Динамика вращающегося твердого тела на инерционной упругой пластине

Содержание.
Введение. Состояние вопроса.
Глава I. Асимптотический анализ уравнений теории пластин с учетом инерции вращения и деформации поперечного сдвига.
1.1. Сводка основных уравнений теории пластин с учетом инерции вращения и деформации поперечного сдвига. Обзор литературы.
1.2. Статический изгиб и низкочастотные свободные колебания пластин. Модифицированный функционал энергии и модифицированный функционал Гамильтона.
1.3. Сравнительный анализ низкочастотных свободных колебаний прямоугольных пластин.
1.4. Высокочастотные свободные колебания пластин. Приближенные уравнения и приближенный функционал Гамильтона.
1.5. Асимптотический и численный анализ высокочастотных свободных колебаний прямоугольных пластин.
Глава II. Движение твердого тела на инерционной упругой пластине. Квазилинейная постановка задачи.
2.1. Движение твердого тела на упругом основании различных видов. Обзор литературы.
2.2. Движение твердого тела на пластине. Постановка задачи.
2.3. Свободные установившиеся колебания твердого тела на пластине при отсутствии трения.
2.4. Свободные установившиеся колебания твердого тела на пластине при наличии трения.
2.5. Вынужденные установившиеся колебания твердого тела на пластине, возникающие из-за дисбаланса массы твердого тела.
2.6. Простейшие модели многороторных центрифуг. Торможение несущего тела в стационарном режиме.
2.7. Нестационарный режим движения твердого тела на пластине.
2.8. Движение твердого тела на пластине без неподвижной точки.
Глава III. Свободное вращение абсолютно твердого тела в сопротивляющейся среде.
3.1. Актуальность темы. Обзор литературы.
3.2. Точное решение задачи о вращении осесимметричного твердого тела в линейно вязкой среде.
3.3. Свободное вращение в линейно вязкой среде динамически симметричного твердою тела, обладающего геометрической несимметрией.
3.4. Вращение динамически симметричного твердого тела при действии на него момента линейного вязкого трения в случае неполной диссипации.
3.5. Свободное вращение несимметричного твердого тела в вязкой среде.
3.6. Вращение несимметричного твердого тела при действии на него момента вязкого трения в случае неполной диссипации. 179
Глава IV. Вращение твердого тела под действием моментов двигателя различных видов. 199
4.1. Цель и метод исследования. Обзор литературы. 199
4.2. Тензор поворота. Левый и правый векторы угловой скорости. 200
4.3. Представление тензора поворота через левый и правый векторы угловой скорости. Новый подход к решению задачи Дарбу. 203
4.4. Пример использования нового подхода к решению задачи Дарбу. Задача о движении шара по шероховатой плоскости в режиме качения со скольжением. 210
4.5. Представление тензора поворота динамически симметричного твердого тела через вектор кинетического момента. 221
4.6. Вращение динамически симметричного тела под действием постоянного момента. 225
4.7. Вращение динамически симметричного тела иод действием следящего момента. 229
4.8. Вращение динамически симметричного тела под действием полукасательного момента. 233
4.9. Вращение динамически симметричного тела под действием суперпозиции постоянного и следящего моментов. 241
4.10. Обсуждение результатов. 244
Глава V. Движение твердого тела на инерционной упругой пластине. Полная нелинейная постановка задачи. 246
5.1. Цель и метод исследования. 246
5.2. Формулировка задачи. Обзор литературы. 247
5.3. Представление тензора поворота через вектор поворота. 248
5.4. Уравнения движения пластины. 249
5.5. Уравнения движения твердого тела в случае наличия у него неподвижной точки. Граничные условия на внутреннем контуре пластины. 254
5.6. Уравнения движения твердого тела в случае отсутствия у него неподвижной точки. Граничные условия на внутреннем контуре пластины. 258
Заключение. Сводка основных результатов. 262
Список литературы. 265
3
Введение. Состояние вопроса.
В настоящее время одной из актуальных технических задач является создание уль-трацеитрифуг, предназначенных для сверхчистой сепарации веществ. Сверхчистая сепарация может быть достигнута при угловых скоростях вращения ротора центрифуги, превышающих 6000 рад/сек. Несмотря на то, что проектированием ультрацентрифуг занимаются многие фирмы (и российские, и зарубежные), тем не менее существует проблема, заключающаяся в том, что рабочий частотный диапазон ультрацентрифуг находится за первыми собственными частотами упругих элементов установки, так что при разгоне и торможении приходится проходить через резонансы. При прохождении резонансов возникают вибрации, сопровождающиеся большими динамическими нагрузками, которые приводят к поломке элементов конструкции, а иногда и полному разрушению установки.
В монографиях, посвященных центрифугам (см., например, [142], [208]) рассматриваются, в основном, гидродинамические и химические аспекты центрифугирования, а также вопросы конструктивного плана; динамическим аспектам в этих работах внимания практически не уделяется. Вопросам надежности центрифуг посвящена работа [234]. Вопросы динамики центрифуг на простейших моделях рассматриваются в книге
В.И.Соколова [194]. Динамический расчет центрифуг (а также роторов, гироскопов и других технических объектов) существенно базируется на исследовании задач о движении вращающегося твердого тела на упругом основании. Этим задачам посвящена обширная литература, подробный обзор которой содержится в параграфе 2.1 диссертационной работы. Следует отметить, что в подавляющем большинстве работ рассматривается твердое тело на безынерционном упругом основании, то есть система с конечным числом степеней свободы. Расчет ультрацентрифуг требует создания более сложных механических моделей, по сравнению с теми моделями, которые обычно используются при расчете центрифуг. При создании механических моделей ультрацентрифуг принципиальным является учет инерционных свойств упругого основания. Усложнение механических моделей неизбежно ведет к усложнению математических расчетов, поэтому важной задачей является совершенствование методов описания вращательного движения твердого тела, что позволит получать уравнения динамики рассматриваемых систем в более простой и компактной форме.
Первая и главная проблема, возникающая при исследовании движения ультрацентрифуги, связана с тем, что ультрацентрифуга представляет собой систему взаимодействующих между собой упругих и твердых тел. При создании механических моделей, более полно учитывающих свойства реальных конструкцй, для упругих элементов необходимо использовать континуальные модели: упругие стержни и упругие пластины. Исторически сложилось так, что два раздела механики — динамика твердого тела и механика сплошных сред, используют различные математические методы. Поэтому при моделировании конструкций, состоящих из абсолютно твердых тел и упругих эле-
4
ментов типа стержней и пластин, трудности возникают уже на этапе формулировки основных уравнений, при записи условий сопряжения упругого и твердого тела. Один из способов решения этой проблемы заключается в использовании единого математического аппарата для записи уравнений движения континуальных моделей и твердых тел. В динамике твердого тела традиционно применяются матричные и кватернионные методы, однако использование тензорного аппарата здесь вполне допустимо. Поэтому для более успешного исследования задач динамики континуально-дискретных систем (в частности динамики ультрацентрифуг) требуется развитие методов тензорного исчисления в динамике абсолютно твердого тела. Обзор публикаций, посвященных этой тематике, содержится в четвертой и пятой главах диссертационной работы.
