Оглавление
ВВЕДЕНИЕ............................................................................8
Глава 1 МЕТОДЫ РАСЧЕТА ЭЛЕКТРОННЫХ СОСТОЯНИЙ И ФИЗИЧЕСКИХ СВОЙСТВ КРИСТАЛЛОВ.................................................................18
1.1 Методы расчета зонной структуры полупроводников..............................18
1.2 Метод псевдопотенциала.......................................................20
1.2.1 Модельные псевдопотенциалы..............................................20
1.2.2 Модельные псевдопотенциалы Мабег- Zunger................................28
1.2.3 Первопринципные псевдопотенциалы........................................32
1.3 Интегральные характеристики электронного спектра.............................34
1.4 Метод матрицы рассеяния......................................................35
1.4.1 Общие соотношения.......................................................35
1.4.2 Метод расчета комплексной зонной структуры в базисе из плоских волн.....41
1.4.3 Расчет комплексной зонной структуры кр методом..........................43
1.4.4 Метод матрицы рассеяния в сим метризованном базисе......................44
1.4.5 Метод матрицы рассеяния с учетом спинорбитатьного взаимодействия........47
Глава 2 ЭЛЕКТРОННАЯ СТРУКТУРА И ФОНОННЫЙ СПЕКТР
АЛМАЗОПОДОБНЫХ ПОЛУПРОВОДНИКОВ И СВЕРХРЕШЕТОК НА ИХ ОСНОВЕ 49
2.1 Зонный спектр соединений Л4, А3В5 с кубической структурой....................49
2.2 Фононный спектр ваАб и АІАб..................................................51
2.3 Зонная структура графитоподобного и ромбоэдрического нитрида бора............52
2.3.1 Введение................................................................52
2.3.2 Метод расчета...........................................................52
2.3.3 Результаты расчета зонного спектра Л-ВК и /*-ВЫ.........................54
2.3.4 Плотность валентного заряда.............................................58
2.3.5 Выводы..................................................................59
2.4 Зонный спектр и оптические свойства гпвеРг...................................59
2.5 Электронные состояния и оптические свойства сверхрешсток (СаА5)п(А1А8)П|.....65
2.5.1 Ультратонкая сверхрешстка (ОаА8)і(А1Аз)і(001)...........................65
2.5.1.1 Кристаллическая структура........................................65
2.5.1.2 Зонный спектр сверхрешетки..................................... 66
2.5.1.3 Фононный спектр свсрхрсшетки.....................................69
2.5.2 Сверхрешетки (СаА8)і(АІА8)з, (ваАзНАІАз^, (ОаА5)з(АІАв)і (001)..........71
2
2.5.2.1 Кристаллическая структура...........................................71
2.5.2.2 Зонный спектр свсрхрешеток..........................................72
2.5.2.3 Фононный спектр сверхрешеток........................................80
2.5.3 Минизонный спектр свсрхрешеток (СаАз)„(Л1А5)т(001) в моделях с резкой и плавной гетерограницами..........................................................88
2.5.4 Оптические свойства свсрхрешеток (СаАз)п(А1 А$)т(311).......................95
Глава 3 МЕЖДОЛИННОЕ РАССЕЯНИЕ ЭЛЕКТРОНОВ НА ФОНОЛАХ В КРИСТАЛЛАХ Л3В5И СВЕРХРЕШЕТКАХ (СаА5)п(А1А*)га(001)...............................................98
3.1 Введение.........................................................................98
3.2 Определение междолинных деформационных потенциалов...............................99
3.3 Эмпирический расчет деформационных потенциалов в кристаллах А3В5................101
3.4 Первопринципный расчет деформационных потенциалов в ваАз и А1Аз.................105
3.5 Мсждолинные деформационные потенциалы в сверхрсшсткс (ОаАз)1(А1 АбЖОО 1)—107
3.6 Междолинные деформационные потенциалы в сверхрешетках (СаАз)2(А1Аз)2, (ОаАз)3(А1А5)5, (ОаАз),(А1Аз)3 (001)...........................................111
3.7 Основные результаты и выводы...................................................120.
Глава 4 ГЛУБОКИЕ УРОВНИ ТОЧЕЧНЫХ ДЕФЕКТОВ, КЛАСТЕРОВ И КВАНТОВЫХ ТОЧЕК.......................................................................121
4.1. Введение.......................................................................121
4.2 Глубокие уровни одиночных дефектов Аяса, Сад*, ЗЬоа в СаАь......................123
4.2.1 Метод расчета..............................................................123
4.2.2 Результаты расчета и обсуждение............................................127
4.3 Глубокие уровни и оптические свойства гексагонального нитрида бора /г-ВК
с одиночными и кластерными дефектами из вакансий азота...........................131
4.3.1 Введение...................................................................131
4.3.2 Особенности метода расчета.................................................133
4.3.3 Результаты расчета глубоких уровней вакансий азота в Л-ВЫ..................134
4.3.4 Оптическое поглощение дефектного Л-ВЫ с участием глубоких уровней 137
4.3.4.1 Особенности метода расчета.........................................138
4.3.4.2 Поглощение Л-ВЫ с вакансиями азота.................................138
4.3.4.3 Сравнение результатов расчета с экспериментом......................142
4.3.4.4 Выводы.............................................................144
4.4 Глубокие уровни вакансий в сверхрешетке (ОаАз)з(А1Аз)]..........................144
4.4.1 Введение...................................................................144
3
4.4.2 Теоретико-групповой анализ.................................................145
4.4.3 Метод расчета электронных состояний сверхрешеток с дефектами...............148
4.4.4 Результаты расчета и обсуждение............................................149
4.4.5 Выводы.....................................................................156
4.5 Глубокие уровни точечных и кластерных дефектов в 2пвеР2..........................156
4.5.1 Введение...................................................................156
4.5.2 Метод расчета глубоких уровней в тройном соединении........................159
4.5.3 Глубокие уровни собственных дефектов в соединениях Се, ваР, 2пБ............160
4.5.4 Глубокие уровни нейтральных собственных дефектов гпвеРг....................161
4.5.5 Сравнение уровней нейтральных дефектов ваР и ХпвеРг........................166
4.5.6 Глубокие уровни заряженных дефектов гпвеРг.................................168
4.5.7 Поглощение света 2пСеРг, вызванное точечными дефектами.....................176
4.5.8 Глубокие уровни сложных дефектов и кластеров в 2пСеРг......................182
4.5.9 Основные результаты и выводы...............................................187
4.6 Электронная структура кластеров из атомов мышьяка в СаАэ........................187
4.6.1 Введение...................................................................187
4.6.2 Метод расчета электронных состояний кластеров..............................189
4.6.3 Кластер из 17 атомов мышьяка...............................................190
4.6.4 Кластер из 35 атомов мышьяка...............................................191
4.6.5 Кластер из 29 атомов мышьяка...............................................194
4.6.6 Выводы.....................................................................198
4.7 Электронная структура кластеров из атомов галлия в СаАя........................198
4.7.1 Введение...................................................................198
4.7.2 Особенности метода расчета и струкгуры.....................................199
4.7.3 Результаты расчет*а........................................................199
4.7.4 Анализ кластерных состояний................................................201
4.7.5 Электронные состояния тонких металлических слоев ва в ОаАэ.................203
4.7.6 Выводы......................................................................205
4.8 Электронная струкгура и оптические свойства германиевых кластеров в кремнии....205
4.8.1 Введение...................................................................205
4.8.2 Метод расчета..............................................................206
4.8.3 Расчет электронных состояний германиевых кластеров методом РЭЯ (8*8x8)..208
4.8.3.1 Зависимость глубоких уровней от размеров кластеров..................208
4.8.3.2 Расчет кластерных состояний методом эффективной массы...............211
4
4.8.3.3 Спектры поглощения кремния с германиевыми кластерами..............212
4.8.4 Расчет электронных состояний германиевых кластеров методом РЭЯ (10х10><10)..216
