Периодические движения твердого тела, расположенного в треугольной точке либрации ограниченной задачи трех тел

СОДЕШАНИЕ
Стр.
ВВЕДЕНИЕ........................................................... 4
Глава 1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ О ВРАЩАТЕЛЬНОМ ДВИЖЕНИИ ТВЕРДОГО
ТЕЛА.ВОКРУГ ТРЕУГОЛЬНОЙ ТОЧКИ ЛИБРАЦИИ.................15
1.1. Неограниченная задача о поступательно-вращательном движении трех твердых тел ......................................15
1.2. Уравнения вращательного движения спутника.в точке либрации ограниченной эллиптической задачи трех тел .... 23
1.3. Плоские, периодические движения твердого тела в точках либрации .................................................. . 30
1.4. Уравнения движения твердого тела в канонических переменных Андуайе............................................. 35
1.5. Условия существования периодических решений гамильтоновых систем ............................................... 40
1.6. Построение периодических решении гамильтоновых систем . .43
1.7. Счисление характеристических показателей периодических решений гамильтоновых систем ............................ ♦ 47
Глава 2. ПЕРИОДИЧЕСКИЕ ДВИЖЕНИЯ ТВЕРДОГО ТЕЛА, РАСПОЛОЖЕННОГО В ТРЕУГОЛЬНОЙ ТОЧКЕ ЛИБРАЦИИ КРУГОВОЙ, ОГРАНИЧЕННОЙ ЗАДАЧИ ТРЕХ ТЕЛ...................................... 51
2.1.Приведенные уравнения вращательного движения твердого тела в точке либрации..................................... 51
2.2. Порождающие периодические решения в задаче о движении тела с трехосным эллипсоидом инерции ...... 55
2.3. Об устойчивости периодических движений тела обладающего трехосным эллипсоидом инерции ......................... 60
2.4. Приведенные уравнения движения осесимметричного тела
- 2 -
вокруг точки либрации круговой ограниченной
задачи трех тел .............................................. 63
2.5. Периодические движения осесимметричного тела и их необходимые условия устойчивости ............................... 66
2.6. Построение рядов, представляющих периодические решения . . 68
2.7. Периодические движения твердого тела с трехосным эллипсоидом инерции /продолжение / 73
2.8. Периодические движения осесимметричного твердого тела, расположенного в точке либрации L ^ /продолжение/ ... 78
Глава 3. ПЕРИОДИЧЕСКИЕ ДВИЖЕНИЯ ОСЕСШШГРИЧНОГО ТВЕРДОГО ТЕЛА ВОКРУГ ТОЧКИ ЛИБРАЦИИ Ц ОГРАНИЧЕННОЙ ЭЛЛИПТИЧЕСКОЙ ЗАДАЧИ ТРЕХ ТЕЛ..........................................81
3.1. Уравнения вращательного движения осесимметричного тела, расположенного в точке либрации ограниченной эллиптической задачи трех тел..................................81
3.2. Порождающие периодические решения в случае соизмеримостей N'n «лги*0..............................................85
3.3. Периодические движения осесимметричного тела в случае
Со)
соизмеримости ys/rv s гц . . .................................90
3.4. Об устойчивости периодических движений осесимметричного тела .................................................... 93
Глава 4. ПЕРИОДИЧЕСКИЕ ДВИЖЕНИЯ СПУТНИКА С ТРЕХОСНЫМ ЦЕНТРАЛЬНЫМ ЭЛЛИПСОИДОМ ИНЕРЦИИ, ВОКРУГ точки ЛИБРАЦИИ ОГРАНИЧЕННОЙ ЭЛЛИПТИЧЕСКОЙ ЗАДАЧИ ТРЕХ ТЕЛ .................................................................9?
4.1. Уравнения движения ............................................ 97
4.2. Первое семейство периодических решений в задаче о
- 3 -
движении твердого тела с трехосным эллипсоидом
Со)
инерции /соизмеримости вида /................. 101
4.3. Второе семейство периодических решений для твердого тела о трехосным эллипсоидом инерции /соизмеримости
вида Ыъ .......................................107
4.4. Третье семейство периодических решений для твердого
тела с трехосным эллипсоидом инерции /соизмеримости (о)
вида ЫП- - /...............................................ПО
4.5. Необходимые условия устойчивости периодических решений в задаче о движении твердого тела с трехосным эллипсоидом инерции 115
4.6. Численные исследования в задаче о периодических движениях спутника, помещенного в точке либрации ограниченной эллиптической задачи трех тел ... 122.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ ............................................................126
ЛИТЕРАТУРА ............................................................143
- 4 -
ВВЕДЕНИЕ
В диссертации изучаются периодические и условно-периодические движения твердого тела /спутника/, расположенного в треугольной точке либрации двух активно гравитирующих тел, движущихся относительно общего центра масс по круговым или эллиптическим орбитам.