Еще одна проблема, возникающая при исследовании движения ультрацентрифуг, связана с тем, что механическая модель любой реальной промышленной установки (в том числе и ультрацентрифуги) представляет собой систему с большим числом степеней свободы и с большим числом параметров. Аналитическое исследование подобной механической системы даже в линейной постановке задачи часто приводит к таким громоздким выражениям, что возникает потребность в использовании систем компьютерной алгебры. Анализ полученных результатов также затруднителен из-за большого количества параметров. Например, области устойчивости и неустойчивости легко представляются на графиках при наличии в системе двух независимых параметров; при трех независимых параметрах картинка становится пространственной; при четырех и более параметрах визуализация невозможна. Вместе с тем, линейная постановка задачи не охватывает всех эффектов, которые наблюдаются на практике. Приведем несколько примеров, когда учет геометрической нелинейности оказывается существенным. Для роторов, поперечные размеры которых сравнимы или превосходят продольные (что является типичным для центрифуг) могут возникать весьма значительные отклонения оси ротора от положения равновесия. Известно, что в ряде случаев, для достижения необходимых динамических характеристик требуется предельно уменьшить жесткость упругого основания, допустив тем самым значительные перемещения системы. При исследовании устойчивости стационарного движения оказывается, что неустойчивость в неконсервативных задачах может проявляться при очень малых амплитудах, соответствующих линейному приближению, однако описание этого явления требует использования на начальном этапе полных нелинейных уравнений движения с последующей линеаризацией условий устойчивости. Как правило, нелинейная формулировка задачи настолько сложна, что допускает только численное исследование. Перечисленные обстоятельства показывают полезность решения модельных задач, то есть простейших задач, при постановке которых принимается во внимание лишь часть элементов конструкции и часть внешних факторов. Благодаря своей простоте такие задачи допускают аналитическое исследование в нелинейной постановке. Результаты исследования этих задач дают информацию, которая при исследовании динамики реальной конструкции позволяет делать предположения о причинах возникновения различных режимов дви-
5
Рис. 1: Твердое тело на упругой пластине.
жения, и тем самым облегчает интерпретацию численных результатов. Исследование ряда модельных задач и обзор соответствующей литературы содержится в третьей и четвертой главах диссертации.
В диссертационной работе рассматривается динамическая модель центрифуги с вертикальной осыо вращения в виде вращающегося тяжелого твердого тела на инерционном упругом основании (см. рис. 1). Упругое основание моделируется пластиной, имеющей форму кольца. Внешний контур пластины жестко заделан; внутренний контур пластины прикреплен к твердому телу с помощью подшипника таким образом, что тело может свободно вращаться вокруг вертикальной оси и пластина препятствует только нутационным колебаниям твердого тела. Учитывается действие внешнего момента (момента двигателя), сопротивление окружающей среды и трение в подшипнике. Предлагается постановка задачи, в которой угол отклонения оси тела от вертикали не считается малым. При этом используется нелинейная теория пластин с учетом инерции вращения и деформации поперечного сдвига. Движение тела описывается в терминах тензора поворота и вектора углов поворота на внутреннем контуре пластины, что позволяет наиболее естественным образом сформулировать условия сопряжения твердого тела и пластины. Такой подход используется впервые. В диссертационной работе исследуются различные аспекты сформулированной задачи в квазилинейной и в полной нелинейной постановках. Решается ряд модельных задач, на примере которых исследуется влияние на движение системы различных видов момента трения и различных видов момента двигателя.
Диссертационная работа состоит из введения, пяти глав и заключения.
Во введении обоснована актуальность исследования, дана формулировка задачи и
6
приведено краткое описание содержания работы.
Первая глава посвящена асимптотическому исследованию уравнений линейной теории пластин с учетом инерции вращения и деформации поперечного сдвига. В результате этого исследования предложена новая формулировка функционала потенциальной энергии в задаче о статическом изгибе пластин и предложена новая формулировка функционала Гамильтона в задаче о низкочастотных свободных колебаниях пластин. Особенность предложенных формулировок заключается в том, что они специальным образом учитывают деформацию поперечного сдвига вблизи края пластины. Проведен сравнительный анализ предложенной формулировки задачи о низкочастотных свободных колебаниях пластин и теории пластин Кирхгофа. Исследование проводилось путем асимптотического анализа и численного решения задач о свободных колебаниях прямоугольных пластин при всех возможных типах граничных условий. Установлено, что при некоторых типах граничных условий использование теории Кирхгофа приводит к недопустимо большим реальным погрешностям даже при вычислении первых нескольких собственных частот, тогда как формулировка задачи с учетом поперечного сдвига вблизи края пластины дает вполне приемлемые результаты при всех типах граничных условий. (Под реальной погрешностью понимается относительное отличие величин, вычисленных по приближенной и по точной теориям, при данном значении малого параметра.) Проведено асимптотическое исследование задачи о высокочастотных свободных колебаниях пластин (колебаниях с частотами, принадлежащими высокочастотным спектрам). Установлено, что решение содержит быстро меняющуюся но пространственным координатам функцию, которая не является функцией типа погран-слоя, а проникает во всю область пластины, и некоторые величины, характеризующие напряженно-деформированное состояние пластины, зависят от этой быстро меняющейся функции в главных членах асимптотических разложений. Предложена приближенная формулировка задачи о высокочастотных свободных колебаниях пластины, позволяющая определять асимптотически главные члены всех величин, характеризующих напряженно-деформированное состояние пластины. Эта формулировка не содержит низкочастотного спектра, аналогично тому, как теория Кирхгофа не содержит высокочастотных спектров. Показано, что быстро меняющаяся функция может быть исключена из приближенной формулировки задачи, поскольку величины, зависящие от нее в главных членах, асимптотически малы по сравнению с величинами, в главных членах от этой функции не зависящими. Предложена формулировка высокочастотного функционала Гамильтона, содержащая только медленно меняющиеся функции. На основании результатов решения конкретных задач сделаны оценки реальной точности предложенной формулировки задачи о высокочастотных свободных колебаниях пластин.
Вторая глава посвящена исследованию квазилинейной постановки задачи о движении твердого тела на пластине в случае движений, мало отличающихся от стационарного вращения тела вокруг вертикальной оси. При формулировке данной задачи исполь-
7
зуется линейная теория пластин с учетом инерции вращения и деформации поперечного сдвига. Показано, что при уменьшении сдвиговой жесткости пластины с одновременным увеличением ее толщины перемещения на внутреннем контуре пластины (соединенным с твердым телом) уменьшаются, а напряжения увеличиваются. Интересным является тот факт, что при вынужденных колебаниях, возникающих из-за дисбаланса массы твердого тела, уменьшение перемещений на внутреннем контуре пластины оказывается существенно большим, чем увеличение напряжений. Этот эффект связан с тем. что в случае 'гонкой пластины с большой сдвиговой жесткостью максимальные перемещения и напряжения возникают на внутреннем контуре пластины, а в случае толстой пластины с малой сдвиговой жесткостью максимальные перемещения и напряжения возникают в середине пластины. Обычно при исследовании динамики центрифуг упругим элементом считается вал, на котором закреплен ротор центрифуги. Использование упругого основания указанного выше специального вида может позволить уменьшить нутационные колебания рабочего элемента центрифуги при незначительном увеличении напряжений в местах соединения твердого тала с упругим основанием. Проведено исследование влияния диссипативного момента на устойчивость перманентного вращения твердого тела вокруг вертикальной оси. Показано, что в том случае, когда момент двигателя является следящим, перманентное вращение твердого тела вокруг вертикальной оси будет устойчивым независимо от вида диссипативного момента. Если момент двигателя не удается сделать в точности следящим, то устойчивости перманентного вращения твердого тела вокруг вертикальной оси можно добиться путем уменьшения коэффициента трения в направлении оси вращения или увеличения коэффициентов трения в направлении осей, перпендикулярных оси вращения. Проведено исследование возможности стабилизации движения центрифуги путем введения в систему дополнительных роторов. Показано, что специальный подбор параметров дополнительных роторов и характеристик двигателей, приводящих их во вращение, позволяет осуществлять торможение план-шайбы сохраняя постоянным кинетический момент системы. Если дополнительные роторы вращаются в ту же сторону, что и план-шайба, можно осуществить торможение план-шайбы таким образом, что она будет проходить только первый низкочастотный резонанс. Введение в систему дополнительного ротора, вращающегося в противоположную сторону, позволяет увеличить дорезонансный диапазон угловых скоростей вращения план-шайбы. Проведено исследование задачи о движении твердого тела на упругой пластине в режиме разгона и торможения. Сложность данной задачи заключается в том, что коэффициенты в граничных условиях на внутреннем контуре пластины являются функциями времени и поэтому метод Фурье здесь не применим. Использован метод решения задачи, позволяющий свести ее к векторному интерго-дифференциальному уравнению относительно переменной, характеризующей нутационные колебания твердого тела. Используемый подход позволяет упростить исследование нестационарного режима движения центрифуги, так как при применении этого метода нет необходимости решать задачу о колебаниях пластины, а достаточно
8
решить задачу о движении твердого тела иод действием внешних моментов специального вида.