4.8.4.1 Особенности структуры и метода расчета............................216
4.8.4.2 Зависимость глубоких уровней от размеров кластеров................218
4.8.4.3 Расчет кластерных состояний методом эффективной массы.............222
4.8.4.4 Анализ кластерных состояний.......................................223
4.8.5 Выводы...................................................................226
4.9 Электронная структура и оптические свойства квантовых точек и'-ОаМ/Л1М(0001)....226
4.9.1 Введение.................................................................226
4.9.2 Зонный спектр кристаллов и'-ОаЫ и \v-A1N.................................227
4.9.3 Геометрия и симметрия квантовых точек....................................233
4.9.4 Деформации в сверхрешеткс из квантовых точек.............................236
4.9.5 Разрывы зон на гетерогранице и>-СаМ/А1М(0001)............................240
4.9.6 Внутренние электрические поля в сверхрешетке из квантовых точек нЧЗаЫ/АП'КООО!) ...............................................................241
4.9.7 Электронные состояния сверхрешетки из квантовых точек....................243
4.9.8 Оптические свойства квантовых точек 1Г-.Са^А1Ы(0001).....................251
4.9.9 Выводы...................................................................255
Глава 5 ЗАКРЕПЛЕНИЕ УРОВНЯ ФЕРМИ В ДЕФЕКТНЫХ МАТЕРИАЛАХ
И РАЗРЫВЫ ЗОН НА ГЕТЕРОГРАНИЦАХ..............................................255
5.1 Исследование межфазных границ первоприиципными методами........................256
5.2 Модели электронных состояний на гетсрограницах.................................256
5.3 Модель глубокого дефекта.......................................................261
5.4 Сравнение результатов разных моделей...........................................272
5.5 Корреляция глубоких уровней собственных дефектов с предельным уровнем Ферми
в облученных полупроводниках...................................................276
5.6 Глубокие уровни собственных дефектов и закрепление уровня Ферми в 1пАз.........282
• 5.7 Уровень зарядовой нейтральности и глубокие уровни вакансии азота в твердых
растворах н'-АЮаК..............................................................289
5.7.1 Введение.................................................................289
5.7.2 Зонный спектр............................................................290
5.7.3 Уровень электронсйтралыюсти..............................................291
5.7.4 Глубокие уровни вакансии азота в твердых растворах и'-АЮаЫ ..............293
5.7.5 Обсуждение результатов...................................................293
5
5.8 Уровни электронейтральности в Л-BN, r-BN и разрывы зон на
гстсрограниде Л-BN/r-BN........................................................295
Глава 6 РЕЗОНАНСНОЕ ТУННЕЛИРОВАНИЕ ЭЛЕКТРОНОВ В
ГЕТЕРОСТРУКТУРАХ....................................................................296
6.1 Туннелирование электронов в структурах GaAs/AlAs в модели
с резкими границами............................................................296
6.1.1 Структуры GaAs/AlAs с резкой гетерограницей (001).......................296
6.1.1.1 Введение.........................................................296
6.1.1.2 Комплексная зонная структура GaAs и AlAs.........................297
6.1.1.3 Особенности рассеяния электронов на одной границе
GaAs/AlAs (001)...................................................300
6.1.1.4 Анизотропия рассеяния электронов.................................304
6.1.1.5 Спиновая поляризация электронов при туннелировании в структурах
Ga As/Al As (001).................................................308
6.1.1.6 Выводы...........................................................312
6.1.2 Структуры GaAs/AlAs с резкой гетерограницей (111).......................313
6.1.2.1 Введение.........................................................313
6.1.2.2 Особенности метода расчета.......................................314
6.1.2.3 Результаты расчета методом псевдопотенциала......................316
6.1.2.4 Упрощенная модель процессов Г-L смешивания.......................320
6.1.2.5 Квазилокализованное интерфейсное Г-L состояние...................327
6.1.2.6 Выводы...........................................................330
6.2 Резонансное туннелирование электронов в структурах GaAs/AIAs с плавными
границами................................................................330
6.2.1 Структуры GaAs/AlAs с плавной гетсрограницей (001).......................330
6.2.1.1 Введение.........................................................330
6.2.1.2 Особенности метода расчета.......................................332
6.2.1.3 Анализ кристаллического потенциала...............................332
6.2.1.4 Комплексная зонная структура сверхрешетки AbGa2As4...............335
6.2.1.5 Разрывы зон на “плавных” гетерограницах....................„.....337
6.2.1.6 Прохождение электронов через одну границу GaAs/AlAs (001)........339
6.2.1.7 Туннелирование электронов через один барьер......................341
6.2.1.8 Туннелирование электронов в двухбарьерных структурах
GaAs/AlAs (001)...................................................345
6
6.2.1.9 Туннелирование электронов через границу СаАв/АЬСагЛБ,! (001)...347
6.2.1.10 Анализ огибающих волновых функций.............................348
6.2.1.11 Туннелирование электронов через монослой А1Лб.................352
6.2.1.12 Выводы........................................................354
6.2.2 Структуры СаА8/Л1АБ с плавной гстсрограницей (111).....................355
6.2.2.1 Введение ^.....................................................355
6.2.2.2 Анализ кристаллического потенциала вблизи границы ОаАБ/А1АБ(1П).........................................................355
6.2.2.3 Комплексная зонная структура сверхрешетки (ОаАБ)з(А1АБ)з (111).357
6.2.2.4 Коэффициент прохождения электронов в структурах
ОаЛвЛМАБ (111)..................................................359
6.2.2.5 Выводы.........................................................363
6.3 Резонансное туннелирование электронов в структурах и'-СаЫ/Са^хА^ (0001).....363
6.3.1 Введение...............................................................363
6.3.2 Особенности метода расчета.............................................365
6.3.3 Результаты расчета и обсуждение........................................369
ЗАКЛЮЧЕНИЕ.......................................................................375
ЛИТЕРАТУРА.......................................................................379
ПРИЛОЖЕНИЯ.......................................................................409
СПИСОК СОКРАЩЕНИЙ И ОБОЗНАЧЕНИЙ...................................................411
7
ВВЕДЕНИЕ
Актуальность темы
Успехи современной электроники и перспективы ес дальнейшего развития в значительной степени связаны с использованием полупроводниковых квантово-размерных структур (квантовых ям, проволок, точек, сверхрешеток и т.д.), обладающих широким набором электрофизических параметров в актуальном диапазоне спектра [1,2]. Их применение позволяет совершенствовать потребительские свойства электронных приборов, открывает возможности для создания устройств нового поколения - квантовых компьютеров, сверхчувствительных датчиков, нанороботов и т.д. [3].
Разработка* нанотехнологий невозможна без понимания природы процессов, протекающих в объеме и на границах раздела материалов. Это стимулирует обширные исследования, посвященные установлению взаимосвязи электронных свойств с составом и строением твердых тел, развитию теоретических методов и физических моделей для расчета и качественного анализа электронных и колебательных спектров низкоразмерных структур;
Свойства полупроводниковых наноматериалов сильно отличаются от свойств объемных материалов, носят существенно квантовый характер и могут быть адекватно описаны лишь с применением современных методов исследования, фундаментом которых, выступает метод функционала электронной» плотности (DFT). Иа основе метода DFT разработаны программы, позволяющие определять свойства кристаллов с различным химическим составом и строением; Особенно эффективно их применение к структурам, в элементарной ячейке которых находится сравнительно небольшое число атомов (< 100) [4]. В тоже время активные области наноматсриалов зачастую содержат многие сотни и тысячи атомов,, что делает использование ab-initio методов крайне трудоемким, несмотря на прогресс компьютерной техники и развитие параллельных вычислений.
