Задачи калибровки бесплатформенных инерциальных навигационных систем

Содержание
Содержание 2
Введение 6
1 Методика стендовой калибровки блока акселерометров 12
1.1 Модель блока акселерометров........................................ 12
1.1.1 Акселерометр................................................ 12
1.1.2 Матричная модель блока акселерометров ...................... 11
1.2 О выборе плана эксперимента при калибровке блока акселерометров 19
1.2.1 Основное капибровочное соотношение ......................... 20
1.2.2 Стандартная форма задачи оценивания ........................ 25
1.2.3 О гарантирующем подходе к задаче оценивания................. 26
1.2.4 Оптимальный гарантирующий план измерений.................... 43
1.2.5 О сокращении числа положений в плане эксперимента........... 47
1.3 Основные расчетные соотношения..................................... 49
1.3.1 Расчетная калибровочная система............................. 49
1.3.2 Анализ ошибок оценок........................................ 51
1.3.3 Простейшая итерационная процедура........................... 55
1.3.4 Алгоритм калибровки (I)..................................... 56
1.4 Общая итерационная процедура построения оценок...................... 57
1.4.1 Об одном способе выбора расчетной системы координат .... 57
1.4.2 Построение итерации......................................... 64
1.4.3 Алгоритм калибровки (II) ................................... 73
1.5 Результаты моделирования........................................... 77
1.5.1 Ход моделирования........................................... 77
1.5.2 Результаты моделирования.................................... 79
1.6 Заключение к главе 1............................................... 84
2 Математическое исследование алгоритма стендовой калибровки ВИНС, разработанного в МИЭА 86
2.1 Общие обозначения.................................................. 86
2
2.2 Модели блоков чувствительных элементов.............................. 87
2.2.1 Приборный трехгранник......................................... 87
2.2.2 Учет разнесения чувствительных масс акселерометров............ 88
2.2.3 Матричная модель показаний блока акселерометров............... 89
2.2.4 Упрощения модели блока акселерометров......................... 91
2.2.5 Искажения вектора инструментальных погрешностей............... 92
2.2.6 Модель погрешностей датчиков угловой скорости................. 93
2.3 Описание алгоритма калибровки ..................................... 94
2.3.1 Используемые системы координат и их связь..................... 94
2.3.2 Описание калибровочных операций............................... 96
2.4 Динамическая система уравнений...................................... 99
2.4.1 Обозначения для фазового вектора динамической системы . . 100
2.4.2 Динамическая система уравнений в блочном виде ...........*. . 101
2.4.3 Выражения для блоков й, (/, 5*(г), ві(ї), •$£(£), (*)• 104
2.4.4 Выражение для переходной матрицы..............................113
2.5 Дискретизация уравнений ошибок......................................115
2.5.1 Дискретная система............................................115
2.5.2 Вектор случайных возмущений...................................117
2.5.3 Вычисление переходной матрицы.................................118
2.5.4 Замена переменной Ах..........................................120
2.5.5 Уравнение измерений...........................................123
2.5.6 Математическое ожидание начального значения вектора состояния ...............................................................125
2.5.7 Начальная ковариационная матрица..............................128
2.5.8 Итоги параграфа 2.5 ..........................................133
2.6 «Телескопнческая> система...........................................133
2.6.1 «Телескопическая» система в непрерывном времени...............134
2.6.2 Дискретная «телескопическая» система..........................143
2.7 Результаты вычислений...............................................145
2.7.1 Ход вычислений................................................146
2.7.2 Значения параметров...........................................148
3
2.7.3 Оценка точности формул, полученных в МИЭА....................149