Третья глава посвящена изучению влияние различных видов сопротивления на пространственное вращение твердых тел. Исследование проводится на примере задач о свободном вращении твердых тел в вязкой среде в полной нелинейной постановке, без предположения малости каких-либо углов и угловых скоростей. Рассматриваются случаи линейного и нелинейного трения, полной и неполной диссипации. Исследование проводится путем построения и последующего анализа точного решения задачи. Для построения точных решений разработан метод, основанный на использовании рядов по убывающим степеням экспонент. Такая форма представления решения удобна для анализа асимптотического поведения решения при больших временах; кроме того, сохраняя только первые члены ряда можно получить простое и в то же время строго обоснованное приближенное решение, справедливое при больших временах. Данный метод может быть использован при исследовании некоторого класса задач, где на твердое тело помимо момента вязкого трения действуют внешние моменты иного происхождения. Разумеется, на внешние моменты накладываются ограничения, являющиеся необходимыми условиями принадлежности проекций вектора угловой скорости классу функций, на котором ряд по убывающим степеням экспонент является полной системой функций на интервале времени от нуля до бесконечности. С помощью разработанного метода получены следующие результаты. Построено точное аналитическое решение задачи о свободном вращении осесимметричного твердого тела с учетом сопротивления окружающей среды, моделируемого моментом линейного вязкого трения. Решение представлено в виде рядов по убывающим степеням экспонент, равномерно сходящихся при любых значениях параметров задачи и любых начальных условиях. Построено точное аналитическое решение задачи о свободном вращении динамически симметричного твердого тела, поверхность которого обладает геометрической несимметрией. В этом случае сопротивление окружающей среды моделируется моментом линейного вязкого трения более сложного вида. Решение также строится в виде рядов по убывающим степеням экспонент, равномерно сходящихся при любых значениях параметров задачи и произвольных начальных условиях. Построено формальное решение задачи о свободном вращении в вязкой среде несимметричного твердого тела. Сопротивление среды моделируется моментом вязкого трения, включающим в себя линейные и квадратичные по угловой скорости члены. Решение представлено в виде экспоненциальных рядов. Доказано существование области начальных значений вектора угловой скорости, при которых построенные ряды равномерно сходятся. Получены достаточные условия сходимости. Доказано, что в случае полной диссипации при любых начальных условиях существует некоторый момент времени, начиная с которого вектор угловой скорости тела будет находиться в области равномерной сходимости рядов, представляющих решение задачи. Проанализировано асимптотическое поведение решения при больших временах. Показано, что в случае полной диссипации асимптотические свойства движения несим-
9
метричного тела в точности совпадают с асимптотическими свойствами движения динамически симметричного тела, причем асимптотическое поведение решения полностью определяется соотношением параметров, представляющих собой отношения коэффициентов линейного вязкого трения к соответствующим моментам инерции твердого тела. Показано, что в случае неполной диссипации на асимптотическое поведение решения существенное влияние оказывает соотношение моментов инерции тела и начальные значения вектора угловой скорости. В результате проведенного исследования установлено, какие виды сопротивления способствуют устойчивости вращения тела вокруг определенной оси, а какие виды трения оказывают дестабилизирующее воздействие.
Четвертая глава посвящена сравнительному анализу влияния на устойчивость вертикального положения оси ротора центрифуги различных по направлению моментов двигателя. Рассматриваются четыре модельные задачи в полной нелинейной постановке. Первая: задача о вращении динамически симметричного твердого тела под действием постоянного по величине и направлению момента. Вторая: задача о вращении динамически симметричного твердого тела под действием постоянного по величине следящего момента, направленного по оси симметрии тела. Третья: задача о вращении динамически симметричного тела иод действием полукасатсльного момента, представляющего собой суперпозицию равных по величине постоянного и следящего моментов. Четвертая: задача о вращении динамически симметричного тела под действием суперпозиции не равных по величине постоянного и следящего моментов. Для первых двух из перечисленных задач построены точные аналитические решения, выраженные через гипергеометрические функции. Для третьей и четвертой задач проведено аналитическое исследование, в результате которого установлен ряд свойств движения тела на всем интервале времени и построены асимптотические решения задач при больших временах. Сравнительный анализ решений четырех указанных выше задач позволяет сделать вывод о том, что для поддержания вращательного движения ротора центрифуги оптимальным из рассмотренных является момент, представляющий собой суперпозицию постоянного и следящего моментов, так как именно этот момент способствует устойчивости положения оси симметрии твердого тела. В ходе исследования перечисленных выше задач получены следующие новые результаты. Предложено представление тензора поворота динамически симметричного твердого тела через вектор кинетического момента. Показано, что при определенных внешних нагрузках использование данного представление тензора поворота позволяет свести задачу о движении симметричного тела к аналогичной задаче о движении тела с шаровым тензором инерции. Предложено представление тензора поворота через левый и правый векторы угловой скорости. Данное представление тензора поворота позволило получить принципиально новую формулировку задачи Дарбу (задачи определения тензора поворота по известному вектору угловой скорости), использование которой дало возможность, в частности, построить точное аналитическое решение хорошо известной, но не полностью решенной до настоящего времени, задачи о движении шара по шероховатой плоскости в режиме качения
10
со скольжением.
Пятая глава посвящена выводу нелинейных уравнений движения твердого тела на инерционной упругой пластине. Пластина имеет форму кольца; внешний контур пластины жестко защемлен; внутренний контур пластины с помощью подшипника соединяется с твердым телом. Используется нелинейная теория пластин типа Рейсснера, которая описывается уравнениями десятого порядка и требует постановки пяти граничных условий в каждой точке контура. Рассматриваются две формулировки задачи. Одна формулировка задачи соответствует случаю, когда тело имеет неподвижную точку, закрепленную с помощью сферического шарнира. Другая формулировка задачи соответствует случаю, когда твердое тело не имеет неподвижных точек. Основная трудность заключается в формулировке условий соединения твердого тела и пластины. Эта проблема решается путем использования тензора поворота для описания вращательного движения твердого тела. Тензор поворота твердого тела представляется в виде композиции двух тензоров поворота, один из которых совпадает с тензором поворота тел-точек на внутреннем контуре пластины, а второй определяет вращение твердого тела вокруг оси подшипника. Такой способ представления тензора поворота позволяет наиболее естественным образом сформулировать условия сопряжения твердого тела и пластины. Тензоры поворота тел-точек пластины представляются через соответствующие векторы поворота (векторы конечного поворота, являющиеся неподвижными векторами тензоров поворота). Описание вращательного движения тел-точек пластины посредством векторов поворота дало возможность привести уравнения движения твердого тела на пластине к виду, удобному для использования в численных процедурах.