К исследованию полупроводниковых наноструктур привлекаются нолуэмпирические методы (метод сильной связи, Ар-метод, метод эффективной массы и т.п.), которые дают более наглядное описание с учетом основных электронных процессов. Недостатком полуэмпирических методов является то, что их параметры определяются из экспериментальных данных, которые зачастую неполны и неоднозначны, а используемые упрощения сужают область применения ограниченным энергетическим интервалом и частными случаями внешних воздействий.
В связи с этим получили развитие методы, в которых стремятся соединить достоинства полуэмпирических (сравнительно простых в реализации и опирающихся на хорошо установленные данные) и ab-initio (предсказывающих свойства мало изученных материалов
без привлечения эмпирической информации) подходов. Одним из наиболее эффективных является метод модельного псевдопотенциала, обеспечивающий высокую точность описания электронного спектра. В практических расчетах преимущество имеют псевдопотенциалы с мягкой сердцевиной, позволяющие использовать не большой базис из плоских волн, что дает возможность исследовать сложные структуры с большим числом атомов в элементарной ячейке. Примером являются псевдопотенциалы [5J, параметры которых определены из экспериментальных данных и анализа результатов ab-initio расчетов бинарных кристаллов GaAs и AlAs. Эти пссвдопотснциалы применялись для расчета электронных состояний квантовых ям, проволок, точек: Они обеспечивают описание электронного спектра наноструктур, содержащих -500000 атомов в элементарной ячейке, с точностью - 0.1 эВ, что пока не достижимо для прямых ab-initio расчетов. Определение подобных псевдопотенциалов из обширной базы данных является трудоемкой задачей. В работе [5] они найдены для трех атомов (Ga, Al, As) и могут использоваться лишь в структурах, состоящих из этих атомов. Потребность в описании других, многообразных наноструктур требует развития новых методов, применение которых должно быть направлено па решение актуальных проблем физики полупроводников, среди которых можно выделить следующие:'
1) В выращиваемых наноструктурах переходные области между соседними слоями и областями сопоставимы с размерами самих слоев. Поэтому электронные и колебательные состояния таких структур должны зависеть от природы интерфейса и их описание необходимо проводить с учетом реального микроскопического потенциала и атомного строения. В применяемых подходах это обстоятельство часто игнорируется - потенциал и силы связи атомов меняются на гетсрограницах скачком, что оправдано для структур с достаточно толстыми слоями и в интервале энергий, где смешивание состояний из разных электронных долин или фононных ветвей несущественно.
2) Глубокие центры играют ведущую роль в свойствах реальных материалов. Для их описания в наноструктурах необходима разработка методов, позволяющих определять энергии глубоких уровней в зависимости от зарядового состояния и положения дефекгов относительно гетерограниц, интерпретировать оптические спектры на языке оптических переходов и сил осцилляторов подобно тому, как это делается для объемных кристаллов.
3) Наблюдаемое закрепление уровня Ферми в облученных полупроводниках и барьерах Шопки требует выяснения корреляций с глубокими уровнями дефектов и интерфейсными состояниями на гетерограницах.
4) Вюртцитные нитриды W-A3N являются одними из наиболее привлекательных материалов оитоэлектроники. Их отличительной особенностью являются рекордные величины
9
спонтанной поляризации и компонент пьезоэлектрического тензора, приводящие к сильным внутренним электрическим полям (~107 В/см), которые заметно влияют на электронный транспорт, формирование дефектов, оптические свойства. Несмотря на интенсивные исследования, механизмы влияния внутренних полей на физические процессы в ряде случаев остаются непонятыми. В частности невыясненными остаются вопросы, касающиеся формирования петли гистерезиса, скачков, бистабильности и деградации пиков туннельного тока. Поэтому требуется развитие новых моделей, описывающих изменение потенциала структуры и перераспределение электронного заряда в процессах туннелирования.
5) Междолинное рассеяние электронов на коротковолновых фононах проявляется во многих свойствах полупроводников. Оно вызывает нелинейную зависимость тока от напряжения, приводит к непрямозонному оптическому поглощению, меняет вероятности туннелирования, электронов в гетероструктурах и т.д. Развитие теории таких процессов и определение количественных параметров междолинного рассеяния для наноматериалов необходимы для моделирования их физических свойств, выявления особенностей, возникающих за счет эффектов размерного квантования, выбора структур, представляющих наибольший интерес для создания высокочастотных генераторов.
6) Кластерные образования из различных дефектов приводят к модификациям свойств полупроводниковых материалов, которые зачастую открывают новые возможности для их применений в электронике. Примером является арсенид галлия с кластерами мышьяка, представляющий интерес для быстродействующих фотоприемников [6]. Металл-полупроводниковые нанокомпозиты могут использоваться в качестве источников излучения в терагерцовом диапазоне. Малые германиевые кластеры в кремнии имеют высокую интенсивность фотолюминесценции при комнатной температуре, что открывает возможность осуществления лазерной генерации [7]. Возникает необходимость в разработке теоретических методов, позволяющих описывать изменение электронных свойств кластерных материалов в зависимости от размеров, формы и способов внедрения кластеров в матрицу.
7) Полупроводник ZnGe'?2, благодаря ярко выраженной нелинейной восприимчивости и двулучепреломлению, давно вызывает повышенный интерес в качестве материала для параметрических преобразователей частоты оптического излучения, поляризационночувствительных фотоприемников и излучателей ближнего и среднего ИК - диапазонов, многофункциональных элементов оптической электроники [8,9]. Однако присущее построетовым кристаллам значительное поглощение в области прозрачности (0.65-г 13) мкм и особенно в области лазерной накачки (0.65-т-З) мкм ограничивает' его
10
практическое использование. Выяснению природы "аномального" поглощения света в ZnGг?2 посвящены многочисленные исследования. Большинство из них связывают это поглощение с высокой дефектностью материала. Многообразие источников нежелательного ИК поглощения требует выяснения их индивидуальной роли в спектрах поглощения.
Цели и задачи работы
Целью работы является развитие теории электронных, фононных состояний и расчет параметров..электрон-фононного взаимодействия в квантоворазмерных полупроводниковых структурах, систематическое исследование свойств дефектных полупроводников, выявление закономерностей и построение моделей физических процессов.
Для достижения поставленной цели были решены следующие задачи:
1. Исследование роли плавного интерфейсного потенциала в процессах туннелирования электронов в гетероструктурах СаАБ/А1ЛБ с границами (001),(111), а так же в электронных состояниях сверхрешсток (ОаА5)т(А1А5)п(001) и квантовых точек.
2. Изучение электронных состояний квантовых точек Се/Б!, Оа/ОаАБ, Ав/СаАБ в зависимости от их размеров. Анализ оптических свойств квантовых точек Се/Б!, и'-ОаМ/АП'! и формирования барьера Шоттки в полупроводниках с металлическими квантовыми точками и слоями.
3. Расчет глубоких уровней и интерпретация оптических сиекгров бинарных и тройных соединений с одиночными и кластерными дефектами.
4. Анализ закономерностей в поведении глубоких уровней собственных дефектов в группе кристаллов А3В5, развитие модели закрепления уровня Ферми в облученных материалах.
5. Изучение междолинного рассеяния электронов на коротковолновых фононах в сверхрешетках (СаА$)т(А1Аз)п(001) с тонкими слоями.
6. Исследование влияния внутренних электрических полей на рассеяние электронов в напряженных нитридных структурах м^аЫ/АМ (0001).
Научная новизна работы
1) Впервые исследовано влияние плавного интерфейсного потенциала на электронные состояния сверхрешсток (СаА5)т(А1А5)п(001) и процессы туннелирования электронов в структурах ОаЛзМЗЛБ с границами (001) и (111).