Для изучения вращательных движений притягиваемого тела используются специальные формы уравнений в переменных Андуайе и классическая теория периодических решений Пуанкаре. Выполнено численное исследование порождающих решений для большого ряда найденных в диссертации семейств периодических решений.
Актуальность данного исследования связана с разработкой многочисленных проектов по использованию точек либрации / а также траекторий вблизи этих точек / системы Земля-Луна для космических исследований в народнохозяйственных или научных целях. Для реализации указанных проектов представляют важный интерес различного рода периодические движения спутника, целесообразные для проведения систематических наблюдений, связи и т.д.
Моделируя спутник твердым телом, на первом этапе можно провести исследования периодических движений тела, расположенного в точках либрации ограниченной круговой задачи трех тел. При этом наибольший практический интерес представляют треугольные точки либрации, т.к. движение центра масс спутника вблизи этих точек устойчиво.
В связи с этим в диссертации выполнено подробное исследование периодических движений твердого тела относительно центра масс, расположенного в треугольной точке либрации, в гравитационном поле, создаваемом двумя притягивающими телами. Предполагается, что спутник обладает центральным эллипсоидом инерции, близким к сфере.
В диссертации получены следующие результаты:
1. Найдено несколько семейств периодических и условно-периодических решений и выполнено исследование их устойчивости в задаче о вращении спутника, помещенного в треугольную точку либрации круговой ограниченной задачи трех тел.
2. Найдены семейства периодических решений и выполнено исследование их устойчивости для осесимметричного тела и тела, обладающего трехосным центральным эллипсоидом инерции и расположенного в треугольной точке либрации ограниченной эллиптической задачи трех тел.
3. Выполнено численной исследование порождающих решений и устойчивости найденных периодических решении.
Большинство результатов диссертации дополняют исследования работ [б] , [?] .
Важное значение для вывода уравнений движения твердого тела в треугольной точке либрации имеют общие формы уравнений поступательно-вращательного движения твердых небесных тел, полученные Г.Н.дубошиным [I] , [2] , а также исследование стационарных
решений в задачах о движении несферичных небесных тел, выполненные Г.Н.Дубошиным [з] , [4] , В.В.Белецким [в] - [ю] ,
В.В.Румянцевым [и] , ^12] , и др.
Изучение периодических и резонансных движений твердого тела, расположенного в точках либрации или совершающего заданное движение вблизи этих точек, особенно интенсивно развивалось в последние годы с появлением работ А.П.Маркеева [13] - [17] , Ю.В.Бар-
кина [б] , [7] . Еще раньше исследования по данной проблеме
проводились за рубежом НоМпаоп V/.«I. [1в] , [19] .
- 6 -
А.П.Маркеев выполнил цикл исследований вращательных движений спутника, центр масс которого движется вблизи коллинеарной точки либрации L х ограниченной круговой задачи трех тел 1 ,
[15] .
В [14] предполагалось, что периодическая орбита центра масс твердого тела представляет собой отрезок прямой, перпендикулярной плоскости вращения основных притягивающих масс и проходящей через точку либрации La,
В работе [lb] изучены плоские периодические движения спутника относительно собственного центра масс, который движется по близкой к L* периодической орбите в плоскости обращения основных притягивающих тел. Показано существование движений, для которых одна из главных центральных осей инерции во все время движения остается ортогональной плоскости орбиты.
Robinson V/, J. [is] . [19] изучил движение спутни-
ка-гантели относительно собственного центра масс, расположенного в треугольной точке либрации ограниченной круговой задачи трех тел. Показано существование частных решений, для которых ось гантели во все время движения лежит в плоскости орбиты основных тел и занимает фиксированное положение по отношению к основным телам. Устойчивыми положениями являются те, для которых ось гантели "сечет” угол равностороннего треугольника, образованного телами, в треугольной точке либрации.
Стационарные положения в точке либрации L*» произвольного твердого тела изучались в работе Ю.В.Баркина [б] .В работе [б] также получены необходимые и достаточные условия устойчивости стационарных движений, как для осесимметричного спутника, так и для спутника, обладающего трехосным эллипсоидом инерции.
- 7 -
В работах Ю.В.Баркина и Ю.Г.Маркова [20], [<гл] изучались резо-нансные движения твёрдого тела вокруг точки либрации Ц круговой ограниченной задачи трёх тел. Для спутника обладающего эллипсоидом инерции близким к сфере, указаны интегрируемые случаи уравнений движения, усреднённых по схеме Делоне - Хилла.