Заключение содержит формулировку основных результатов диссертационной работы.
11
Глава 1 Асимптотический анализ уравнений теории пластин с учетом инерции вращения и деформации поперечного сдвига.
1.1 Сводка основных уравнений теории пластин с учетом инерции вращения и деформации поперечного сдвига. Обзор литературы.
Известно, что при решении некоторых задач о статическом изгибе и вынужденных колебаниях пластин, в частности при решении задач о колебаниях пластин под действием ударных и других быстро меняющихся во времени нагрузок, необходимо учитывать инерцию вращения и деформацию поперечного сдвига. Поэтому важное значение приобретает решение задач о статическом и динамическом изгибе пластин по теории типа Рейсснера. Решение этих задач осуществляется, как правило, численными методами, поскольку точное аналитическое решение удается построить только в достаточно редких случаях. Большинство численных методов основано на использовании вариационных принципов. Функционал энергии и фушщионал Гамильтона в теории пластин типа Рейсснера включают в себя функции, быстро меняющиеся по пространственным координатам, что затрудняет использование этих функционалов в численных процедурах. Целью проводимого ниже исследования является формулировка приближенного функционала потенциальной энергии и приближенных функционалов Гамильтона в теории пластин типа Рейсснера, из которых исключены все быстро меняющиеся по пространственным координатам функции.
Рассматривается задача о колебаниях пластины под действием распределенной поперечной нагрузки Р(т, у, / ). Для описания напряженно-деформированного состояния пластины вводятся следующие величины; ш — поперечный прогиб, Ф — вектор углов поворота, N — вектор поперечных сил, М — тензор моментов. Введенные величины связаны с перемещениями и напряжениями в трехмерной теории упругости по формулам [56]
уА/2 уА/2
/гш = І и-п(іг, А3Ф = / иг <1г
./-А/2 ./-А/2
у А/2 уА/2 (1Л)
N = I а • т • п (1г, М ~ І а ' т - аг (іг, а = Е — пп
У-А/2 " " J-h^2 ~
Здесь и и г — вектор перемещений и тензор напряжений в трехмерной теории, А — толщина пластины, п — единичный вектор нормали к плоскости пластины, Е — единичный тензор. Полная система уравнений динамики пластин с учетом инерции вращения и деформации поперечного сдвига включает в себя: Уравнения движения
V ■Г£ + ркР=ркй>, V • М - (1.2)
А
12
Соотношения упругости
/V = С?йГ7, М = £ [(1 - + /ийгаеа] (1.3)
Геометрические соотношения
7 = Уи> + Ф, г=5^Ф + УФг) (1.4)
Здесь 7 — зектор деформации поперечного сдвига, ц — тензор изгиба - кручения, £ = £/г3/[ 12(1 - /л2)] — жесткость на изгиб, СУгГ — жесткость на сдвиг, С = £/[2(1 д)] , Г — коэффициент поперечного сдвига, Е — модуль Юнга, р
— коэффициент Пуассона, р — объемная плотность массы.
Кинематические граничные условия имеют вид
ы\с = ги*, "■% = 1'1\с = % (1.5)
Силовые граничные условия выглядят так
\'-И\г = К> \>-К-^\с = К, к-Мт|с = АС (1-6)
Здесь V и г — векторы единичной нормали и единичной касательной к контуру пластины, причем векторы г/, г, п образуют правую тройку; Ф' и Ф* — углы поворота вокруг касательной и нормали к контуру, N1 — перерезывающая сила, Л/; — изгибающий момент, М* — крутящий момент.
Введением потенциалов Ф и Г уравнения динамики пластины приводятся к более удобной форме [28]
ДДДф+,Лф_§(1 + _1_)дф + ^ф+^.Р = 0
(1.7)
Величины, характеризующие напряженно-деформированное состояние пластины, выражаются через потенциалы Ф и Е по формулам
" = -ф + бпгЬ)дф-тй^ * =
Л' = ДУДФ-^УФ + С/гГУДхп (1.8)
М = Д [(1 -,»)УУФ + дДФ3 + хп-пх УУД)]
В теории пластин типа Рейсснера существует три спектра собственных частот, для которых справедливы следующие асимптотические оценки [57]:
= 1ш\У 4- 4-...
13
Первый спектр из (1.9) — это низкочастотный изгибный спектр (он существует и в теории Кирхгофа), второй и третий спектры из (1.9) — это высокочастотные сдвиговой и изгибный спектры, наличие которых обусловлено учетом инерции вращения и деформации поперечного сдвига (эти спектры в теории Кирхгофа отсутствуют).
Известно, что классическая теория пластин не позволяет получить удовлетворительных результатов при вычислении напряжений вблизи края пластины и около отверстий, при вычислении напряжений и перемещений вблизи точки приложения сосредоточенной силы, при вычислении не самых низких собственных частот, при решении задач о вынужденных колебаний под действием импульсных нагрузок. Идея уточнения классической теории пластин путем введения в рассмотрение деформации поперечного сдвига связана, прежде всего, с именем Е. Ле1з8пег’а. Поскольку именно Е. Ле'^.чпег’ом впервые были предложены уравнения теории изгиба пластин с учетом деформации поперечного сдвига, на его работах следует остановиться подробнее. Первая работа Е. Ле)85пег’а, посвященная построению уточненной теории статического изгиба однородной изотропной пластины постоянной толщины, нагруженной поперечной распределенной силой .249', была опубликована в 1944 году. Основные идеи работы [249] заключаются в следующем. Задается закон распределения напряжений по толщине пластины; уравнения равнозесия трехмерной теории приводятся к уравнениям равновесия пластины в терминах перерезывающих сил, изгибающих моментов и крутящих моментов; из вариационного принципа Кастильяно получаются соотношения совместности и три условия на контуре. Последующие работы Е. Г^чпег’а, связанные с теорией пластин, содержат развитие идей работы [249] по двум направлениям; 1) распространение уравнений работы [249] на случай трансверсально-изотропной [254], ортотропной [255], [256] и многослойной [253] пластины, а также на случай динамического изгиба пластины [252]; 2) исследование уравнений, полученных в работе [249] и сравнение их с уравнениями теории Кирхгофа [250], [251], [255], [256]. Через 4 года после публикации первой работы Е. ЛщвэпеКа, содержащей уравнения уточненной теории статического изгиба пластин, Я. С. Уфлянд, на основе модели пластины Е. ОДззпег’а вывел уравнения поперечных колебаний пластин с учетом инерции вращения и деформации поперечного сдвига [202], а еще через 3 года Я. О. Мш<1-Пп получил такие же уравнения исходя из зариационной формулировки [243]. В последующие годы, на основе теории Л. П. МтсШп’а были построены аналитические решения задач о свободных колебаниях круглых пластин [216], [217] и прямоугольных пластин, две противоположные стороны которых шарнирно оперты [244], и проведены сравнения результатов вычисления собственных частот по теории Кирхгофа и уточненной теории. Следует отмстить, что кроме различных версий теории колебаний пластин с учетом инерции вращения и деформации поперечного сдвига, существуют теории, в которых учитывается только деформация поперечного сдвига или только инерция вращения. Эти те-
14
ории не получили широкого распространения и поэтому здесь обсуждаться не будут. Информацию о них можно найти в обзоре [40].