2) Проведено систематическое исследование собственных дефектов в группе соединений А3В5, установлены закономерности в изменении глубоких уровней, определены
11
условия стабилизации уровня Ферми в облученных полупроводниках, развита модель, позволяющая прогнозировать свойства дефектных полупроводников.
3) Исследованы глубокие уровни точечных и сложных собственных дефектов в соединении
проведена интерпретация особенностей спектров поглощения дефектного
материала.
4) Исследованы электронные состояния кластеров из атомов мышьяка и галлия в арсениде галлия, установлен характер состояний, вызывающих закрепление уровня Ферми в материале ОаЮаАэ.
5) Изучены закономерности междолинного рассеяния электронов на фононах в ряду свсрхрешсток (СаА8)т(А1А8)п(001) и соответствующих им твердых растворов. Определены междолинныс деформационные потенциалы для всех каналов рассеяния в нижних зонах проводимости сверхрешеток. Проведен анализ квантоворазмерных эффектов в электронных, фононных состояниях и деформационных потенциалах.
6) Исследованы электронные состояния и оптические свойства пирамидальных квантовых точек 1У-СаЫ/А1Ы(0001). Показана возможность усиления интенсивности излучения при уменьшении размеров квантовых точек.
Практическая значимость работы заключается в том, что она дает рекомендации для уменьшения нежелательного инфракрасного поглощения света соединением ZnGeP2, позволяет предсказывать свойства облученных материалов, предсказывает повышение эффективности фотоприемников на основе малых квантовых точек \у-А1Ы/ОаЫ(0001:). Определенные параметры электронного спектра и электрон-фононного взаимодействия позволяют прогнозировать свойства наиболее перспективных материалов в приборах с горячими электронами.
На защиту выносятся следующие положения :
1) Состояния глубоких уровней вакансий А1, Са и Аб в сверхрсшстке (СаА8)з(Л1А8)1(001) зависят от положения дефектов. Понижение симметрии сверхрешеток по сравнению с бинарными кристаллами приводит к частичному (полному) снятию вырождения глубоких уровней вакансий, находящихся в средних (крайних) по отношению к А1 слоях, и различной ориентации электронных плотностей, вызывающей поляризационную зависимость поглощения с участием глубоких уровней, что может быть использовано для анализа геометрического распределения вакансий. Наибольшие изменения (~0.1 эВ) имеют место для состояний вакансии Аб, расположенной на гетерогранице.
12
2) В арсениде галлия с кластерами из атомов галлия с ростом размеров кластеров уровень Ферми быстро достигает своего предельного значения Р/1т= 0.6 эВ, близкого к величине барьера Шоттки для плоской границы металл/полупроводник. Положение по энергии и ’’хвосты” металл-индуцированных состояний в окрестности уровня Ферми определяются интерфейсными слоями из антиструктурных дефектов СаЛ5.
3) В кремнии с германиевыми кластерами дырочный уровень размерного квантования с ростом размеров кластеров монотонно смещается вглубь запрещенной зоны 81, вызывая красный сдвиг края оптического поглощения. Наиболее-интенсивное поглощение связано с непрямыми в прямом и обратном пространствах электронными переходами с резонансного интерфейсного состояния на дно зоны проводимости кремниевой матрицы.
4) В малых пирамидальных квантовых точках и'-ОаМ/А1М(0001) эффекты размерного квантования - приводят к интенсивному поглощению света, поляризованного в базальной плоскости ЕА.с. Оно связано с электронными переходами в зоне проводимости с нижнего уровня П на два близких уровня Гз, возникающих в результате смешивания зонных состояний и долин и линии £ бинарных кристаллов.
5) Полное отражение электронов от гетсрограницы. ОаА5/А1Лз(001) в интервале энергии между X - долинами Л1Аз и ОаАь обусловлено взаимной компенсацией вкладов от „виртуальных процессов!' с участием Г, Х1 и Хз состояний. В' среде, из которой электрон налетает на границу, из падающей и отраженной волн формируется стоячая волна. Появление нуля в коэффициенте прохождения не связано с каким-либо интерфейсным резонансным состоянием, а является следствием многодолинного характера зонного спектра ваАз, А!Аз.
6) В несимметричных двухбарьерных егруктурах 1г-ОаЫ/Са|.хА1хЫ(0001) внутренние электрические поля, вызванные спонтанной и пьезоэлектрической поляризацией, приводят к красному или голубому сдвигу резонансных энергий в зависимости от толщины и расположения барьеров по отношению к полярной оси. В сверхрешетках (ОаМ)п(Са|-хА1хМ)т внутренние поля формируют штарковскую лестницу электронных состояний при небольшом числе ультратонких слоев в отсутствии внешнего ноля.
7) Сверхрешеточная модель интерфейсного потенциала в гетероструктурах, в которой междолшнюе смешивание происходит не на одной границе, как в стандартной модели с резким на границе потенциалом, а на двух границах и в области переходного слоя. В структурах СаАз/А1Аз учет плавного потенциала приводит к наиболее существенным изменениям при туннелировании электронов с участием коротковолновых состояний в области междолинного Г-Х смешивания для границы (001) и Г-Ь смешивания для
границы (111). Плавный интерфейсный потенциал вызывает уменьшение междолинного смешивания на гетерограницах, приводит к заужению Фано-резонансов, исчезновению интерфейсных состояний на одной границе, сдвигам нижних резонансов.
8) В сверхрешетках (GaAs)3(AlAs)i, (GaAs)2(AlAs)2, (GaAs)i(AlAs)3(001) эффекты размерного квантования приводят к росту интенсивности междолинных переходов по сравнению с аналогичными переходами в твердых растворах. Сильная локализация волновых функций в глубоких Г ямах GaAs вызывает немонотонное изменение деформационных потенциалов переходов типа Г-Х и Г-L в этом ряду сверхрешеток. Междолинные переходы электронов в зоне проводимости сверхрешсток Г1-М5, Г1-Х1, Г1-Х3, Xi-Xi, Х1-Х3, Г3-М5 происходят в основном за счет колебаний: катионов, переходы Х1-М5, Х3-М5, Г3-Х1, Г3-Х3 - за счет колебаний анионов, а наиболее интенсивные каналы рассеяния Г3-М5 и Z3-M5 связаны с оптическими колебаниями легких атомов-AI.
9) Глубокий уровень наиболее локализованного дефектного состояния наименьшим образом зависит от химического строения кристалла, в котором находится дефект. В группе соединений А3В5 такой уровень имеет среднюю энергию <£BJbs> = 4.63 эВ (ниже уровня вакуума) с небольшой дисперсией 0.08 эВ, благодаря чему он играет роль уровня Ферми, в облученных, сильно дефектных полупроводниках.
Личный вклад автора диссертации состоит в постановке задач, разработке методов, выполнении расчетов и их анализе. В работах, опубликованных с соавторами, участие автора было определяющим в той части результатов, которые сформулированы в защищаемых положениях и выводах.
Достоверность полученных результатов обусловлена использованием апробированных и хорошо зарекомендовавших себя методов псевдопотенциала и функционала электронной плотности. Полученные результаты находятся в качественном и количественном согласии с имеющимися экспериментальными и теоретическими данными. Сформулированные выводы являются взаимно согласованными и не содержат внутренних противоречий.