2.7.4 Результаты вычислений........................................152
2.8 Заключение к главе 2...............................................158
Заключение 159
Список литературы 160
3 Приложения 168
3.1 Приложение 1. Вычисление интеграла I(t} .s)........................168
3.1.1 Вычисление экспоненты, входящей в состав I(t, s).............168
3.1.2 Вычисление интеграла I(t, s).................................174
3.2 Приложение 2. Выставка приборного трехгранника.....................182
3.2.1 Выставка приборного трехгранника.............................182
3.2.2 Связи меж^ параметрами системы, порождаемые выставкой 184
3.2.3 Вывод связей, порождаемых выставкой, для различных операций 186
3.3 Приложение 3. Уравнения ошибок БИПС................................189
3.3.1 Основные предположения. Ошибки определения координат и
скоростей....................................................189
3.3.2 Некоторые вспомогательные соотношения........................190
3.3.3 Кинематическое уравнение ошибок..............................200
3.3.4 Уравнения движения материальной точки........................201
3.3.5 Уравнение для динамической ошибки 6х......................202
3.3.6 Уравнение для полной ошибки Ах .............................203
3.3.7 Уравнение для динамической ошибки 6V .....................204
3.3.8 Выражение для 6V(to) ........................................205
3.3.9 Итоги приложения 3...........................................205
3.4 Приложение 4. Связь компонентов векторов а и 7 с ошибками определения курса, тангажа, крена, широты и долготы........................207
3.4.1 Связь компонентов вектора ах с ошибками определения курса,
тангажа, и крепа.............................................208
3.4.2 Связь компонентов вектора 7* с ошибками определения широты и долготы.......................................................209
4
Приложение 5. Перечень обозначений
3.5.1 Общие обозначения.............
3.5.2 Обозначения, использованные и главе
3.5.3 Обозначения, использованные в главе
Введение
Иыерциальная навигация — метод определения местоположения, скорости и ориентации подвижных объектов без использования внешней информации, исходя из показаний чувствительных элементов механической природы, находящихся на объекте [39). В связи с тем, что для решения навигационных задач при помощи метода ииерциальной навигации не требуются внешние измерения и сигналы, этот метод имеет особое значение среди всех существующих методов навигации; поэтому он находит самое широкое применение в управлении космическими аппаратами, самолетами, судами и другими объектами. Основы шгерциалыюй навигации были заложены в 30-е годы XX века (хотя фактически первое применение ннерциальных методов в навигации состоялось еще в начале XX века, с изобретением корабельных гирокомпасов); решающий вклад в создание этих основ внесли работы Б. В. Булгакова, А. Ю. Ишлинского, А. Н. Крылова, Е. Б. Левентали, Г. О. Фрндлендера,
Ч. Дрейпера, М. Шулера. Интенсивное развитие метода ииерциальной навигации началось в послевоенные годы; значительный вклад в развитие теории пнерциаль-ной навигации в этот период в нашей стране внесли В. Д. Андреев, Е. А. Девянин, С. П. Дмитриев, Н. А. Парусников и многие другие ученые. В настоящее время широкие исследования в области ииерциальной навигации ведутся во многих учреждениях -- в частности, в лаборатории управления и навигации Московского государственного университета под руководством А. А. Голована н Н. А. Парусникова. История развития теории ииерциальной навигации и ее современное состояние подробно отражены в работах [2, 3, 11, 12, 13, 19, 20, 21, 23, 24, 33, 34, 36, 37, 38. 39, 47, 53, 56, 57, 58, 59, 64, 66, 72, 78, 80).
Информация в ннерциальных навигационных системах формируется на основании показаний чувствительных элементов, к которым относятся:
— акселерометры1, измеряющие удельную силу, действующую на их чувствительную массу;
— датчики угловой скорости, или гироскопы.
43 классической литературе по механике (2), |39] указывается, что корректнее использовать название «ньютонометр», однако в настоящей роботе будем употреблять болес распространенный термин «акселерометр».
