2
ОГЛАВЛЕНИЕ
УСЛОВНЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ..............................................4
ВВЕДЕНИЕ..........................................................6
ГЛАВА 1. ПОСТАНОВКА КРАЕВЫХ ЗАДАЧ О РАВНОВЕСИИ КРИВОЛИНЕЙНЫХ ТРЕЩИН С ОБЛАСТЯМИ НАЛЕГАНИЯ И РАСКРЫТИЯ, СКОЛЬЖЕНИЯ И СЦЕПЛЕНИЯ..............................16
! Л. Постановка краевой задачи о равновесии криволинейного разреза с областями налегания и раскрытия, скольжения и сцепления без учета траектории нагружения.....................16
1.2. Анализ влияния зраектории нагружения на процесс скольжения контактирующих поверхностей. Модельная задача.................18
1.3. Постановка краевой задачи о равновесии криволинейной трещины с областями налегания и раскрытия, скольжения и сцепления с учетом траектории нагружения......................22
1.4. Асимптотическое поведение решения вблизи особых точек ломаных и краевых трещин с контактирующими поверхностями 26
1.5. Выводы к главе 1.........................................31
ГЛАВА 2. ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ........................33
2.1. Система интегральных уравнений задачи о равновесии криволинейного разреза в упругой плоскости с областями налегания и раскрытия, скольжения и сцепления без учета траектории нагружения.........................................33
2.2. Система интегральных уравнений задачи о полуплоскости, ослабленной произвольной внутренней или краевой трещиной
с областями налегания......................................39
2.3. Система интегральных уравнений задачи об эволюции равновесного состояния криволинейной трещины в процессе нагружения....................................................43
2.4. Системы уравнений задач об асимптотическом поведении решения вблизи особых точек ломаных и краевых трещин с контактирующими поверхностями.................................44
2.5. Выводы к главе 2.........................................46
3
ГЛАВА 3. ЧИСЛЕННАЯ РЕАЛИЗАЦИЯ РЕШЕНИЯ...............................48
3.1. Адаптация метода механических квадратур к решению задач о внутренних и краевых криволинейных трещинах в плоскости и полуплоскости....................................................48
3.2. Численное решение систем сингулярных интегральных уравнений........................................................55
3.3. Критерии и алгоритмы определения границ областей налегания
и раскрытия, скольжения и сцепления поверхностей трещины......72
3.4. Инкрементальный алгоритм анализа эволюции равновесного состояния криволинейной трещины в процессе нагружения............75
3.5. Численный анализ результатов в задачах об асимптотике упругого поля вблизи особых точек ломаных и краевых трещин
с контактирующими поверхностями...............................78
3.6. Выводы к главе 3............................................80
ГЛАВА 4. РЕЗУЛЬТАТЫ РЕШЕНИЯ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ...........................84
4.1. Равновесие криволинейных разрезов сложных форм со взаимодействующими с трением поверхностями в условиях двухосного растяжения - сжатия...................................84
4.2. Прямолинейная произвольно ориентированная внутренняя или краевая трещина в упругой полуплоскости в условиях сдвигового нагружения ..........................................93
4.3. Эволюция равновесного состояния криволинейных трещин-разрезов и уплощенных полостей при нагружении по заданной траектории......................................................105
4.4. Асимптотическое поведение упругого поля вблизи особых точек в задачах о ломаных и краевых трещинах с контактирующими поверхностями...................................112
4.5. Выводы к главе 4...........................................117
ЗАКЛЮЧЕНИЕ......................................................119
ЛИТЕРАТУРА.......................................................121
4
УСЛОВНЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ
р, = коэффициент сухого фения Кулона / = мнимая единица Ьь ЬсЦ = соответственно области раскрытия, скольжения и сцепления /, (' = переменные точки контура N , Т = соответственно нормальная и касательная компоненты напряжения на поверхностях трещины уп, уг = соответственно нормальная и касательная компоненты вектора смещений х, у - декартовая система координат
и, V = компоненты вектора смещений относительно декар-
товой системы координат соответственно но направлению осей х и у
<т ? ау, тху = компоненты тензора напряжений в декартовой системе координат 0 = параметр нагружения иг = скорость скольжения поверхностей трещины
у1 = фиксированный скачок касательной компоненты
смещения в области сцепления V0 = начальное раскрытие уплощенной полости
п
Ы0, Т0 = соответственно нормальная и касательная компонен-
ты напряжения на линии разреза в сплошной плоскости
г, (р - полярная система координат
аур» 11 у (К Р ~ г> Ф) = компоненты тензора напряжений и вектора смеще-
ний, соответственно, в полярной системе координат
5
Я = показатель асимптотики [ Vп ], И = соответственно скачки нормальной и касательной компонент вектора смещений
5Ы,5Т,5Ы0,5Т0,
5[уп], б [у г ], 5 и, = приращения соответствующих переменных при
вариации параметра нагружения от 0 до 0 + 50
2 = X + / у
г - х - / у
Ф(д), Ч'ф, <р(г), у/(г) = комплексные функции (потенциалы) Колосова-
Мусхелишвили; Ф(г) = Ч>(г) = \jf\z)
С = модуль сдвига
V = коэффициент Пуассона
к: = параметр Мусхелишвили; к = 3 - 4 у при плоской
деформации и к = (3 - у)/(1 + у) при плоском на-
пряженном состоянии g'(t)y = соответственно скачок производных от смеще-
ний на трещине и его приращение при вариации параметра нагружения от 0 до 0 + 60 Т V (£) = соответственно полиномы Якоби, полиномы Че-
бышева первого и второго рода
к\7 к2 = коэффициенты интенсивности напряжений, соот-
ветственно, при нормальном отрыве и поперечном сдвиге
6
ВВЕДЕНИЕ
В конструкциях и природных объектах дефекты часто оказываются в зонах, где наряду с растягивающими напряжениями действуют сжимающие и сдвиговые напряжения. Анализ процессов разрушения при наличии дефекта в этом случае требует разработки методов расчета его предельного равновесия, учитывающих возможное возникновение на нем локальных областей контакта. В частности, разрушение часто сопровождается реализацией напряженно-деформированных состояний эквивалентных в зоне трещины полю сжатия и сдвига, что приводит к ситуации, когда противоположные поверхности ее смыкаются, налегая друг на друга.