Различные версии теории пластин с учетом инерции вращения и деформации поперечного сдвига предлагались многими авторами. Известные варианты уточненной теории пластин различаются: 1) порядком системы дифференциальных уравнений: кроме теорий б-го порядка [48], [55], [202], [243], [249], которые принято называть теориями типа Рейсснера, существуют теории более высокого порядка [25], [212], [245]; 2) значениями физических констант: например, в теории Е. {^ээпег’а [249] коэффициент поперечного сдвига считается равным 5/6, а в теории Р. Б. МшсШп’а [243] коэффициент поперечного сдвига считается равным 7г2/12; 3) физическим смыслом, который придается величинам, описывающим напряженно-деформированное состояние пластины: поперечный прогиб, например, может интерпретироваться как перемещение срединной поверхности, как это делается в большинстве работ, а может представлять собой интегральную характеристику (1.1), как в работе [55]; 4) методом построения теории: наибольшее распространение получили прямой метод [243], [249] и асимптотический метод [32], [38], [48], [212], [245], следует упомянуть также символический метод А. И. Лурье [144] и метод начальных функций В. 3. Власова [31]. В настоящей работе используется версия уточненной теории пластин, предложенная П. А. Жилиным [56].
Разные версии теории пластин имеют различную асимптотическую точность. В тех работах, где теория пластин строится асимптотическим методом, как правило приводятся оценки асимптотической точности предлагаемой теории. Не менее интересными представляются оценки реальной точности той или иной теории, поскольку именно реальная точность определяет область применимости данной теории с инженерной точки зрения. Определение реальной точности теории пластин с учетом инерции вращения и деформации поперечного сдвига проводится путем сравнения решений задач по этой теории с решениями соответствующих задач по трехмерной теории упругости. В качестве тестовых задач, чаще всего выбираются задачи, допускающие точное аналитическое решение по трехмерной теории упругости. Обзор работ, в которых содержатся оценки реальной точности теории пластин типа Рейсснера, опубликованных до 1973 года, можно найти в работе [40]. Остановимся на некоторых работах, опубликованных после 1973 г. В работе [206] влияние понижения размерности на соответствие получаемых приближенных решений точным решениям исходных уравнений трехмерной теории упругости исследуется на примере задачи о распространении гармонической волны в упругом слое. В работах [42], [109] область применимости уточненной теории пластин оценивается на основании сравнения решений задачи об установившихся осесимметричных колебаниях круглой пластины по трехмерной теории упругости и по теории пластин с учетом инерции вращения и деформации поперечного сдвига (сравниваются собственные частоты и формы колебаний). В работе [33] рассматривается задача о статическом изгибе прямо-
15
угольной шарнирно опертой пластины под действием синусоидальной нагрузки и проводится сравнение ее точного решения по трехмерной теории упругости с решениями по различным уточненным теориям. В работах [57], [96] рассматривается задача о свободных колебаниях параллелепипеда, лицевые стороны которого свободны, а на боковых сторонах выполнены условия шарнирного опи-рания. Проводится сравнение собственных частот и форм колебаний, найденных по трехмерной теории упругости, по уточненной теории пластин [55] и по теории Кирхгофа. Эта же задача рассмотрена в работе [242], где также проводится сравнение значений собственных частот, найденных по трехмерной теории упругости и теории пластин II. О. МтсШп’а. В работе [58] рассматривается задача об изгибе пластины под действием сосредоточенной силы. Исследуется поведение прогиба вблизи точки приложения силы и показывается, что при /г —> 0 прогибы, найденные по трехмерной теории упругости и по теории типа Рейсснера, имеют одинаковую логарифмическую особенность, причем совпадение коэффициентов интенсивности зависит от значения коэффициента поперечного сдвига. Число работ, в которых проводится сравнение уточненных теорий пластин с трехмерной теорией упругости, невелико и это обусловлено тем, что существует очень мало задач, допускающих точное аналитическое решение по трехмерной тео рии упругости. Значительно больше работ посвящено сравнению уточненных теорий пластин с теорией Кирхгофа. Этот вопрос начал обсуждаться з литературе с того момента, как Е. И^бпег’ом и И.. 0. МтсШп’ым были предложены первые версии уточненной теории пластин, и обсуждается до настоящего времени. Сравнение теории типа Рейсснера с теорией Кирхгофа ведется в основном по двум направлениям. Первое направление объединяет теоретические исследования, в которых обсуждаются гипотезы, лежащие в основе построения уточненных теорий и теории Кирхгофа, предположения, позволяющие перейти от уточненной теории к теории Кирхгофа, проблемы, связанные с уменьшением числа граничных условий при переходе от уточненной теории к теории Кирхгофа, задачам изгиба пластин под действием специально выбранных нагрузок, для решения которых теория Кирхгофа не применима. Второе направление объединяет работы, в которых сравнение уточненной теории с теорией Кирхгофа ведется с прикладной точки зрения: в этих работах анализируются численные результаты решения задач о статическом изгибе, свободных и вынужденных колебаниях пластин с целью выяснения, в каких случаях теория Кирхгофа дает удовлетворительные результаты, а в каких — нет. Сравнительный анализ теорий Пуассона, Кирхгофа и теории типа Рейсснера содержится в работе [186]. Обсуждению парадокса Пуассона-Кирхгофа и его решению с помощью теории Рейсснера, а также сравнению теорий Кирхгофа и Рейсснера с точки зрения трехмерной теории упругости посвящена работа [267]. Исследование теорий Пуассона, Кирхгофа, Кельвина и Тэта с точки зрения современной теории пла-стие содержится в работе [56]. Следует упомянуть обзорную статью [24], в которой рассматриваются теории Пуассона, Кирхгофа, Кельвина и Тэта, а так-
16
же уточненные теории первого приближения.
Важное значение имеют проводимые во многих работах исследования уравнений теории пластин типа Рейсснсра с целью: во-первых, установить характер поведения функций, определяющих напряженно-деформированное состояние пластины; во-вторых, сформулировать уравнения теории пластин типа Рейссне-ра в наиболее удобной форме; в-третьих, рассмотреть возможность асимптотического перехода от теории типа Рейсснера к теории Кирхгофа; в-четвертых, провести сравнение решений задач по теории типа Рейсснера и по теории Кирхгофа и тем самым определить область применимости теории Кирхгофа. Впервые исследование уравнений статического изгиба пластин было проведено Е. Ле'^впеРом [250;, [251], который установил, что решение, кроме медленно меняющейся функции, включает в себя еще и функцию типа погранслоя, быстро затухающую при удалении от границы и медленно меняющуюся вдоль контура. Исследованию погранслойной функции и ее влияния на напряженное состояние пластины вблизи границы посвящено много работ. В работе [76] погранслой вблизи жестко защемленного края пластины исследуется с точки зрения трехмерной теории упругости; проводится сравнение с результатами, полученными по теории типа Рейсснера и по теории Кирхгофа. В работе [264] строится аналитическое решение задачи об изгибе круглой пластины распределенным по контуру изгибающим моментом; проводится сравнение результатов вычисления моментов и перерезывающих сил вблизи края пластины по теории типа Рейсснера и по теории Кирхгофа; показывается, что изгибающие моменты совпадают достаточно хорошо, а крутящие моменты и перерезывающие силы существенно отличаются. В работе [239] проводится исследование распространения погранслоя вдоль свободного края при одноосном изгибе пластины. В работе [211] исследуется напряженное состояние пластины вблизи ее границы ка примере толстых прямоугольных пластин, на границе которых выполнены условия жесткой заделки, шарнирного опирания или свободного края; особое внимание обращается на зависимость ширины граничной зоны от толщины пластины. В работе [5] проводится сравнение решений задачи о статическом изгибе бесконечной полосы по теории типа Рейсснера и по теории Кирхгофа. В работе [213- исследуются задачи о статическом изгибе прямоугольных пластин при различных типах граничных условий под действием равномерно распределенной и сосредоточенной нагрузки. Путем сравнения максимальных значений прогибов показывается, что различие между классической теорией и теорией типа Рейсснера в случае равномерно распределенной нагрузки значительно меньше, чем в случае сосредоточенной силы. На основании многочисленных работ, посвященных исследованию уравнений статического изгиба пластин в теории типа Рейсснера и сравнению этих уравнений с уравнениями классической теории пластин, можно сделать следующие выводы. Уравнения статического изгиба пластин в теории типа Рейсснера содержат в себе функцию типа погранслоя, которой нет в классической теории пластин. В связи с этим, решения, найденные по те-
17
ории Кирхгофа и по теории типа Рейсснера, существенно отличаются вблизи края пластины, причем это отличие особенно заметно при определении крутящего момента и перерезывающей силы. С асимптотической точки зрения, при вычислении этих величин вблизи границы пластин теория Кирхгофа допускает ошибки порядка 0(1). В задачах об изгибе пластин под действием сосредоточенной силы, решения вблизи точки приложения силы, найденные по теории Кирхгофа и по теории типа Рейсснера, имеют качественное различие.