6
Б показаниях этих чувствительных элементов содержатся ошибки, которые со временем приводят к накоплению ошибок определения координат, скоростей и ориентации объекта. Таким образом, один из путей повышения точности решения навигационной задачи заключается в оценивании инструментальных ошибок и введении соответствующих поправок в показания чувствительных элементов. Определение указанных ошибок, то есть зависимостей между показаниями чувствительных элементов и фактическими значениями измеряемых величии, называется калибровкой
Проблема калибровки инерциальных навигационных систем исследовалась, начиная с 1970-х гг., во многих научных учреждениях и специализированных предприятиях. Можно отметить, в частности, такие работы, посвященные решению задачи калибровки, как |7, 8, 10, 14, 17, 22, 31, 32, 54, 55, 61, 63, 68, 81]. Однако, несмотря на значительное количество исследований, посвященных проблеме калибровки, и существенные успехи, достигнутые в этой области, общая целостная и методически корректная теория, которая содержала бы подробное математическое исследование этой проблемы, до сих пор отсутствует. Это, в частности, связано с тем, что информационный обмен между различными научно-инженерными коллективами недостаточно интенсивен, а публикации в открытой печати довольно скупы и появляются с большой задержкой. Часто на предприятиях ограничиваются приближенными «инженерными» алгоритмами, основанными на хорошей профессиональной интуиции и дающими приемлемые (а иногда »г весьма точные) оценки параметров моделей; при этом суждения об эффективности алгоритмов калибровки выводятся из окончательного поведения инерциальной системы на штатных траекториях. Подобные алгоритмы часто позволяют успешно решать конкретные задачи, возникающие на предприятиях; однако, при таком подходе источники основных погрешностей остаются недостаточно ясными, а предельно допустимые точности оценивания не обсуждаются, и, следовательно, усовершенствование алгоритмов калибровки затруднено. Отметим, что эпизодически доступные западные публикации не содержат внятного анализа ключевых этапов калибровки, определяющего се эффективность. В связи с вышеизложенным описание алгоритмов калибровки со строгих математических позиций представляется актуальным.
Наиболее эффективным является подход к решению задачи калибровки, осио-
7
ванный на теории оценивании в линейных динамических системах |1]. В соответствии с этим подходом задача калибровки рассматривается как задача оценивания вектора ошибок инерциалыюй навигационной системы по измерениям выходных сигналов инерциалыюй системы и, возможно, по некоторым внешним измерениям. Классические методы оценивания исходят из предположения, что вероятностные характеристики ошибок измерений известны; в частности, в задаче калибровки бес-платформенных инерциальных навигационных систем (БИНС) часто полагают, что флуктуационпые ошибки чувствительных элементов описываются процессами типа белого шума. Это предположение приводит к методам оценивания, подобным методу наименьших квадратов или фильтру Калмана |1, 58, 60, 73, 75, 70]. Однако на практике не всегда можно с достаточной уверенностью сделать какие-либо предположения относительно статистических характеристик ошибок измерений; в этом случае представляется целесообразным применение гарантирующего подхода, который обссиечивает оптимальную оценку параме тров в предположении ограниченности модулей ошибок измерений известными величинами. Традиционные постановки задач гарантирующего оценивания используют' в качестве независимой переменной время, однако при решении некоторых механических задач в качестве независимой переменной целесообразно выбирать пространственный вектор: например, при ре? шепни задачи калибровки блока акселерометров БИНС в качестве такого вектора может выступать вектор, задающий ориентацию блока [7, 29, 30].
Идея применения гарантирующего подхода к решению задач механики впервые была использована, по-видимому, Б. В. Булгаковым более 70 лет назад [13]2. Однако широкое развитие гарантирующих методов оценивания3 началось в 60-е годы XX века; в СССР основы данного направления, были заложены работами [40] и [45]. Достижения в этой области отражены в монографиях [5, 41, 43, 46, 50, 62, 65, 67, 74, 77, 79]. Гарантирующий подход с успехом применяют и для решения навигационных задач [7, 9, 30, 51].
Настоящая работа состоит из двух глав. В первой главе введена модель блока акселерометров БИНС, предполагающая, что статистические характеристики ошибок измерений неизвестны, а известны лишь ограничения на модули-этих ошибок.