Следует отметить, что причиной контакта поверхностей трещины может являться не только действие внешних нагрузок, но и особенности формы трещины, а также взаимодействие трещин и других дефектов между собой [25, 86] и с границей упругого тела [67]. Так, например, одноосное растяжение упругой плоскости, ослабленной криволинейной или ломаной трещиной, в ряде случаев вызывает контакт ее поверхностей [3, 28, 67]. Образование области налегания, в частности, имеет место в задаче об упругой полуплоскости, ослабленной произвольно ориентированной прямолинейной краевой (или внутренней) трещиной в случае, когда на поверхностях ее приложены сдвиговые нагрузки [67]. Кроме того, образование областей налегания на поверхностях трещины на г ранице раздела двух сред может быть обусловлено различием их упругих характеристик [69, 84, 85].
Контакт поверхностей трещины приводит к перераспределению полей напряжений и смещений в ее окрестности, что оказывает значительное влияние на равновесное состояние [3. 18, 19, 38, 39, 40, 67, 114, 115]. Деформация тре-щиноватой среды при сжатии в результате взаимодействия поверхностей с 'фением оказывается существенно нелинейной [24, 42, 43], а сама нагруженная среда но отношению к внешнему воздействию эффективно становится анизотропной [22, 24, 42, 43, 70, 92]. Кроме того, влияние сил зрения приводит к диссипации энергии в процессе нагружения и необратимости деформации трещи-
7
новатого тела [24, 42, 43]. Следует также отметить, что равновесие такой среды не является функцией параметров нагружения, а существенно зависит от процесса нагружения [24, 42,43].
Формирование структур разрушения в сжатых горных породах и массивных телах рассматривается на основе моделирования взаимодействия, развития и срастания различных дефектов, в частности пор [27] и сдвиговых микротрещин [37, 60, 90, 96, 103]. В условиях квазистатического нагружения траектория и условия развития трещины часто описываются в рамках гипотезы о том, что направление начального распространения трещины совпадает с плоскостью, в которой растягивающие напряжения достигают максимального (критического) значения (принцип локальной симметрии для плоской задачи) [7, 63, 64, 67, 79, 94]. Как следствие, значительный интерес представляет исследование равновесного состояния криволинейной трещины произвольной формы, поскольку результаты решения такой задачи могут быть использованы для определения условий и траектории квазистатического роста трещины в упругом теле при изменении внешних нагрузок [36, 67, 87, 91]. Из экспериментальных исследований распространения трещин (например, при циклическом нагружении) известно, что траектория представляет собой гладкую кривую, однако точка излома может быть в самом начале роста исходной трещины. С этой точки зрения представляет интерес исследование равновесного состояния кусочно-гладких трещин [2, 67, 113, 114, 115]. Отметим, что рост трещины может происходить и при наличии на ее поверхностях областей сцепления.
Диссертация посвящена теоретическому исследованию деформации сред, ослабленных криволинейными и ломаными трещинами со взаимодействующими поверхностями при учете траектории нагружении. Проведен анализ влияния особенностей формы трещины, зрения и истории нагружения на напряженно-деформированное состояние упругого тела.
Основным элементом теоретического описания деформации грещинова-той среды является построение решения, описывающего напряженное состояние твердого тела, ослабленного трещиной. Задачи определения напряженно-
8
деформированною состояния в теле с трещиной (полостью) представляют собой в условиях сжатия комбинацию задач о трещинах и о контакте деформируемых тел, поскольку поверхности трещины (полости) налегают одна на другую. Следует отметить, что особенностью построения решения такой задачи является необходимость одновременного определения как полей напряжений и смещений, так и неизвестных границ областей налегания и раскрытия, а при учете трения на поверхности контакта, - границ областей сцепления и взаимных сдвиговых смещений.