Решения, полученные в работах [20] , [<я] ,описывают резонансные эффекты в движении твёрдого тела и позволяют оценить период резонансных колебаний и амплитуды соответствующих возмущений.
В работах А.П.Маркеева и П.С.Красильникова [хб] , [22] исследо -ваны вращательные движения твёрдого тела / в рамках ограниченной задачи трёх тел/ в предположении, что центр масс спутника движется в поле тяготения основных тел по некоторой заданной условно - периодической орбите.
На основе методов усреднения в [1б] , [22] исследованы различные типы резонансных и нерезонансных вращательных движений твёрдого тела / в рамках круговой и эллиптической ограниченной задачи трёх тел /. Причём основные гравитирующие тела М< и М* рассматриваются как материальные точки. В качестве переменных выбраны элементы Андуайе. Подробно изучены резонансные движения осесимметри -чного спутника и быстро закрученного спутника с трёхосным эллипсоидом инерции.
Показано, что обнаруженные динамические эффекты во вращении спутника аналогичны резонансным эффектам, для спутника движущегося в центральном поле , изученным впервые В.В.Белецким и А.П.Торжев-ским
Теория периодических решений Пуанкаре, для вырожденных гамильтоновых систем [24] применялась в рассматриваемой проблеме Ю.В.Баркиным [б] .
-8 -
В работе [б] показано, что в случае твердого тела, обладающего трехосным эллипсоидом инерции, задача допускает семейство периодических -решений, которые рождаются из периодических решений невозмущенной задачи / последняя представляет собой задачу об Эйлеровом движении тела со сферическим эллипсоидом инерции /.
Найдены и изучены соответствующие порождающие решения. Порождающим решениям соответствуют такие движения тела, для которых в начальный момент времени 1 = 0 проекция вектора $0 на
плоскость орбиты либо совпадает с линией , либо ей ортогональна /линия /V//' проходит через точку и определяет ха-
рактерное направление между основными телами/. При этом вектор <£6 совпадает с одной из главных центральных осей инерции тела и образует постоянный угол с нормалью к плоскости орбиты. Значение §0 зависит от параметров задачи 8е и *\> / *\) = - отношение масс основных тел, , В , С - главные
чА - с
центральные моменты инерции спутника/.
Отметим, что в работе [б] рассмотрены лишь синхронные движения спутника, при которых он совершает один оборот относительно собственного центра масс, за один оборот основных тел по орбите.
3 работе [7] , используя метод усреднения Делоне-Хилла, найден новый класс стационарных движений спутника с трехосным эллипсоидом /близким к сфере/, расположенного в треугольной точке либрации 1.^ эллиптической задачи трех тел. Здесь изучены резонансные движения спутника, для которых за. два оборота*основных-тел по орбите спутник совершает целое число оборотов относительно собственного центра масс.
Следует сказать, что теория периодических решений А.Пуанкаре,
- 9 -
развитая для гамильтоновых систем [24] , получила довольно широкое применение в задачах о поступательно-вращательном движении небесных тед [18] - [з1] , в ограниченной задаче о вращательном движении спутника на эллиптической или круговой орбите /Ю.В.Баркин,А.А. Панкратов [32]- [34] ,Ю.В.Баркин# А.А.Козлов, С.Н.Лелявин[з5]/.
Теория периодических решении А.Пуанкаре, также получила применение в классической задаче о движении твёрдого тела с закреплён -ной точкой в однородном поле тяжести или в центральном поле /В.Г.Дёмин, Ю.В.Баркин, В.В,Козлов и др. [зб] - {зв]/.
Выполнение в указанных работах исследования представляют не только чисто теоретический интерес. Например ,периодические решения найденные в работах* [27], [40] позволили объяснить законы Кассини и резонансные либрации Луны. Это указывает на практическую значимость периодических решений в указанных выше модельных задачах.
Превде чем перейти к изложению содержания диссертации отметим важные исследования стационарных решений / Эйлеровых и Лагран-жевых / в неограниченной задаче трёх тел. Эти исследования вылолня -лись Г.Н.,йубошиным [з], [4],[2в] ,В.В.Видякиным [41] - [49] ,В.Т.Конду -рарем,Н.И.Шинкарик,Я.С.Троицкой [50]-[б1] .
-В диссертации-выполняется систематическое исследование различных семейств периодических решений в задаче о вращении твёрдого тела вокруг точки либрации $ как круговой так и эллиптической ограниченной задаче трёх тел [б2] - [бб].