Исследования задач о свободных колебаниях пластин проводились в упоминавшихся выше работах [42], [57], [96], [109], [216], [217], [242], [243], [244], [252], где рассмотрены круглые и прямоугольные пластины. В работе [214] получены частотные уравнения для 8-ми типов граничных условий в случае круглых пластин. В работе [227] найдены собственные частоты кольцевых пластин. В работе [268] содержится обзор работ, посвященных вычислению собственных частот круглых и кольцеобразных пластин по различным теориям. Исследования задачи о свободных колебаниях позволили установить, что в теории типа Рейсснера существует три спектра собственных частот. Один из этих спектров
— низкочастотный. Частоты, принадлежащие этому спектру, имеют асимптотический порядок О (к) в сравнении с единицей; этот спектр является изгибным и соответствующий ему спектр есть в теории Кирхгофа. Два других спектра высокочастотные. Частоты, принадлежащие этим спектрам, имеют асимптотический порядок 0[к~1) в сравнении с единицей, причем асимптотически главные члены всех собственных частот одинаковы. Один из высокочастотных спектров
— сдвиговой, другой — изгибный; аналогичных спектров в теории Кирхгофа нет. В работе [110] изучается вопрос о влиянии граничных условий на значения собственных частот осесимметричных пластин. В работе [263], путем сравнения с трехмерной теорией упругости, показывается, что не самые низкие частоты в спектре по теории Кирхгофа вычисляются с достаточно большими ошибками. В работе [3] утверждается, что вопрос о нахождении высших собственных частот даже для тонких пластин, а также низших частот для пластин средней толщины не может быть решен в рамках существующей прикладной теории, и предпринимается попытка сформулировать последовательность приближенных теории, позволяющих при средних толщинах определить любое наперед заданное число первых собственных частот с достаточной точностью. В работе [205] показывается, что уравнения динамики пластины Рейсснера можно асимптотически упростить таким образом, что упрощенные уравнения позволят определять только частоты, принадлежащие низкочастотному спектру, но с большей асимптотической точностью, чем теория Кирхгофа. В работе [114] на примере задач о свободных колебаниях круглой и прямоугольной шарнирно опертой пластины показано, что при вычислении собственных частот из низкочастотного спектра основная поправка по сравнению с теорией Кирхгофа вносится учетом деформации поперечного сдвига; поправка, вносимая учетом инерции вращения, значительно меньше. Следует отметить работу [158], где уравнения динамики
18
пластин Рейсснера сформулированы через потенциалы, позволяющие разделить быстро и медленно меняющиеся функции. Задача о низкочастотных свободных колебаниях достаточно хорошо исследована как с точки зрения сравнения с трехмерной теорией упругости, так и с точки зрения сравнения с теорией Кирхгофа. На основании сравнения теории типа Рейсснера с теорией Кирхгофа можно сделать следующие выводы. Теория Кирхгофа позволяет вычислять с достаточной точностью только несколько первых частот в спектре в случае тонких пластин. С ростом номера частоты погрешность, допускаемая теорией Кирхгофа, быстро возрастает. Увеличение толщины пластины также приводит к значительному увеличению погрешностей. Характер поведения функций, определяющих напряженно-деформированное состояние пластины, при низкочастотных колебаниях такой же, как и при статическом изгибе пластины. Решение складывается из проникающей во всю область медленно меняющейся функции и функции типа погранслоя. В связи с этим, также как и при статическом изгибе, использование теории Кирхгофа приводит к недопустимо большим погрешностям пластины при вычислении крутящего момента и перерезывающей силы вблизи границы. В отличие от большинства работ, посвященных исследованию статического изгиба и низкочастотных свободных колебаний пластин Рейсснера, где рассматриваются только три типа граничных условий: жесткая заделка, шарнирное опирание и свободный край, ниже обсуждаются в типов граничных условий. В случае традиционных типов граничных условий, полученные ниже результаты хорошо согласуются с известными ранее.
Число работ, в которых исследуются высокочастотные свободные колебания пластин, очень невелико. В работах [41], [43], [184] анализируются собственные частоты и собственные формы колебаний пластин, найденные на основе трехмерной теории упругости. Сравнение собственных частот, принадлежащий высокочастотным спектрам, вычисленных по теории пластин типа Рейсснера и по трехмерной теории упругости, содержится в упоминавшихся выше работах [57],
[96], [109], [242]. Более подробно следует остановиться на работах [137], [138], где уравнения высокочастотных колебаний пластин анализируются в общем виде, а не на примере конкретных задач. В работах [137], [138] теория пластин строится исходя из трехмерной теории упругости (рассматриваются только пластины со свободным краем). Показывается, что частоты, принадлежащие высокочастотным спектрам, сосредоточены в окрестности первой сдвиговой частоты. Показывается, что при высокочастотных свободных колебаниях решение не содержит функций типа погранслоя. В качестве примера рассматривается задача о колебаниях круглой пластины; проводится сравнение с результатами работы [217]. Особый интерес представляет работа [18]. В ней, как и в настоящей работе, ставится задача о зыводе уравнений свободных колебаний пластин для различных частотных спектров. В отличие от работы [18], где уравнения колебаний пластин получаются из уравнений трехмерной теории упругости, в настоящей работе за основу берутся уравнения теории пластин типа Рейссне-
19
ра. Уравнения высокочастотных колебаний, полученные ниже, не совпадают о уравнениями работы [18].
Обзор работ, содержащих решение динамических задач по уточненной теории пластин, опубликованных до 1973 года, можно найти в работе [40]. Работы. опубликованные позднее, посвящены, в основном, обсуждению различных численных, приближенных аналитических и полуаналитических методов, применяемых при решении задач теории пластин. При использовании любого численного метода для решения задач теории пластин типа Рейсснера возникают проблемы, связанные с тем, что решения этих задач содержат быстро меняющиеся функции типа погранслоя. Наличие в решении подобных функций требует весьма специального выбора координатных функций для их аппроксимации, что затрудняет численное решение задачи. Игнорирование этого обстоятельства нередко приводит к значительным вычислительным погрешностям. В результате проводимого ниже исследования предлагаются асимптотически упрощенные уравнения и функционалы теории пластин типа Рейсснера, не содержащие быстро меняющихся по пространственным координатам функций, но обладающие большей асимптотической точностью, чем классическая теория пластин Кирхгофа. Результаты исследований настоящей главы можно найти в работах [65], [79], [80], [81], [92], [83], [84], [86], [90], [91].
1.2 Статический изгиб и низкочастотные свободные колебания пластин. Модифицированный функционал энергии и модифицированный функционал Гамильтона.
