интегрируема в квадратурах.
3. Рассмотрим теперь га.мильгпонову систему с гамильтонианом Я, имеющую п сте-
4
пеней свободы, тогда система, аналогичная (1), имеет вид:
дН
" = м
дИ .
г = 1,...,п,
где <7, - обобщенные координаты системы (ч 6 Мп, или в более общем случае Ч € С? - некоторому многообразию); р^ - импульсы системы (р Е 1£7‘, или, соответственно, р € Т*С^ - кокасательному расслоению к многообразию С}).
Гамильтонова система безотносительно к интегрируемости имеет некоторые интересные свойства. Например, если гамильтониан Я не зависит явно от времени, то его величина сохраняется - это соответствует сохранению полной энергии системы. Поток гамильтоновой системы (то есть поток векторного поля Хи = (|^, —Ц)) сохраняет объем в фазовом пространстве А/ = (ч,р) системы (теорема Лиувилля, [1]).
На фазовом пространстве гамильтоновой системы определяют пуассонову структуру: алгебру гладких функций с умножением
{/,д} = Х,д = МХг) = ш(Хг,Хя),
где и ~ симплектическая форма на А/. Функция / является первым интегралом гамильтоновой системы тогда и только тогда, когда {/, Я} = 0.
Для гамильтоновой системы справедлива теорема Лиувилля-Арнольда ([1]): Пусть гладкие функции на 2п-мергиш многообразии А/ Яг,..., Яп : М -» К находятся в инволюции ({Р%, Я, } = 0). Рассмотрим множество уровня функций Р{
М/ = {(ч, р): Я(ч, р) = Л,» « 1,...,п).
Пусть на М/ функции Я, независимы (т.с. о каждой точке М/ линейно независимы 1-формидР^). Тогда: l)Mf - гладкое многообразие, инвариантное относительно фазового
5
потока с гамильтонианом II = F\. 2) Если многообразие М/ компактно, то као/сдал его компонента связности диффеоморфна п-мерному тору
Т1 = {(pi,...,pn) mod 2тг}.
3) Фазовый поток с гамильтонианом II определяет па М/ условно-периодическое движение:
ф = U)(f).
4) Канонические уравнения Гамильтона интегрируются в квадратурах.
В таком случае система называется вполне интегрируемой, или интегрируемой по Лиувиллю- Арнольду
Мы не будем, естественно, приводить полное доказательство данной теоремы, остановимся лишь на идеях и расшифруем все требования, наложенные на систему.
Из линейной независимости dF{ следует, что М/ — подмногообразие размерности п в Л/. В основе доказательства теоремы лежит анализ действия на М/ групп переносов, порожденных сдвигами вдоль векторных полей Хг,. Условие равенства нулю скобки Пуассона двух функций Fi и Fj эквивалентно тому, что соответствующие векторные поля Xpt и Xpj коммутируют. Иными словами, на М/ существуют п касательных векторных нолей, попарно коммутирующих и линейно независимых в каждой точке. Af/ инвариантно относительно переноса вдоль каждого из векторных полей Xpt. Поэтому можно определить действие коммутативной группы = {t} на многообразии М/ дхх-сдвиг из точки х вдоль каждого из векторных полей Xpt на время U. Можно показать, что стабилизатор точки хо (множество точек t, таких что д1хо = То) есть дискрет-пая подгруппа в Rn размерности п, значит, он изоморфен 2П. Значит, многобразие М/ диффеоморфно Rn/Zn = Т"; этот диффеоморфизм и обеспечит квазипернодическос движение.
Интегрируемость в квадратурах получается явно (введением переменных действие-
6
угол). Таким образом, фазовое пространство оказывается расслоенным на инвариантные торы; движение по каждому из них квазппериоднческое, а сами торы параметризуются значением интегралов действия.
Из приведенных выше примеров ясно, что начинать изучение интегрируемости системы разумно с анализа условий существования независимых первых интегралов. Этому вопросу и будет посвящена диссертация. Для произвольной динамической системы не существует конструктивного алгоритма для проверки существования достаточного количества независимых первых интегралов, однако получен ряд результатов, выявляющих препятствия к интегрируемости. Спектр результатов в этой области очень широк. Достаточно подробный обзор можно найти в книге |3|, некоторые современные методы также хорошо изложены в [4]. Непосредственно в главах 1 и 2 мы приведем лишь те определения и теоремы, которые необходимы для понимания результатов диссертации.
В дайной работе мы предложим два принципиально различных конструктивных метода доказательства неинтегрируемости, подходящих для анализа достаточно широкого класса динамических систем. Первый (глава 1) связан с анализом топологии фазового пространства, он использует результаты теории Колмогорова-Арнольда-Мозера вместе с аппаратом стохастического анализа на основе метода Монте-Карло. Он применим для анализа вещественных систем малой размерности. Второй метод (глава 2) касается существования мероморфных интегралов комплекенфнцнрованных систем и основан па развитии алгебраических подходов С.Л. Энглина к анализу интегрируемости. Оба метода существенно используют численные методы для анализа динамических систем -именно компьютерные вычисления позволяет расширить класс исследуемых систем и применить наши методы к задачам, не изученным ранее.
Основные результаты диссертации опубликованы в работах автора ([28) - [35]).
Они докладывались на следующих семинарах и конференциях:
• Семинары в ВЦ РАН под руководством Абрамова A.A., Пальцева Б.В., Власова
- Киев+380960830922