В областях налегания в результате взаимодействия поверхностей по закону сухого фения Кулона возникают зоны скольжения и сцепления. При квази-статическом изменении внешних нагрузок в зависимости от некоторых параметров, скольжение на части трещины или на всей ее поверхности может прекратиться. В результате возможно образование зон сцепления двух типов - с нулевым и ненулевым скачком смещений [19, 38]. Границы зон налегания и раскрытия, скольжения и сцепления подлежат определению в процессе построения решения. Таким образом, постановка краевой задачи содержит ограничения на смещения поверхностей трещины (полости), что в свою очередь приводит к ограничениям на нормальные и касательные напряжения. Области выхода решения на ограничения заранее неизвестны, что обуславливает нелинейность задачи и ее отличие от традиционных задач с фиксированными линиями раздела краевых условий разного типа. Геометрия неизвестных границ (и областей) и распределение напряжений на поверхности трещины (полости) взаимосвязаны и взаимообусловлены, поэтому решение задачи должно строиться самосогласованно. Существенная трудность задачи cвязaF^a с тем, что силы зрения зависят от распределения нормальных напряжений в области контакта. Последние в общем случае зависят от распределения касательных напряжений. Такая ситуация характерна, например, для криволинейных трещин [3, 39, 40, 66], трещин на границе раздела двух сред с различными упругими свойствами [72, 78, 84, 85], для трещин в телах сложной геометрии [25].
9
Как уже отмечалось выше, существенную часть задачи о равновесном состоянии деформированного тела, ослабленного трещиной (полостью) в условиях сжатия, представляет собой определение областей реализации того или иного взаимодействия ее поверхностей. В этом контексте задача о трещине близка к классической контактной задаче о взаимодействии упругих тел [11, 12, 34, 35, 49, 59], где также необходимо определять размер площадки взаимодействия и контактные напряжения, а при учете сил трения, - распределение областей сцепления и относительного проскальзывания контактирующих тел.
В большинстве работ по теории трещин не рассматривается взаимодействие поверхностей трещины при нагружении. В задачах же о равновесии трещин с учетом налегания их поверхностей часто пренебрегают контактным трением [14, 18, 63, 67, 99], а при его учете полагают, что взаимные сдвиговые смещения имеют место вдоль всей поверхности контакта, а их возникновение определяется из условия превышения сдвиговой силой силы трения (48, 63, 76, 80, 82].
Постановка пространственной смешанной задачи о плоской трещине с учетом образования областей раскрытия, взаимных сдвиговых смещений и сцепления, дана в [32]. Как отмечалось выше, в общем случае скачки нормальных компонент смещений точек поверхностей трещины и нормальные напряжения в области налегания не могут быть определены независимо от касательных компонент скачка смещений и напряжений. Однако в пространственных задачах о трещинах, занимающих плоскую область в бесконечной однородной изотропной упругой среде (и в задачах об уплощенных полостях) указанная трудность отсутствует. Это позволяет разделить общую задачу для данного случая на две, решаемые последовательно [15, 18, 19, 20].
Первая - нормальная задача, в результате решения которой определяются скачки нормальных смещений точек поверхностей трещины (полости), области их налегания и распределение в этих областях нормальных напряжений [14, 31].
Вторая - сдвиговая задача. В ней с использованием распределения нормальных напряжений в области налегания определяются скачки касательных
10
компонент смещения, касательные напряжения, области скольжения и сцепления (двух типов), если таковые возникают [33. 75].
Общее исследование пространственной нормальной задачи вариационными методами проведено в [13, 26, 31, 32], где эта задача сведена к задаче минимизации квадратичного функционала с ограничениями. Нормальные осесимметричные задачи о равновесии трещины-разреза с областями налегания в слое рассматривались в [62), при этом области налегания определялись из условия несингулярности напряжений в окрестности их границ в построенном решении. В [18] предложен регулярный численно-аналитический метод отыскания неизвестных границ как линий несингулярности решения, приведены примеры его реализации для осесимметричных полостей при сжатии. В [14] была установлена эквивалентность определения границ областей налегания и раскрытия вариационным методом и путем построения на них несингулярного решения. Вариационный подход в сочетании с модифицированным методом проекции градиента позволяет [5, 26] строить численное решение задач при произвольной форме трещины (полости) в плане (и произвольном начальном раскрытии полости).
Сдвиговая задача с условиями трения в областях налегания рассматривалась в [16, 56], а в [74] исследовалась асимптотика решений вблизи границ областей скольжения и сцепления. В [32, 33, 73, 75, 98] в рамках вариационного подхода предложена методика построения решения с областями сцепления (с нулевым скачком смещений). Рассмотренные в [33, 75] задачи соответствуют [16] частному случаю траектории нагружения. В [21] установлен ряд свойств решения задачи о процессе скольжения поверхностей трещины с учетом сил зрения при сложном нагружении. Примеры описания процесса скольжения поверхностей трещин различной геомезрии при конкретных траекториях сложного нагружения рассмотрены в [17, 19, 20, 23].
В рамках двумерной задачи линейной теории упругости с учетом контактного трения рассматривались случаи прямолинейной трещины-разреза конечной длины [II, 47, 95, 106] и неэллиптических трещин [9, 53] в условиях
- Киев+380960830922