СОДЕРЖАНИЕ
Введение................................................... 3
ГЛАВА I. ОБЗОР ЛИТЕРАТУРЫ ПО ТЕМЕ РАБОТЫ..................8
. ІЛ.Автоволньї......................................8
1.2. Аксиоматическая модель возбудимой среды........10
1.3. Модели возбудимых сред, базирующиеся
на дифференциальных уравнениях...................13
1.4.Нервное волокно.................................15
1.5. Модели сердечной ткани.........................18
1.6. Эхо............................................22
1.7. Солитоноподобные (воійоп-ііке) режимы..........24
ГЛАВА II. КРИТИЧЕСКИЕ ЭФФЕКТЫ ПРИ ОТРАЖЕНИИ ВОЛН ВОЗБУЖДЕНИЯ ОТ НЕПРОВОДЯЩИХ ВКЛЮЧЕНИЙ................................................ 29
2.1. Модель........................................ 30
2.2. Круговые непроводящие включения в СП режиме 33
2.3. Физика эффектов................................34
2.4. Эховолна “схода”...............................35
2.5. Эхо при набегании волны возбуждения на «косое» прямолинейное непроводящее препятствие..............37
2.6. Миогоимпульсное переизлучение..................38
2.7. Наличие в среде нескольких локальных непроводящих включений..............................39
ГЛАВА III. ДОЛГОЖИВУЩИЕ СПИРАЛЬНЫЕ ВОЛНЫ
С ВОГНУТЫМ ПЕРЕДНИМ ФРОНТОМ.....................43
3.1. Спиральные волны, вращающиеся вокруг
кругового непроводящего включения................44
3.2. Многорукавные спиральные волны.................48
3.3. Вогнутые спиральные волны как
нелокальные объекты..............................51
ГЛАВА IV. “ДИССИПАТИВНЫЙ ПУЛЬСАР”.........................58
4.1. Модель.........................................58
4.2. Каталог структу р..............................60
4.2.1. Солитоноподобный режим взаимодействия
при Еа=0.007.............................60
4.2.2. Многоимпульсный режим переизлучсния
при Еа=0.001............................ 61
4.3. аДиссипативный пульсар”.......................63
4.3.1. Ждущий режим..........................63
4.3.2. Автоколебательный режим...............65
4.4. “Диссипативный пульсар” в различных моделях
возбудимых сред................................68
ВЫВОДЫ.................................................. 71
СПИСОК ПУБЛИКАЦИЙ И.М.ЦЫГАНОВА
ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ........................... 73
ПРИЛОЖЕНИЕ
(схема численного интегрирования вблизи криволинейной границы) ....................... 75
СПИСОК ЦИТИРУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ.............................76
2
НОВЫЕ РЕЖИМЫ РАСПРОСТРАНЕНИЯ АВТОВОЛН В ВОЗБУДИМЫХ СИСТЕМАХ ВВЕДЕНИЕ
Актуальность проблемы. Сокращение различных участков сердца обычно хорошо скоординированы между собой. Правильная последовательность сокращений мышечных стенок сердечных камер управляется автоволнами возбуждения - волнами электрической перезарядки мембран сердечных клеток, направленно распространяющимися от синоатриального узла к предсердиям и -через пучок Г'иса и систему волокон Пуркинье - к обоим желудочкам. Резкое падение скорости проведения при повреждениях миокарда может приводить к нарушениям сердечного ритма. При этом вместо нормального распространения автоволи могут возникать необычные режимы распространения, которые нарушают синхронность сердечных сокращений и приводят к патологиям - сердечным аритмиям.
Из сказанного уже понятно внимание, уделяемое специалистами исследованию закономерностей генерации, распространения и взаимодействия автоволн в нелинейных сильно диссипативных распределённых системах - возбудимых средах. Автоволны - это самоподдерживающиеся нелинейные волны, сохраняющие свои характеристики неизменными за счет распределенного в среде источника свободной энергии.
Математические исследования режимов управления сокращениями миокарда, связанных с распространением волн возбуждения в нормальных условиях и в условиях патологий, впервые были начаты в работе Винера и Розенблюта (Wiener, Rosenblueth, 1946). Её авторам удалось объяснить трепетание предсердий циркуляцией волны вокруг полых вен. Последующее развитие математических исследований электрических импульсов возбуждения в сердечных тканей связано с моделью Нобла (Noble, 1962) - системой дифференциальных уравнений четвертого порядка. Сведение уравнений Нобла асимптотическим переходом (Кринский, Кокоз, 1973) к системе второго порядка, известной как система Фитцхью-Нагумо (ФХН). позволило проводить качественные исследования распространения волн возбуждения в сердечной ткани на базе математической модели автоволновых процессов ФХН.