Апробация работы
Основные результаты.работы докладывались на 11-th Conference on “Radiation Physics and Chemistry of Condensed Matter” (Томск, 2000 г.), Всероссийской конференции “Нитриды галлия, индия и алюминия - структуры и приборы” (Москва, 2001 г.), Congress of Material Research Society (Santa-Barbara, USA, 2001), 8-й Международной конференции
14
“Физико-химические процессы в неорганических материалах” (Кемерово, 2001 г.),
Международной конференции “Оптика, оптоэлектроника и технологии” (Ульяновск, 2001 г.), VIII Российской конференции “Арсенид галлия и полупроводниковые соединения группы III-V” (Томск, 2002 г.), International Symposium “Temary Chalcopyrite Semiconductors” (Paris, France, 2002), Международной конференции ’’Оптика, оптоэлсктроника и технология” (Ульяновск, 2002 г.),VI Российской конференции по физике полупроводников (Санкт-Петербург, 2003 г.), X АРАМ Topical Seminar and III Conférence “Materials of Siberia” “Nanoscience and technology” (Novosibisrk, 2003), Совещании “Актуальные- проблемы полупроводниковой фотоники. Фотоника - 2003” (Новосибирск, 2003 г.), 12-th International Conférence on radiation Physics and Chemistry of inorganic materials (Tomsk, 2003), Международной конференции- “Современные проблемы физики и- высокие технологии” (Томск, 2003 г.), Совещании “Кремний 2004” (Иркутск, 2004 г.), Международной конференции “Физико-химические процессы в неорганических материалах” (Кемерово, 2004 г.), 4-й Всероссийской конференции “Нитриды галлия, индия и алюминия - структуры и приборы” (Санкт-Петербург, 2005 г.), IX-ой конференции “GaAs и полупроводниковые соединения группы III-V” (Томск, 2006 г.), VIII международной конференции “Опто-, наноэлектроиика, нанотехнологии и микросистемы” (Ульяновск, 2006 г.), 15-th International Symposium “Nanostructures: physics and technology”(HoBOCH6npcK, 2007 г.), 5-ой
Всероссийской конференции “Нитриды галлия, индия и алюминия: структуры и применения” (Москва, 2007 г.), IEEE International Siberian. Conférence on control and communications SiBCON-2007 (Tomsk, 2007), 6-ой Всероссийской конференции “Нитриды галлия, индия и алюминия: структуры и приборы” (Санкт-Петербург, 2008 г.), IX Российской конференции по физике полупроводников (Новосибирск - Томск, 2009 г.), 18-th International Symposium “Nanostructures: physics and technology”(CaHKr-neTep6ypr, 2010 г.), Четвертой Всероссийской конференции по наноматсриалам (Москва, 2011 г.), 8-ой Всероссийской конференции “Нигриды галлия, индия и алюминия: структуры и приборы” (Санкт-Петербург, 2011 г.), а также обсуждались на научных семинарах в Сибирском физико-техническом институте при 1 омском госуиивсрснтете.
Публикации. По теме диссертации опубликовано 47 научных статей в реферируемых журналах.
Объем и структура работы. Диссертация состоит из введения, 6 глав, заключения с выводами и списком основных результатов, списка литературы. Общий объем диссертации
15
412 страниц, в том числе 57 таблиц, 183 рисунка, список литературы включает 431 наименование.
Во введении обсуждается актуальность решаемых в диссертации задач, формулируется цель работы и основные защищаемые положения, отмечена научная новизна и практическая значимость результатов работы.
В первой главе дается краткое описание методов расчета электронных состояний и физических свойств кристаллов и. нанострукгур. В работе использованы как первопринципные псевдопотенциалы, так и модельные псевдопотенциалы, основанные на широкой базе эмпирических и теоретических данных. Необходимость, такого выбора связана с тем, что ab initio методы, выступающие фундаментом для понимания физических свойств твердых тел, зачастую не- обеспечивают достаточную для интерпретации электронных свойств полупроводниковых наноматериалов точность описания электронного спектра (на уровне 0.01 эВ). Кроме того, их применение к структурам с пониженной размерностью и кластерными дефектами требует непомерных вычислительных затрат. Подробно описаны оригинальные методики расчета комплексной зонной структуры и матрицы рассеяния.
Во второй главе обсуждаются результаты расчета зонного спектра кристаллов с разной структурой, в том числе гексагональной A-BN и ромбоэдрической r-BN модификаций нитрида бора, соединений со структурой халькопирита. Анализируются минизоиные спектры сверхрешеток в моделях с резким и плавным интерфейсным потенциалом на гетерограницах, обсуждаются оптические спектры сверхрешеток. Приведены результаты расчета фононного спектра кристаллов GaAs, AlAs и ультратонких сверхрешеток (GaAs)i(AlAs),, (GaAs)3(AlAs)b (GaAs)2(AlAs)2, (GaAs),(AlAs)3(001).
В третьей главе исследовано мсждолиннос рассеяние электронов на коротковолновых фононах в бинарных кристаллах и ультратонких сверхрешетках. Определены междолинные деформационные потенциалы для всех актуальных каналов рассеяния электронов в зоне проводимости этих материалов. Установлены закономерности в поведении деформационных потенциалов в ряду сверхрешеток.
16
1} четвертой главе рассмотрены глубокие уровни точечных дефектов, электронные уровни кластеров и квантовых точек. Проведена интерпретация оптических спектров дефектных
кристаллов - гексагонального нитрида бора и тройного полупроводника 2пОеРг.
Установлены особенности глубоких уровней вакансий в сверхрешетке (ОаЛ5)з(А1Ая)1(001). Изучена электронная структура кластеров из атомов мышьяка и галлия в ОаАэ в зависимости от размеров кластеров. Проведен анализ электронной структуры и оптических свойств германиевых кластеров в кремнии. Исследованы электронные и дырочные уровни пирамидальных квантовых точек СаМ/А1М(0001).
В пятой главе исследована проблема закрепления уровня Ферми в дефектных материалах. Построена модель глубокого уровня, позволяющая предсказывать свойства облученных кристаллов и оценивать разрывы зон на гстерограницах. Проведено сравнение и установлена связь с другими моделями. Анализируется корреляция глубоких уровней собственных дефектов с предельным уровнем Ферми в облученных материалах. Обсуждается закрепление уровня Ферми в узкозонном кристалле 1пАз. Определены уровни электронейтральности: и разрыв зон в структурах Л-ВМ/г-ВН.
В шестой главе приводятся результаты исследования процессов резонансного туннелирования электронов в многобарьерных квантовых структурах с различной ориентацией гетерограниц. Построено модельное описание этих процессов с учетом смешивания состояний на гетеро1раницах и плавного изменения интерфейсного потенциала. Рассмотрено туннелирование электронов в нитридных структурах Уг-ОаМ/А1Ы с учетом внутренних электрических полей.
В заключении сформулированы основные результаты работы, обсуждается дальнейшее развитие исследований.