1.2.1. Вводные замечания. Асимптотические оценки. Известно, что решения задач статического изгиба и низкочастотных колебаний содержат в себе быстро меняющиеся функции типа погранслоя. Поскольку точные аналитические решения в теории пластин могут быть построены только з исключительных случаях, то большое значение приобретают численные процедуры, большинство из которых основаны на использовании вариационных методов. С чисто формальной точки зрения принцип минимума энергии в теории пластин типа Рейсснера выглядит весьма привлекательно, так как сводится к минимизации выпуклого функционала, содержащего только первые производные от искомых функций. Однако этот функционал с точки зрения численной реализации имеет серьезный недостаток, заключающийся в том, что в функционал входят величины разного асимптотического порядка. Фактически, решение краевой задачи устроено так, что асимптотически главный член в функционале исчезает, а между искомыми функциями возникают связи, которые в главных членах асимптотических разложений должны быть выполнены точно. Поскольку при численной реализации это, вообще говоря, не достижимо, то могут возникнуть значительные погрешности не только количественного, но и качественного характера. Аналогичным недостатком обладает и функционал Гамильтона в задаче о низкочастотных колебаниях. Именно поэтому на практике часто отдают предпочтение
20
теории пластин Кирхгофа. При этом некоторые величины вычисляются с заведомыми ошибками, не стремящимися к нулю при стремлении относительной толщины пластины к нулю. Ниже будет показано, что можно сформулировать такие функционалы, которые соединяют в себе достоинства функционалов Кирхгофа, но позволяют находить все искомые функции с ошибкой 0(Н2) в сравнении с единицей. В основе предлагаемого подхода лежит тот факт, что полное решение краевой задачи включает в себя медленно меняющиеся решения, проникающие в глубь области пластины, и функции типа погранслоя, быстро затухающие при удалении от границы. Уравнение типа погранслоя допускает простое асимптотическое решение, содержащее медленно меняющиеся функции, которые определяются только на контуре пластины. Поэтому исходные функционалы можно переформулировать (с учетом строения погранслойной части) так, что окончательно в них войдут только медленно меняющиеся функции, что резко облегчит процедуру численного решения.
Далее все внешние воздействия предполагаются медленно меняющимися функциями координат и рассматриваются свободные колебания с частотами из низкочастотного спектра. Тогда функция Ф (см. формулы (1.7)) описывает проникающие во всю область решения и является медленно меняющейся функцией. то есть ее производные по пространственным координатам имеют такой же асимптотический порядок, как и сама функция. Функция 71 является решением уравнения с малым параметром при старшей производной [30^ и. следовательно, представляет собой функцию типа погранслоя, быстро убывающую при удалении от границы внутрь области и медленно меняющуюся вдоль границы области. Таким образом, функция Р описывает затухающие при удалении от границы области решения и для нее справедлива асимптотическая оценка
ЭГ I р ЭР „
/V — г* . --- ~ г
ди к 1 дт
где V, т — локальная система координат, введенная на контуре области. Оценим асимптотические порядки проникающего потенциала Ф и погралслойного потенциала Р, считая внешние нагрузки имеющими порядок 0(1):
Ф~Л-3, Р~ Л-1
1.2.2. Формулировка приближенных уравнений статического изгиба пластины Рейсснера. Сравнение с теорией Кирхгофа. Уравнение для проникающего потенциала в случае статического изгиба пластины имеет вид
£ДДФ+р/гР = 0 (1.10)
Проведем асимптотическое исследование уравнения для погранслойного потенциала. Поскольку решение второго уравнения из (1.7) быстро затухает при удалении от границы и на расстоянии 2Л от края пластины практически равно нулю, то для записи этого уравнения допустимо использовать введенную на контуре пластины локальную систему координат, при условии что радиус кривизны
21
контура Я(т) заметно больше 2 h . В задаче о статическом изгибе пластины второе уравнение из (1.7), записанное в локальной системе координат, имеет вид
d2F 1 dF d2F 12Г _ Л ,
ftJ+«ft7 + ^-^f = ° ("<0) (U1>
Введем обозначение е = hj\J12Г и сделаем замену переменных г/ = ег). В новых переменных уравнение (1.11) примет вид
d2F е 8F 2d2F п Л
ft/* + Л ft/ +£ дт* F_0 (1Л“)
Будем искать решение уравнения (1.12) в виде ряда по степеням £
F(n 1 г) = т) + г) + ... (1.13)
Подстазив выражение (1.13) в уравнение (1.12) и приравняв нулю коэффициенты
при разных степенях г, получим
дг,2 ’ ft/2 1 дат/’ ft/2 • «ft/ <9r2 (
(1-14)
Решение системы уравнений (1.14) имеет вид
Ш г) = Мт)е\ Рг(п, Г) = [/.(т)-ч/(2Д)/о(т)] е\ «,(>/. ') - Л(ч, г)в» (* = 2, 3,...)
(1.15)
Введя обозначение /(г) = /oM+e/iM, согласно формулам (1.13) и (1.15), будем иметь
Г(Ч. *■) = [/(т)((1 - я//(2Д)1 + 0(«»))] е” (1.16)
Таким образом, погранслойный потенциал F имеет асимптотическое представление
«К’’) =/(r)[l -^] ехр(^у^1') (^<0) (1.17)
где /(г) — некоторая функция, зависящая от координаты ка контуре области и определяемая из граничных условий. Зависимость погранслойного потенциала от координаты по нормали к контуру области в формуле (1.17) выражена явным образом. Использование формулы (1.17) для погранслойного потенциала позволяет решить задачу об изгибе пластины с асимптотической ошибкой порядка 0(h2) в сравнении с единицей. Поэтому не имеет смысла удерживать члены более высокого порядка малости в выражениях для го, Ф, N. М.
Таким образом, приближенное решение задачи об изгибе пластины сводится к интегрированию первого уравнения из (1.7) для проникающего потенциала и определению функции /(т), характеризующей, согласно формуле (1.17), изменение погранслойного потенциала вдоль контура пластины. Величины, характеризующие напряженно-деформированное состояние пластины, имеют асимпто-
•22
тические представления
Ж л ™ с( \ \
IV = -Ф , Ф = УФ -—/(т)ехр^—-—и)т
л/ПТ
Ц = ОУДФ + СЛГ
г(-^?{1-^)+йлг)1+
1/й' .. А 1 /у/Ш
+((1 - й} /(т)+ш/(г)) -] ехр(~")
М = о [(1 -р)ууф + дДФа] + [о(1 -и)'^-/'(т)(кк- и) --1С/!Г 0 - я* - дтгзр) /(т) (-г+И)1 ехр(^г")
Кинематические граничные условия имеют вид
-ф|, = «'*,
^ =ф-
<Н "
ЙФ
дт
\/Г2Г
Яг) = •;
Силовые граничные условия выглядят так ЗДФ
О
ди
+ алг/'(г) = ^;
/д2ф д дФ г)2Ф\
+ л 5^ + мдТу
0(1 -и)
оч
дидт
-Ш1
1 -
Яу'ЗГ.
/(т) = м;
(1.18)
(1.19)
(1.20)
Заметим что, как видно из формул (1.18), поперечные силы и крутящие моменты в главных членах зависят от погранслойного потенциала. Это означает, что по теории Кирхгофа, где погранслойный потенциал не учитывается, поперечные силы и крутящие моменты вблизи границы пластины вычисляются о ошибкой порядка 0(1). Исключение составляют три типа граничных условий, при которых главный член погранслойного потенциала тождественно равен нулю; кинематические граничные условия, если Ф" = —дю*(дг\ первое и третье условия из (1.19) и второе условие из (1.20), если Ф* = —дги*/дт; первое и второе условия из (1.19) и третье условие из (1.20), если М* = 0(1 - /г)[$Ф*/дг + (1 /Щдьо'/дт].