2Псрвое издание монографии, па которую указывает данная ссылка, вышло в 1939 г.
3Гарантирующие методы оценивания называют также минимаксными, или робастными.
8
Рассмотрена методика стендовой калибровки блока, основанная на использовании гарантирующего подхода и обеспечивающая в этом смысле оптимальную точность оценивания параметров блока. Описан оптимальный план эксперимента, полученный при помощи сведения исходной проблемы к задаче построения обобщенного чебышевского полинома посредством применения теории двойственности; приведены расчетные соотношения; получены оценки точности определения параметров; описаны результаты моделирования. Отличительной особенностью рассмотренной методики является то, что она не предъявляет высоких требований к точности угловой ориентации блока и может быть, таким образом, реализована даже на достаточно грубых калибровочных стендах. Другой отличительной особенностью методики является наличие второй итерации, позволяющей существенно повысить точность оценивания параметров блока. Предложенный подход позволяет провести декомпозицию исходной полной проблемы калибровки БИНС, сделав ее доступной для аналитического исследования и, тем самым, более контролируемой.
Во второй главе представлено математическое исследование алгоритма стендовой калибровки БИНС, разработанного в Московском институте электромеханики н автоматики (МИЭА) (18|. Несмотря на то,.что указанный алгоритм применялся на практике и давал удовлетворительные результаты, детальное математическое исследование этого алгоритма, позволяющее проверить его корректность, оценить предельно достижимые точности оценивания параметров и, возможно, предложить способы модернизации этого алгоритма, отсутствовали. В связи с этим возникала необходимость провести такое исследование, которое и представлено во второй главе диссертации.
При использовании рассматриваемого алгоритма параметры погрешностей блоков чувствительных элементов БИНС определяются но скоростной информации после специальных движений корпуса БИНС, установленной на поворотном стенде, основание которого неподвижно относительно Земли. Основную методическую сложность данной задачи составляет необходимость погрузить рассматриваемый алгоритм калибровки, содержащий многократные перезапуски и выставки системы, в русло стандартной постановки задач оценивания, что дает возможность учесть всю имеющуюся информацию и применить стандартные методы оценивания (фильтр
9
/
Калмаїю). Для преодоления указанной трудности построена специальная динамическая система «телескопической» структуры. В работе представлена модель блока датчиков угловой скорости; описана дискретизация уравнений ошибок ВИНС; получены выражения для переходной .матрицы системы, математического ожидания начального значения вектора состояния и начальной ковариационной матрицы; построена «телескопическая» система, позволяющая описать алгоритм калибровки в рамках стандартной постановки задач оценивания. Помимо этого, подробно описан процесс выставки БИНС н получены связи параметров системы, порождаемые выставкой; представлены результаты вычислений. Получены оценки точности определения параметров блоков чувствительных элементов по формулам, предложенным в МИЭА, и проведено сравнение точности этих формул с точностью оценок, получаемых с помощью фильтра Калмана, примененного к «телескопичеекой» системе. Разработанная математическая формализация привносит методическую ясность в задачу калибровки и может быть применена как для модификации рассмотренного во второй главе алгоритма, так н для исследования других алгоритмов стендовой калибровки БИГІС.
По теме диссертации были сделаны доклады на научном семинаре им. А. Ю. Мшлинского кафедры прикладной механики и управления механико-математического факультета МГУ ('2007, 2008 и 2011 гг.), на IX и X Конференции молодых ученых в ЦНИИ «Электроприбор» (2007 и 2008 гг.), на Научной сессии МИФИ (2008 г.), на XV Санкт-петербургской международной конференции но интегрированным навигационным системам в ЦНИИ «Электроприбор» (2008 г.), на XVII международном научно-техническом семинаре «Современные технологии в задачах управления, автоматики и обработки информации» (2008 г.).