17
Глава 1 МЕТОДЫ РАСЧЕТА ЭЛЕКТРОННЫХ СОСТОЯНИЙ И ФИЗИЧЕСКИХ СВОЙСТВ КРИСТАЛЛОВ
1.1. Методы расчета зонной структуры полупроводников
Энергетическая структура электронов является основой для описания физических процессов, протекающих в полупроводниках. В одноэлектронном приближении зонные энергии Епк и блоховские волновые функции электронов (н - номер зоны, к - волновой вектор) определяются из решения уравнения Шредингера:
я = (Г + V) «V = Епк\IV (1.1)
р2
где ^ = т—; - оператор кинетической энергии (то - масса свободнот электрона,
р = -/W - оператор импульса), V - самосогласованный кристаллический потенциал, включающий кулоновское, обменное взаимодействие и корреляцию электронов. В 20-м веке были, развиты основные методы, позволяющие свести решение дифференциального уравнения (1.1) к решению системы алгебраических уравнений: метод
оргогонализоваиных плоских воли [10] (ОПВ), метод пссвдопотснциала. [11,12], метод сильной связи [13] (JIKAO), метод присоединенных плоских волн [14] (ПИВ), метод функций Грина [15,16] и т.д.. Эти методы отличаются способами задания;кристаллического потенциала К и базисных функций. Среди них особенно эффективным является метод псевдопотснцнала, в котором истинный потенциал, заменяется более слабым, гладким, потенциалом Vps, позволяющем получать решения, уравнения (1.1) для валентных электронов в базисе из сравнительно небольшого числа функций (плоских волн или атомоподобных функций). Присущая псевдопотенциалу неоднозначность вызвала большое многообразие форм его представления. В практических расчетах преимущество получили переносимые, сохраняющие норму псевдопотенциалы■ с мягким кором, воспроизводящие истинную волновую функцию вне остова. На первых этапах успешное применение пссвдопотснциалов основывалось на эмпирической параметризации формфакторов [17], позволившей провести интерпретацию оптических спектров, электронной плотности и других свойств кристаллов [18]. Однако такой подход не дает полноценного объяснения физических процессов в твердых телах, а используемые в нем экспериментальные данные зачастую противоречивы и допускают неоднозначную интерпретацию. С другой стороны использование традиционного метода Хартри-Фока с учетом корреляции электронов наталкивается на серьезные вычислительные трудности. Развитие альтернативного подхода - теории функционала электронной плотности (ГЖГ)
18
[19] - позволило создать последовательную процедуру для определения
первопринципных псевдопотенциалов, реализованную в нескольких программных пакетах (SIESTA, Abinit, Quantum Espresso, VASP и т.д.). Успех метода DFT обусловлен тем, что энергия основного состояния системы взаимодействующих электронов, находящихся во внешнем поле, полностью определяется электронной плотностью, зависящей только от трех переменных [20]. Многочастичные эффекты учитываются в обменно-корреляционном потенциале, точный вид которого неизвестен, но уже простые приближения, для него могут давать приемлемые результаты для некоторых характеристик кристаллов. Так, широко используемое приближение локальной плотности (LDA) дает хорошее описание структурных свойств и валентной зоны полупроводников. Однако, вместе с тем оно систематически заужаст запрещенную зону (~1 эВ). Для устранения погрешности в ранних работах применялась процедура ‘scissor’ [21], в которой зона проводимости жестко сдвигалась относительно валентной зоны до правильной величины запрещенной зоны. Впоследствии точность результатов LDA была повышена последовательным путем учета неоднородности плотности в рамках обобщенного градиентного приближения (GGA) [22] и поправок собственной энергии в линейном приближении по экранированному потенциалу взаимодействия (GW метод [23]). Как оказалось, квазичастичные GW-поправки сдвигают спектр LDA не жестко, а меняют кривизну зон, волновые функции и силы осцилляторов [24]. Их учет позволяет описывать зонный спектр кристаллов с высокой точностью ~0.1 эВ. Метод DFT постоянно совершенствуется. В гибридных вариантах для построения обменно-корреляционного потенциала привлекаются результаты, полученные методом Хартри-Фока [25]. При этом для получения лучшего согласия с опытом в модельные обменно-корреляционные потенциалы вводят подгоночные параметры, что придаст методу полуэмпиричсский харакгер и не гарантирует правильное описание всех свойств кристалла, поскольку точный функционал электронной плотности неизвестен. Учет квазичастичных GW поправок достаточно трудоемок и требует больших затрат вычислительного времени. К наноматериалам, в структурных единицах которых содержатся тысячи атомов (кластеры, квантовые точки, сложные дефекты, многоатомные кристаллы и т.д), GW- метод практически не применяется. С другой стороны более простые для реализации ab-initio методы (LDA, GGA и т.д.) не дают необходимой точности описания электронного спектра квантоворазмерных структур.
В связи с этим в настоящей работе для изучения электронных состояний наноматериалов, гетероструктур, сложных кристаллов и дефектов использован метод
19
модельного псевдопотенциала, основанный на широкой базе надежно установленных экспериментальных данных но спектрам свободных атомов и электронным свойствам хорошо изученных кристаллов, а также данных теоретических расчетов зонного спектра и волновых функции, выполненных с применением как ab-initio, гак и полуэмпирических методов. При нахождении параметров модельных псевдопотснциалов учитывались также закономерности, проявляющиеся в электронной структуре в рядах кристаллов и-гетеропереходов. Кроме того, полученные результаты контролировались, когда это было возможно, расчетами с применением ab-initio псевдопотснциалов. Все это позволило расширить область- применимости. и повысить надежность, результатов, получаемых с модельными псевдопотенциалами..
1.2 Метод исевдоиотенцнала-
1.2.1 Модельные псевдопотенциалы
Метод модельного псевдопотенциала сочетает в себе преимущества, свойственные эмпирическим и первопринципным подходам,,поскольку он с одной стороны опирается на широкую базу экспериментальных и теоретических данных, чтобы обеспечить высокую точность описания электронной структуры различных композитных материалов, а с другой стороны построен на основе физически прозрачной и эффективной модели потенциала иона, отражающей наиболее общие и. основные свойства пседопотенциалов и содержащей малое число хорошо определяемых параметров, закономерным образом изменяющихся в рядах и периодах системы Менделеева. Молельный псевдопотенциал иона представлен суммой трех слагаемых [26,27]: D&, -о, +и„, + где и, - локальная, основная часть псевдопотенциала,
urJ- нелокальные добавки, и1а- псевдопотенциал, описывающий спинорбитальнос взаимодействие. Локальный псевдопотенциал имеет вид параболы внутри сферы с радиусом Rm, непрерывно переходящей вне его в кулоновскнй потенциал:.
'u0(\-r/Rm)-ze2r[l/R2m + 4(r-Rm)], r^Rm -ze2/r, r>Rm 1 г . v . 4nze1
u,(r) =
o,(q) = — Jy, (ry'^dr = -fSy. [X(q) - X(q0)Y(q) / Y(qQ)] £20 J
t = X(q0)/(R2„Y(q0))
X(q) = (ь>0 /(re2) +1 / Rm )[2(1 - cos q) / q - sin q] - sin q / Rm Y(q) = 2(2 cos 77 +1) / 77 + (1 -6/77*) sin 77
(1.2)
20
где 2 — валентность атома, цо — первый ноль формфактора псевдопотенциала и,(д),
зависящего от модуля волнового вектора, По - объем элементарной ячейки кристалла, £-нелинейный параметр параболы, определенный из условия непрерывности псевдопотенциала на сфере с радиусом Лт. Параметрами локальной части псевдопотенциала и, выступают радиус Ят и глубина ямы во = »\(г=0). Благодаря непрерывности и гладкой форме локального псевдонотенциала его формфактор /) быстро затухает с ростом г/, так что значения ц(г/)при </> <702 (цог - второй ноль формфактора) слабо влияют на зонные энергии. Поэтому в расчетах зонного спектра формфакторы о,{ц) обрезались после 402, что
приводит к дополнительному сглаживанию пссвдопотснциала в координатном пространстве и улучшению сходимости с ростом базиса.
Нелокальные поправки ип, =и1+и(1 учитывают энергетическую зависимость
исевдопотенциала иЕ и ^-нелокалыюсть псевдонотенциала оа. Поправка оЕ получается из
разложения псевдопотенциала вблизи уровня Ферми Е? [ 18]
Линейное по (Е-Ег) слагаемое и дает в первом приближении искомую поправку иЕ, влияние которой на электронный спектр можно учесть путем перенормировки оператора
П = П0ЛГ- объем кристалла, N - число элементарных ячеек в блоке периодичности. Для
гексагональных кристаллов, имеющих особенную ось, перенормировка оператора кинетической энергии производилась более дифференцировано с учетом их пониженной симметрии
где дополнительным параметром у учитывалась анизотропия свойств одноосных кристаллов.