Подчеркнем, что предлагаемая приближенная постановка задачи отличается от теории Кирхгофа тем, что в ней учитывается деформация поперечного сдвига вблизи границы пластины
ч/12Г ,, , ,х/12Г ч
7 = Г“ /(г) ехр(—-— у) т
(и < 0)
(1.21)
23
что позволяет в общем случае удовлетворить всем трем граничным условиям.
1.2.3. Вариационная формулировка задачи об изгибе пластины в теории типа Рейсснера. Формулировка модифицированного функционала энергии.
Энергия изгиба пластины в теории типа Рейсснера имеет вид
п(ш,Ф) = J [(1/2)(м •-г+л-?)-/>**’«’] [м;ф„+л/;фт + лг>]<ю (1.22)
Здесь тензор моментов М, вектор поперечных сил /V, тензор изгиба-кручения ге, вектор деформации поперечного сдвига 7 выражены через вектор углов поворота Ф и поперечный прогиб IV по формулам (1.3), (1.4). Функционал потенциальной энергии (1.22) принимает минимальное значение на равновесных конфигурациях, при условии, что ю и Ф удовлетворяют кинематическим граничным условиям (1.5), если таковые имеются.
Непосредственное использование функционала (1.22) в численных расчетах малоэффективно, поскольку он зависит от функций, быстро меняющихся вблизи границы пластины. Аппроксимация вектора углов поворота Ф медленно меняющимися координатными функциями, как это обычно делается в методе конечных элементов и других численных методах, приводит к значительным погрешностям. уменьшить которые можно только путем сгущения координатной сетки. Поэтому эффективное использование функционала энергии (1-22) в численных расчетах требует весьма специального выбора координатных функций для аппроксимации вектора углов поворота вблизи границы пластины. Избежать затруднений. связанных с выбором координатных функций, можно в том случае, если погранслойный эффект будет учтен в явном виде. Для того, чтобы учесть погранслойный эффект в язном виде, предлагается преобразовать функционал энергии (1.22) следующим образом:
1) сформулировать функционал энергии (1.22) через проникающий и погранслойный потенциалы, что позволит разделить быстро и медленно меняющиеся функции;
2) интеграл по площади от той части функционала, которая содержит погранслойный потенциал, при помощи теоремы о дивергенции преобразовать в контурный интеграл;
3) подставить в функционал выражение (1.17) для погранслойного потенциала. что позволит сформулировать функционал энергии, в котором изменение погранслойного потенциала по нормали к контуру пластины учтено в явном виде.
Модифицированный функционал энергии задан на множестве функций Ф(х,у), /(г), удовлетворяющих следующим условияхг: функции Ф(я,у) определены, непрерывны и дважды непрерывно дифференцируемы в замкнутой области 5 = 5 + С; функции /(т) определены, непрерывны и непрерывно дифференцируемы на кривой С; функции Ф(х,у), /(г) удовлетворяют кинематическим граничным условиям (1.19), если таковые имеются
24
*W№c»>**o--[(S),-ffi)(3)ij
(Д 5)
+<*«]«./[“(■ -<‘)^F(g/'W + jy/w)+
(c)
(1.23)
+cir(^f - i)гм+»-■»- S - м;(й - тг/w)]jc
Уравнения Эйлера для модифицированного функционала энергии (1.23) совпадают с первым из первым уравнением из (1.7) и силовыми граничными условиями (1.20). На равновесных конфигурациях модифицированный функционал энергии (1.23) принимает, в общем случае, стационарное значение. Однако в большинстве "нормальных" задач на самом деле имеет место минимальность функционала.
На основании того, что уравнения Эйлера для функционала (1.23) получаются из уравнений теории пластин типа Рейсснера, при условии, что слагаемые порядка 0(h2) в сравнении с главным членом отброшены, можно утверждать, что функционал энергии (1.23) позволяет решить задачу изгиба пластины с асимптотической ошибкой порядка 0(h2) в сравнении с главным членом. Однако. функционал энергии (1.23) не является строгим асимптотическим следствием функционала (1.22), поскольку функционал (1.23) зависит от слагаемого GhTR~yр(т), которое имеет асимптотический порядок 0[h2) в сравнении с главным членом, тогда как другие слагаемые, имеющие такой же асимптотический порядок, в функционале (1.23) не учтены.
1.2.4. Тестовые задачи, иллюстрирующие использование модифицированного функционала энергии.
1) Изгиб круглой пластины равномерно распределенным по контуру крутящим моментом. Рассмотрим пластину радиуса Я, нагруженную по контуру равномерно распределенным крутящим моментом М*. Граничные условия примем в форме
v • N\c = 0, V’M.'v\c — 0, ^ * М ‘ l|c = К (1.24)
Поскольку М" = const, задача осесимметричная, то есть в полярной системе координат Ф = Ф(г), F = Г(г). Краевые задачи для проникающего и погран-слойного потенциалов имеют вид
2 L
dr
dr2 ^ Г dr) ’
J---------) ф
dr2 г dr I
= 0,
r=R
\ dr2 r dr J
ЛЧ dj
6Г г dr,
r=R
M;
GhF
(1.25)
(1.26)
Решением задачи (1.25) является функция, тождественно равная нулю: Ф = 0. Решение задачи (1.26) с асимптотической ошибкой 0(h2) в сравнении с главным
25
членом определяется формулой
м; 1 - (1/2)(г - Д)/я / уТ2Г \
С/»г 1-а/(я^5г) V Л 7
Рассмотрим решение данной задачи с помощью функционала энергии (1.23). В полярной системе координат этот функционал имеет вид
" - НС‘>11(^1")'~ (?) (£))
Из условия стационарности функционала (1.28) следует, что
¥4
(1.28)
ф-0, S Ghvі - /,/(й7зг) °'29)
Принимая во внимание формулу (1.17), а также то обстоятельство, что введенная на контуре пластины локальная координата v равна r-Ä, можно утверждать, что решение, найденное с помощью функционала (1.23), совпадает с аналитическим.
• 2) Изгиб прямоугольной шарнирно опертой пластины под действием поперечной нагрузки. Рассмотрим прямоугольную пластину , занимающую область 0 < х < at 0 < у < Ь. На пластину действует поперечная нагрузка
Р(х,у) = Pos\n(Trx/a)sm(iry/b)
На контуре пластины выполнены условия шарнирного опирання. Подчеркнем,
что возможны два типа граничных условий, которые следует понимать как условия шарнирного опирання.
Задача I:
w\c = 0, 2-М-2|с = 0, т • Ф|с = 0 (1.30)
Задача 2:
w\c - 0, V'M-v 1^ = 0, у' М ' т |^ = 0 (1.31)
Ниже будут рассмотрены обе задачи и проведено их сравнение.
Задача 1 имеет точное аналитическое решение
, Po sin(7TT/a) sin(7Tt//6) _, ч
Фі[(я/в)2 + (т/Ь)2]2 > Г,(х,у) = О (1.32)
Задача 2 не имеет точного аналитического решения. Однако, представив функции Ф и F в виде рядов по степеням Л, можно показать, что для главных членов этих асимптотических разложений задача распадается на две, причем задача для главного члена проникающего потенциала совпадает с задачей 1: Ф,( " = Фь а задача для главного члена погранслойкого потенциала имеет вид
h2 д2Ф?]
AF(0) _ 12^,0, = 0i
б Г дидт
(1.33)
26