Основные результаты диссертации были опубликованы в работах [9|4. [25]5, [2б|6,
1Б о л о т и н 10. В., Д е р е в я и к и н Л. В., М а т а с о в А. И. Итерационная схема ка-
либровки блока акселерометров при помощи гарантирующего подхода. Известия РАН. Механика
твердого тела, 2008, т. 3, с. 48-61.
5Деревяикин А. В., М атасов А. И. К теории калибровки блока акселерометров (тезисы доклада). XV Сапкт-Петербургская международная конференция по интегрированным на-
вигационным системам. СПб: ЦНИИ «Электроприбор», 2008, с. 71-72.
6Дсревяикин А. В. Об одном подходе к калибровке блока акселерометров (тезисы доклада). ІЬроскопия и навгігацня, 2007, № 2, с. 87.
10
|27|7, 128]®, [29)«, [80|10, [71)“.
Работа над диссертацией выполнялась при поддержке РФФИ (грант № 08-08-00904-а).
Автор выражает глубокую признательность доц. В. В. Тихомирову за ценные советы и замечания по содержанию диссертации.
7Д е р е к я н к и н А. П. Гарантирующий подход для калибровки блока акселерометров (тезисы доклада). Современные техимогии в задачах управления, автоматики и обработки информации. Труды XVII международного пиучно-техпичсскоги семинара. СПб.: ГУЛИ, 2008, г.. 19G.
8Д с р с в я н к и н А. В. Алгоритмы калибровки бес платформенных ннерциальных навигационных систем (тезисы доклада). Гироскопия и навигация, 2008, JV* 2, с. 79.
®Д е р е в я и к и н А. В., М а т а с о в А. И. Пространственные задачи гарантирующего оценивания. Современные проблемы математики и механики. Прикладные исследования, 2009. т. 1, с. 165-179.
10Д е р с к я н к и н А. В., М атас on А. И. Методика калибровки блока акселерометров при грубой информации о его угловом положении. Изд-е 2-е. М.: Механико-математический факультет МГУ, 2010.
llDcrc vyankin А. V., Matasov A. I. The theory of spatial guaranteed estimation and calibration problem. Proceedings of the 3rd IEEE Multiconference on Systems and Control. The ШЕЕ Control Systems Society, Saint-Petersburg, 2009.
11
1 Методика стендовой калибровки блока акселеро-
метров
В настоящей главе рассмотрена методика стендовой калибровки блока акселерометров БИНС, для реализации которой достаточно грубой информации об ориентации блока. Приведен оптимальный план эксперимента, описан итерационный алгоритм калибровки, выведены расчетные соотношения, получены оценки точности определения параметров блока. Описаны результаты моделирования алгоритма.
1.1 Модель блока акселерометров
Опишем в данном параграфе матричную модель блока акселерометров, которая будет использоваться при рассмотрении методики калибровки блока.
1.1.1 Акселерометр
Опишем кратко принцип действия акселерометра и приведем наиболее распространенную модель его показаний.
Одним из основных датчиков ннерциальной навигационной системы [53] является акселерометр (от английского слова «acceleration» — ускорение). Обычно он изготавливается в виде маятниковой конструкции, состоящей из чувствительной массы т, закрепленной на конце упругой пластины. Другой конец пластины жестко прикреплен к корпусу акселерометра, который установлен на подвижном основании (см. рис. 1.1).
Рис. 1.1. Принципиальная схема маятникового акселерометра.
12
При движении основания чувствительная масса из-за упругости пластины может перемещаться относительно корпуса акселерометра. Это перемещение измеряется специальным датчиком, электрический сигнал с которого преобразуется в цифровые данные.