3
Происхождение ряда аритмий связывают с эффектом “эхо”: отражение при взаимодействии бегущих импульсов с геометрическими и/или функциональными неоднородностями возбудимой среды (Кринский, Холопов, 1967; Васильев, Романовский, Яхно, 1979,1987; Кринский, 1981, Ermentrout, Rinzel, 1995;). В тоже время, до недавнего времени аннигиляция импульсов при столкновении друг с другом и с непроницаемыми препятствиями считалась фундаментальным свойством автоволн, базирующимся на основном свойстве возбудимой ткани - рефрактерности, что делает невозможным отражение и сквозное прохождение авговолн.
Результаты численных экспериментов, выполненных в последние шесть лет с привлечением как простых качественных моделей возбудимых сред (Petrov et al, 1994; Kricher, Mikhailov, 1994; Kozek, Marek, 1995; Морнев и др., 1996, 1997), так и систем уравнений высокого порядка, количественно точно описывающих нелинейную динамику импульсов в нервных волокнах и возбудимых волокнах проводящей системы сердца (Асланиди, Морнев, 1996, 1997, 1999),
продемонстрировали существование в однородных возбудимых средах необычных режимов, соответствующих отражению автоволн при их столкновениях друг с другом и с непроницаемыми границами среды. Эти режимы были названы солитопоподобными. Экспериментально режим отражения автоволн был обнаружен в химической возбудимой среде (Oertzen et al, 1998).
Области значений параметров возбудимых сред, при которых реализуются солитоноподобные режимы, достаточна малы. Однако их наличие в широком спектре моделей сигнализирует о том, что указанные режимы являются отнюдь не экзотикой, а явлением общего характера. Наряду с этим было показано, что имеется еще один тип отражения: при взаимном столкновении волн возбуждения или при их взаимодействии с границей может возникать многоимпульсное переизлучение волн, с течением времени переводящее среду в автоколебательный режим.
Обнаружение в возбудимых средах солитоноподобных режимов и режимов многоимпульсного переизлучения в корне меняет взгляд на объяснение большого числа экспериментальных фактов, связанных с динамикой электрических импульсов в сердечных тканях. В частности, высказана гипотеза (Асланиди, Морнев, 1999), что именно эффекты эхо, обусловленные интерференцией следовых волн, ответственны за некоторые из нарушений сердечного ритма, наблюдающиеся в условиях так называемой триггерной активности. Механизм развивающихся при этом аритмий может состоять в том, что в условиях солитоноподобного режима регулярный
4
однонаправленный поток волн возбуждения, периодически пробегающих по сердцу от предсердий к желудочкам и вызывающих ритмические скоординированные < сокращения сердечных камер. дезорганизуется в результате каскада переотражений, инициируемого спорадическими встречными волнами. Один из ключевых пунктов в этой картине - появление встречных волн: как они могут возникать? В настоящей работе численными методами исследуется один из возможных сценариев их генерации. Далее будет показано, что в условиях, поддерживающих солитоноподобные режимы, встречные волны могут генерироваться по механизму эхо при падении волн возбуждения на непроводящие включения -локальные участки двумерной возбудимой среды, отделённые от остальных её участков границами с низкой электрической проводимостью. В сердце роль таких включений могут играть, например, невозбудимые устьевые участки вен, поставляющих кровь в предсердия, а также некротические участки, формирующиеся в патологических условиях в местах ишемии - зонах локальных нарушений коронарного кровоснабжения миокарда.
Цели и задачи работы. Основная цель настоящей работы состояла в численном исследовании свойств новых автоволновых режимов в двумерных возбудимых средах.
Для достижения этой цели были поставлены следующие конкретные задачи:
1. В численных экспериментах с системой уравнений Фитцхью-Нагумо, качественно моделирующей динамику биологических возбудимых сред, исследовать эффекты, сопутствующие столкновениям автоволн возбуждения с непроводящими включениями в условиях солитоноподобного режима (и режима многоимпульсного переизлучения (МИП)).
2. Для солитоноподобного режима и режима МИП исследовать процесс формирования и динамику вращения спиразьных волн возбуждения - как при наличии непроводящих включений так и в их отсутствии.
3. На математических моделях возбудимых сред с двумя ненулевыми коэффициентами диффузии (активатора и ингибитора) исследовать динамику состояния среды в условиях, поддерживающих режимы отражения автоволн.
5
- Киев+380960830922