(1.3)
кинетической энергии Т — — . Формфактор поправки и,, имеет вид
2/Яф
(1.4)
к+К>=-^-е'
- плоская волна, % — вектор обратной решетки,
2ш0
Р Гг\{кх + г,)2 + (ку + gy)2 + у(к: + g:У■) J
2 т0
е.е' >
(1.5)
Поправка на сі- нелокальность ии отражает отличие во влиянии остовных 5, р, сі состояний на валентные состояния вследствие их разного энергетического положения. В соединениях А3В5 сі- уровни последней заполненной оболочки находятся значительно ближе по энергии к валентным зонам (~ 20 зВ для катионов и ~ 40 эВ для анионов), чем б н р остовные уровни (~100 эВ). Эта особенность учтена отгалкивательным потенциалом с1-симметрии
оа - п2т >< п2т | (1.6)
т
где \п2т><п2т\ - оператор проектирования на остовнос состояние с главным квантовым числом п, орбитальным числом 1=2 и магнитным квантовым числом т, Аа - параметр. Формфактор нелокальной добавки о(1 имеет вид
<*+£ІЧ, !* + *’>= А^Р2(соз е„,Мг.)В„2(\ к + в |)В„2(1 * + а' I) (1-7)
со
где Вп,(к) = ^Я„,(г)],{кгу2с1г - ортогонализационные интегралы,//-сферическая функция о
Бесселя, Рг - полином Лежандра. Ортогонализационные ингеїральї вычислялись с использованием радиальных атомных функций /?„/ из таблиц Клементи [28]. Результаты расчетов интегралов В„і приведены в Приложении в виде таблиц для ряда значений волнового вектора. Для промежуточных значений волнового вектора к интегралы В„,{к)
находились путем линейной интреполяции. Нелокальные поправки составляют небольшую часть полного потенциала и меняют его на ~ 10-20 %. Для легких атомов первых трех периодов, у которых остовные ^-уровни отсутствуют поправка иа не вводилась.
Гамильтониан спинорбитального взаимодействия в приближении Паули
Н*> — ~л—V х р\) при переходе к псевдоволновому уравнению принимает вид 4 т0с
її
5
л
где <т - векторная матрица Паули, Р- оператор проектирования на остовные состояния. Матричные элементы гамильтониана II£ в базисе из спиноров \ к + g,s >=\ к + § >\ б > (| -У > -собственные функции оператора проекции спина на ось г,
Н% = "г-тт(1 - Р)И^ V х р])(1 - Р), (1.8)
4 т'с*
\Б}> =
^ =Й/2 * |$ >= ^ 5 =-Л/2^ Рассчитывались в модели Вейсца [29] с учетом
р-состояний последней заполненной оболочки атома
22
<lt + g,s\H£]k + g',s’>='£^S'(g'-g)<k + g,s\v•;\k + g',s'>
К
[(* +А') х (* + »')]<*„• (1,9)
І*+гІІ*+гі
где S^e(g^-g) = exp(i(.g,~8Уrк) ‘ структурный фактор, тк- радиус-вектор к -го атома в элементарной ячейке, Хк - параметр. Использованные приближения обеспечиваю! учет -80% эффектов спинорбиталыюго взаимодействия [29].
Потенциал валентных электронов учитывался путем экранировки локальных псевдопотенциалов ионов с помощью функции диэлектрической проницаемости, рассчитанной в работе [30] на основе модели Пэйна [31]. С поправками на обменное взаимодействие в приближении Хаббарда-Шэма[ 18,32] эта функция дается выражением
валентных электронов, к7; =2к ,:1(л а0)- параметр экранирования, ао - боровский радиус,
$(я) ’ табличная функция, Ех - ширина щели в модели Пэнна, связанная с высокочастотной диэлектрической проницаемостью кристалла
Из расчета [30] следует, что величина £(0) с точностью ~ 0.1 % описывается формулой
Формфактор экранированного локального псевдопотениала имеет вид и, (#) / /-(</) • Нелокальные поправки ипП а также спин-орбитальный потенциал и™, сильно локализованы вблизи ядер, поэтому их экранировка валентными электронами в первом приближении сводится к простому сдвигу кристаллического потенциала, не влияющему на относительное положение зонных энергий Епк. Поскольку модельные псевдопотенциалы применяются здесь для интрепретации оптических спектров, особенности которых связаны с межзонными
(1.10)
где кг - фермиевское волновое
плазменная частота, п - плотность
(1.11)
(1.12)
И к
где Е° = —— - энергия Ферми свободного электронного газа. Эго позволяет выразить 2 т0
безразмерный параметр Ех через экспериментальное значение еф
(1.13)
23
переходами и не зависят от абсолютных значений зонных энергий, то среднее значение кристаллического псевдопотенциала полагалось равным нулю УРх(д-0)=0, а нелокальные поправки добавлялись к о^)/е(с[) неэкранированными. Учет перераспределения
электронной плотности с помощью диэлектрической функции позволяет считать псевдопотенциалы ионов переносимыми в разные соединения и использован» для нахождения их параметров данные по спектрам ионов.
Зонная структура рассчитывалась в базисе из плоских волн с применением метода Левдина [33], при этом около 1/3 всех волн учитывалось точно, а остальные 2/3 волн учитывались по теории возмущений. Гладкий’ вид модельного локального потенциала позволяет использовать в расчетах сравнительно небольшой базис из —60-^80 волн на атом, что обеспечивает точность зонных энергий ~ 0.05 эВ.
Параметры псевдопотенциалов но, Ягп, А^ Д Я определялись из условия согласия рассчитанных зонных энергий с данными по оптическим и фотоэмиссионным спектрам, эффективным массам группы алмазоподобных кристаллов А4, АгВб, А3В5. В расчетах использовались экспериментальные значения структурных постоянных и диэлектрической проницаемости (табл:1.1). Были найдены значения параметров. псевдопотенциапов в двух вариантах - с нелокальными поправками (табл. 1.2) и в локальном приближении (табл. 1.3). Параметры анизотропии у приведены ниже при обсуждении гексагональных нитридных кристаллов.
Была проведена проверка локальных пссвдопотснциалов на предмет согласия с данными по спектрам изолированных ионов. Энергии электронов в ионном исевдопотенциале получались из решения радиального уравнения Шредингера
= ° (1-14)
сіґ г ' г
где я*, /* - эффективные квантовые числа, характеризующие состояние электрона в псевдоатоме. Полученные одноэлектронные уровни отождествлялись с уровнями ионов. На рис. 1.1 приведены рассчитанные с локальными псевдопотенциалами (табл. 1.3) одноэлектронные ионные энергии Ет и их отклонения от экспериментальных значений Еэ [35]. /Для удобства сравнения энергии нормированы на г2. Нумерация состояний соответствует эффективным главным квантовым числам. Экспериментальные значения усреднены по спину. Из рис. 1.1 видно, что для большинства атомов энергии уровней /я и 2р воспроизводятся с ошибкой < 10% (за исключением Ссі, А1, ТІ). Уровень 2б получается с меньшей точностью, особенно для элементов с большим зарядом г.
24
Табл. 1.1 Параметры кубических кристаллов [34].
Кристалл А, А 8« Кристалл а, А 8с Кристалл а, А с~
С 3.567 5.5 ВР 4.538 9 гпБ 5.414 5.2
& 5.43 12 ВЫ 3.615 4.5 гп8е 5.667 5.8
Ое 5.658 16 ВАб 4.776 10.4 гпТе 6.101 7.3
Зс&С 4.3596 6.52 А1Р 5.462 7.6 С68 6.081 5.2
а-Бп 6.49 24 АЬАв 5.668 10.2 СбБс 5.839 6.1
А18Ь 6.136 10.2 сате 6.477 7.2 .
ваР 5.451 8.5 Ы8Те 6.461 12.0
ОаАэ 5.653 10.9
ваБЪ 6.095 14.4
1пР 5.869 9.6
1пАз 6.058 12.5
ЬгёЬ 6.479 15.7
Таблица 1.2 Параметры нелокальных модельных псевдопотенциалов, ат.ед.