Движение чувствительной массы относительно корпуса определяется совокупным действием четырех сил: силы инерции, силы тяготения, поперечной силы упругости пластины (действующей поперек плоскости пластины) и продольной силы реакции пластины (действующей вдоль линии обреза пластины). Обозначим через а вектор абсолютного ускорения чувствительной массы акселерометра, а через д — вектор ускорения силы тяготения в месте нахождения подвижного основания. Вектор А = а-д называется вектором удельной силы, действующей на чувствительную массу акселерометра. Если основание неподвижно относительно Земли, то удельная сила, очевидно, равна ускорению силы тяжести, взятому с обратным знаком. Составив уравнение относительного движения чувствительной массы и предположив, что характерные частоты движения основания намного меньше собственной частоты колебаний чувствительной массы, можно показать, что в среднем за период собственных колебаний отклонение чувствительной массы пропорционально величине
(“-0О + Х (“-£)„-(«-з)о . где (а — д)а и (а — д)~„ суть проекции удельной силы на ось чувствительности а акселерометра и на ось, перпендикулярную оси чувствительности и линии крепления пластины акселерометра. Постоянный коэффициент называется коэффициентом «маятниковости»; он зависит от жесткости пластины. Измерение перемещения чувствительной массы датчиком и преобразование его сигнала в цифровой также вносит искажения в показания акселерометра. В результате наиболее общепринятая модель показаний маятниковот акселерометра имеет вид
/о = (1 + ко) А а + Є’О + X АаА-а + ЗД>і (1-1-1)
где /о — показание акселерометра, /1а — проекция удельной силы на ось чувствительности акселерометра, — проекция удельной силы на ось, перпендикулярную оси чувствительности и линии крепления пластины акселерометра, ко — постоянная ошибка масштабного коэффициента, є0 — постоянное смещение нуля, ö/o —
13
непараметрическая (флуктуационная) ошибка акселерометра.
Амплитуда флуктуационной ошибки д/о слишком велика для высокоточной калибровки. Чтобы ее понизить, можно воспользоваться следующим стандартным приемом. Проведем серию из N однотипных «независимых» измерений показаний акселерометра /'(£)> Ь — 1,..., N. и осредиим эти показания:
/'=4 £/'(<>•
Тогда постоянный полезный сигнал, представляющий собой параметрическую часть модели акселерометра, останется без изменений, а высокочастотный сигнал осред-иится практически до пуля. Итоговая величина, в основном характеризующая остаточную нестабильность электромеханической схемы акселерометра, будет иметь существенно меньшую амплитуду. Будем предполагать, что указанное осреднение уже выполнено и об осредиенной ошибке <5/□ известно, что
/
\8/о\ ^ <*/,пах, (1.1.2)
где Я/ты — известная величина. Будем также пренебрегать далее перекрестным членом » считан что его величина существенно меньше осредиенной флукту-
ационной ошибки 5/о.
1.1.2 Матричная модель блока акселерометров
Приведем вывод матричной модели блока акселерометров.
Рассмотрим блок из трех акселерометров, оси чувствительности которых приблизительно перпендикулярны, и каждый из которых в соответствии с (1.1.1) имеет модель слсуіуюіцего вида:
/, = (I + к;)Аа1 + є{ + і/і, і =1,2,3, (1.1.3)
где // — показание г-го акселерометра, Ааі — проекция на ось чувствительности 2-го акселерометра удельной силы, действующей на чувствительную массу г-го акселерометра, кі — постоянная ошибка масштабного коэффициента г-го акселерометра, Єі — постоянное смещение нуля г-го акселерометра, (5/, — непараметрическая ошибка г-го акселерометра.
14
Рассмотрим правую ортогональную «строительную» систему координат Ор (ОріРїРз), по осям которой в идеале должны быть установлены акселерометры.
Обозначим через о*, г = 1.2,3, единичный направляющий вектор оси чувствительности г-го акселерометра. Из-за неидеалыюсти установки акселерометров по строительным осям вектор ai неколлинеарен оси Ор, (см. рис. 1.2).
где величины < 1, г j, описывают малые углы иесоосности осей чувствительности со строительными осями, а верхним индексом «7 » обозначена операция транспонирования вектора или матрицы.
Обозначим через Лр = (Лрі, ЛГ2» Лрз)г вектор удельной силы в проекциях на оси строительного трехгранника Ор. При статических испытаниях удельная сила равна
Рз
О
Рис. 1.2. Блок акселерометров и строительные оси.