В случае круговой ограниченной задачи найдены новые периоди-
до
ческие решения которым отвечают соизмеримости П,1 = Я,П,
/ п, среднее орбитальное движение основных тел, гг? - угловая скорость вращения спутника/, а также условно- периодичее-
- 10 -
кие решения,для случая соизмеримости хп.
В случае эллиптической ограниченной задачи подробно исследованы несколько новых семейств периодических решений, которым соответствуют соизмеримости лМ = а,п.$в> кли |рде Ы нечётное или целое
число соответственно.
В обоих случаях отдельно рассмотрены периодические движения осесимметричного спутника и спутника, обладающего трёхосным эллипсоидом инерции.
В основе исследования лежат уравнения движения в оокулирующих элементах и теория периодических решений А.Пуанкаре.
В первой главе диссертации на основе строгих уравнений поступательно-вращательного движения системы трёх твёрдых тел выводятся уравнения вращательного движения твёрдого тела в точках либрации ограниченной эллиптической /круговой/ задачи трёх тел.
Предполагается, что размеры тела И и его масса пренебрежимо малы по сравнению с расстояниями до основных тел , м* и их массами соответственно.
Уравнения вращательного движения записаны в углах Эйлера и в сопряжённых им канонических импульсах.
Показано, что уравнения допускают плоские движения спутника, при которых его ось вращения остаётся ортогональной к плоскости орбиты.
Найдено частное решение в плоской эллиптической задаче,для которого за два оборота по орбите спутник совершает один оборот относительно нормали к плоскости орбиты [бэ] .Это решение обобщает известное решение В.В.Белецкого для задачи о плоских вращательных движениях спутника на эллиптической орбите в центральном поле [ю] .
- II -
Рассмотрены плоские либрационные и ротационные движения спутника в точке 1.^ в случае круговой орбиты основных тел [б] •
Получены уравнения вращательного движения спутника в треуголь-
тел, которые записаны в безразмерных переменных Андуайе.
Уравнения приведены к стандартной форме вырожденных гамильтоновых систем, удобной для дальнейшего исследования.
В заключении первой главы рассматриваются основные положения теории периодических решений А.Пуанкаре для гамильтоновых систем.
Здесь приводятся условия существования периодических решений, рассматриваются алгоритмы построения рядов, представляющих периодические решения и их характеристические показатели. Приведенные здесь сведения широко используются при изучении периодических решений рассматриваемой модельной задачи во 3 и 4 главах диссертации.
Во второй главе диссертации изучаются периодические движения твердого тела /с эллипсоидом инерции близким к сфере/ относительно собственного центра масс, расположенного в треугольной точке либ-
Уравнения вращательного движения спутника приведены к стандартной форме. Малый параметр вводится на основе предположения о близости эллипсоида инерции тела М к сфере.
С помощью первого интеграла Нкоби осуществляется понижение порядка уравнений движения на две единицы и уравнения приводятся к канонической неавтономной системе уравнений четвертого порядка.
Изучены периодические решения приведенной системы уравнений и доказано существование периодических движений трехосного спутника вокруг точки I.* круговой ограниченной задачи трех тел.
ной точке либрации 1.^ ограниченной, эллиптической задачи трех
рации круговой, ограниченной
- 12 -
Для этих движений за один оборот спутника по орбите он совершает один или два оборота относительно собственного центра масс т.е. средние угловые скорости орбитального п. и вращательного пД#> движений связаны следующими условиями соизмеримостей
г*Гхп, >
Изучены периодические решения как исходных уравнений, так и приведенных уравнений движения.
В последнем случае периодические решения соответствуют условно-периодическим решениям исходных уравнений задачи.
Подробно изучены и интерпретированы соответствующие порождающие периодические решения.
С помощью метода вычисления приближенных значений характеристических показателей получены и изучены необходимые условия устойчивости периодических решений [б4] - [бб] .
В случае осесимметричного спутника найдено семейство решений для соизмеримостей Пм - ъъ [бб]. В качестве примера построены первые члены рядов, представляющих семейство периодических решений для соизмеримости п,с?=п.
Выполнены численные исследования аналитических выражений, определяющих порождающие периодические решения.
В третьей главе диссертации изучены периодические движения осесимметричного спутника /с эллипсоидом инерции близким к сфере/ вокруг треугольной точки либрации ограниченной эллиптической задачи трех тел [62] , [бб] .
С помощью первого интеграла, характеризующего постоянство
г*
проекции вектора на ось симметрии спутника, уравнения движения приведены к системе четвертого порядка.. Здесь найдены два семейства периодических решений, которым соответствуют следующие ТИЛЫ