Пусть проекции единичных векторов Ui на оси Ор имеют вид
(1.1.4)
по модулю и противоположна по направлению ускорению силы тяжести в точке проведения эксперимента.
Тогда проекции вектора удельной силы на оси чувствительности акселерометров имеют вид:
/ЧИ ^ (-4р,лі) ^
ЛЯ2 = (Ар,а2) =а Лр, (1.1.5)
к Ал3 ) у {Ар. а2) ^
где, в с ответствии с (1.1.4), /
о
а—
/* із
\
л/1 - М?2 - /*13 ^12
/І2, у/Т - ~
/*31 /*32 у/1 — Рзі — Рз2 У
Введем тройки чисел (см. (1.1.3))
Ґ = (Я, я. Я)г. «= («». 22, Є*)т, 5} = (5/,, г/2, й7з)Т'
Тогда с учетом соотношений (1.1.3) и (1.1.5) матричная модель блока примет вид
/' = {Е + С)Ар + є + 6/, (1.1.6)
где Е — единичная матрица,
( сц с12 \ Є]3 / 1 + к\ 0 0 ^
С = С21 ^22 Є23 — и 1 •+■ к% 0 о а - Е =
І^Сзі С32 Сзз ^ 0 0 1 + кз !
(1 + кі)у/1 — РІ2 — Діз ~ 1 (1 + кі)(і\2 (1 + Лі)/*із
(1 + к2)іі>2\ (1 + к2)\/і - дії ” ® "1 (1 + ^г)р2з
(1 + ^з)рзі (1 + А‘з)рз2 (1 + &3) \/і ~ Рз] — Рз2 ~ 1
(1.1.7)
здесь
Си = (1 + Лі) у'1 - Яг - А*із ~
С22 = (1 + Л2) \/ 1 ~ Ж ~ А ~
Сзз = (1 + кз) у/1 - піі - НІ2 - 1.
16
«12 = (1 + кг)ц12 ~ /-*12» «13 = (1 + ЛО/Х13 И /113,
«21 = (1 + &2)/Х21 ~ /^2!) «23 — (1 + &г)/*23 ~ /*23,
«*
«31 — (1 + А:з)дз1 « /Д31» «32 = (1 + ^з)^32 « /*32. (1.1.8)
Введем углы Д12, Дцц Дгз взаимных перекосов осей чувствительности акселерометров следующим образом. Рассмотрим плоскость Оа\а2) образованную первой п второй осями чувствительности акселерометров (см. рис. 1.3). В плоскости Оа\(1п проведем ось ОаТ2: перпендикулярную к Оа^ и составляющую острый угол с осью Оа2. Угол Л12 определяется как угол между осями Оа2 и Оа2: при этом если векторы а: и а-г образуют острый угол, то угол Д12 полагается положительным; если же векторы «1 и а? образуют тупой угол, то угол Аи полагается отрицательным. Остальные углы Д13, Д23 определяются аналогично.
Д12
Рис. 1.3. Углы взаимных перекосов осей чувствительности акселерометров.
Углы взаимных перекосов выражаются формулами
(аь а2) = cos - Д12 (оьа3) = cos (~ - Д13) = sin Д13 « Д13з
(о2,я3) = cos (^ - Л23) = sin Д23 « Д23. (1.1.9)
В дальнейшем будем предполагать, что неизвестные безразмерные параметры А*,
Цу, sjy <с 1, где у — модуль ускорения силы тяжести в месте проведения испыта-
ний, и поэтому членами высоких порядков можно пренебрегать. Из формул (1.1.4),
^ = sill Дг2 ~ Al2>
17
(1.1.8) и (1.1.9) нетрудно получить, что с точностью до членов третьего порядка малости
-f Су, . Cj 2 . С21
к\ æ Сц 4 -------------, Д12 ~ ——7--------------f Ь С13С23,
н- с\з .
к'2 ~ С22 + — —2--------» ~ 1 ■------Ь- - — -----H С12С32,
С31 + С32
1 -Ь сц -г 1 + С22
С13 1 С31
1 + Сц 1 l+Czi
с23 + Сз 2
2
-Ь W- - л
кз « Сзз + Ч1-9---| Д23 « —Ь ^-37^—ь С21С31. (1.1.10)
С точностью же до членов второго порядка малости имеем из соотношений (1.1.8) и (1.1.10), что
кі^Сіг, i,j = 1,2,3, їфу, (1.1.11)
кроме того,
Д12 « (а!, 02) « с12 + С21 « /х22 + /І2І1
Діз « (аь аз) ~ С13 + С31 « Діз + Дзь
Д2З ~ (û2» Лз) ~ С23 + С‘32 « /423 + £*32- (1.1.12)
Замечани е. Несмотря на то, что изначально погрешностями блока акселерометра являются (помимо Єі, 6 fi) параметры кг u £/TJ, в матрицу С вошли близкие к ним (см. (1.1.11)) параметры с*3. Оцениваться в ходе калибровки будут не к.: и ptJ, а именно Су; эго соответствует целям калибровки, поскольку для того, чтобы скомпенсировать инструментальные погрешности блока, достаточно знать параметры Cijj и нет необходимости оценивать отдельно значения кг и fitj. В дальнейшем будем, следуя установившейся традиции, не совсем точно называть величины с„* ошибками масштабных коэффициентов акселерометров, а с^-, і Ф — коэффициентами взаимных перекосов осей чувствительности акселерометров. Суммы с,; 4- cJt, согласно (1.1.12), близки к углам взаимных перекосов осей чувствительности.
Заметим также, что. поскольку чувствительные массы акселерометров, вообще говоря, не совпадают с началом системы координат Ор, то при вращении ВИНС указанное разнесение чувствительных масс будет дополнительно искажать показания акселерометров (особенно при больших угловых скоростях). Во второй главе будут получены выражения для дополнительных слагаемых, возникающих при вращении
18
БИНС из-за разнесения чувствительных масс; в рассматриваемом же. в данной главе случае статической калибровки относительная угловая скорость корпуса БИНС равна нулю, а абсолютная, таким образом, совпадает с угловой скоростью вращения Земли. Поэтому указанные слагаемые будут пренебрежимо малыми.
Итак, матричная модель блока акселерометров, которая будет рассматриваться в настоящей работе, имеет вид (1.1.6) с учетом обозначений (1.1.7) и (1.1.8).
1.2 О выборе плана эксперимента при калибровке блока акселерометров
При проведении калибровки одним из главных вопросов является вопрос о выборе положении, в которые нужно устанавливать блок акселерометров. В бесплатфор-менных инерциальных навигационных системах установка блока в выбранные положения осуществляется с помощью поворотного стола. Для платформенных инерциальных навигационных систем в качестве поворотного стола используется (уже имеющийся в системе) платформенный карданов подвес. При рассматриваемой методике калибровки эти конструктивные особенности несущественны и в дальнейшем часто будем говорить просто о калибровке блока. В математической теории планирования экспериментов проблема выбора положений называется задачей о выборе плана эксперимента. Опишем здесь одну общую методику выбора плана эксперимента для калибровки блока акселерометров.
Традиционные методы калибровки углов перекосов осей блока акселерометров обычно опираются на достаточно жесткие требования к знанию ориентации ускорения силы тяжести относительно блока (порядка десятых долей угловой минуты). Однако не всегда можно рассчитывать на такие высокие точности в знании ориентации. Рассмотрим здесь методику калибровки блока акселерометров, для реализации которой достаточно довольно грубой информации об ориентации блока (например, порядка десятков угловых минут). При этом удается рассчитать оптимальный в некотором смысле план калибровочного эксперимента. Этот план позволяет оценить предельно достижимые точности определения параметров и дает возможность
19