Атом г>о Ал Р Я
С -2.2 2.5 0 -10 0
-1.845 3.38 0 8 0.5
ве -1.98 3.21 0.9 6 2.5
а-8п -1.80 3.56 0.8 15 3.8
В 0.3 2.8 0 -15 0
А1 -0.06 3.5 0 21 0.2
ва -0.43 3.21 0 14 1.8
1п -0.6 3.48 0.5 45 3.0
N -5.1 2.1 0 -15 0
Р -3.27 3.26 0 7 0.8
Аб -3.15 3.34 4.0 12 3.6
8Ь -2.86 3.72 1.2 80 4.6
са 0.85 2.97 25 1.2
н6 2.2 2.95 50 3.0
Тс -4.02 3.73 20 4.5
Таблица 1.3 Параметры локальных модельных исевдопотенциалов, ат.сд.
атом »0 /?т | -Я |
С -2.2 2.45
-1.83 3.41 0.5
ве -2.01 3.18 2.5
а-Бп -1.85 3.46 4.0
РЬ -1.87 3.52 9.0
В -0.2 2.8
А1 -0.2 3.5 0.2
ва -0.5 3.22 1.8
1п -0.9 3.19 3.0
Т1 -0.5 3.18 7.7
Р -3.2 3.3 0.8
Ав -3.2 3.25 3.6
БЬ -2.88 3.63 4.6
Ы -2.86 3.66 9.9
Mg 0.3 3.63
гп 0.7 3.25 1.5
са 1.4 3.1 1.2
нё 2.4 2.95 2.0
О -9.2 1.3
8 -4.7 3.1
Эе -4.4 3.28 4.2
Те -4.02 3.7 4.5
26
Еі/Ї*, атпед.
ЧҐ
7.п
”,
гтг
мс
гп
6.16 п ръ+Ь ,р.м
Л5.
~Ч7
I
& м?
-16
0.05
СЛ
•В
ІБ
■ Со .Л1
ТІ
1п
•**
1Я Зп
5/л Л Т& *5А
&Ъе и.
Се
5л
С*
* П* Я/
2р
Ві
сзуц----------------------1 2
' 2п ЛІ хГ, 31 с* , "
л
и*
Рис.1.1 Модули рассчитанных одноэлектронных ионных энергий £г и их отклонения от экспериментальных значений Еэ [35].
Поскольку псевдопотенциалы должны давать правильное описание волновой функции вне остова, то было проведено сравнение с расчетами электронной плотности ионов. На рис. 1.2 в качестве примера приведена вычисленная радиальная плотность І5- состояния БҐ4. Ее максимум и поведение вне кора (/*>2 а.и.) хорошо согласуются с данными, как эмпирического расчета [36], так и расчета методом Хартри-Фока [28].
Рис. 1.2 Радиальные плотности р(г): Зз - состояния иона вГ*4 : / - расчет методом Хартри-Фока [28], 2 - эмпирический расчет [36], 3 - наш расчет.
27
Полученное в целом хорошее согласие рассчитанных энергетических уровней ионов с экспериментом свидетельствует об удовлетворительном описании экранировки ионных потенциалов с помощью функции диэлектрической проницаемости (1.10). Поэтому модель была расширена на новые элементы В, С, И, О, Мд, Н^, РЬ (на рис. 1.1 они подчеркнуты). Псевдопотенциалы этих ионов определялись из условия согласия с экспериментальными значениями электронных уровней энерг ии ионов 1^+, Н§+, РЬ+3 и т.д. [35]. Элементы И-го периода требуют особого рассмотрения из-за отсутствия в их остове /7-электронов. Это приводит к необходимости введения нелокальности для псевдоиотениала. В первом приближении внешние /7-электроны могут быть описаны обычным кулоновским
потенциалом. Поэтому в табл. 1.3 приведены параметры псевдопотенциалов этих элементов, определенные из данных но 5-уровням, а энергии, относящиеся^ 2р- электронам В, С, И, О, рассчитаны с кулоновским потенциалом.
1.2.2 Модельные нсевдопотенциалы Мас1сг^ипцсг
В работе Мабег, Хш^ег (MZ) [5] на основе результатов расчета методом ЬОА зонного спектра бинарных кристаллов ОаАБ, А1Аб и сверхрешсток (СаА5)п(А1А5)т построены модельные псевдопотенциалы, позволяющие описывать электронные состояния для краев запрещенной зоны с высокой точностью (-0.1 эВ). Преимуществом этих пссвдопотснциалои является то, что они дают зонные энергии в абсолютной шкале энергии и правильно воспроизводят разрывы зон на гетерограницах, что важно при изучении эффектов размерного квантования и процессов туннелирования электронов через барьерные структуры. Поэтому псевдоиотенциалы MZ применялись наряду с оригинальными модельными псевдопотенциалами для расчета элетронных состояний наноразмерных структур СаАз/А1А5.
Кристаллический псевдопотенциап У(г) в работе [5] представлялся в виде суперпозиции сферически симметричных атомных потенциалов ок (г):
где суммирование ведется по положениям атомов тк> элементарным ячейкам /?/ и векторам обратной решетки g.
Псевдопотенциал MZ для атома Аб зависит от окружения, что является отражением зависимости распределения электронной плотности от химического состава кристалла. Если атом Аб окружен п атомами А1 и (4-т?) атомами ва, то его псевдонотенциал строится как
28
средневзвешенный потенциал твердого раствора Оал .пЛ1пЛз в приближении виртуального кристалла (ВК):
где и^СаАз) и оЛ5(А1Аз) * псевдопотенциалы Лб в кристаллах ваАБ и А1АБ соответственно. Форм- факторы локальных псевдопотенциалов М2 имеют вид:
где 1}* - атомный объем. Для определения параметров , Ь!к, с1к, /0л, Рк в работе [5]
использовались данные по оптическим спектрам.кристаллов ОаАэ, А1Аб, внутридолинным деформационным потенциалам, волновым функциям ЫЭА расчетов зонного спектра, а также экспериментальное значение разрыва валентной зоны на гетер01ранице А1А$/СаА8: АЕ(Г|5У(ОаА5)-Г15у(А1Ая)) = 0.50 эВ [34]. Постоянная решетки в обоих кристаллах считалась одинаковой а = 10.68 а.и.. При расчете зонного спектра учитывались плоские волны, которым отвечают кинетические энергии < 5 Яу, форм-факторы псевдопотенциалов
О СО
Чс(?) обрезались при значении модуля волнового вектора ^тах “ ' ам\ Такие условия обрыва приводят к базису из небольшого числа плоских волн. Например, в симметричных точках зоны Бриллюэна волновая функция бинарных кристаллов представляется в виде разложения: в точке Г (к= 0) по 59 волнам, в точке X (Аг=(0,0,2л/сг)) по 64 волнам, в точке Ь (А=(я/д, п/а,я/а)) по 52 волнам.
Параметры псевдопотенциалов М2 даны в табл. 1.4. Четыре строки для каждого атома соответствуют гауссианам с номерами /=1,2,3,4 в формуле (1.15), другие ее параметры равны
/0А1 =0.02= 10 (ст.г/.)-1, /ова ~ Ллз =^- ® табл. 1.5 приведены вычисленные зонные энергии кристаллов ОаАБ, А1Аб. Для состояний, формирующих края запрещенной зоны, зонные энергии согласуются с экспериментальными данными с точностью ~0.1 эВ. Полученная для ваАБ работа выхода 5.5 эВ близка к экспериментальному значению 5.56 эВ для неполярной поверхности (110) [37].
Псевдопотенциалы М2 определены так, чтобы с ними получались согласующиеся с экспериментом разрывы зон проводимости на 1ранице ОаАБ/А1АБ:
29
этих величин следует, что слои ОаАэ выступают достаточно глубокими квантовыми ямами для Г, и Ьі сфалеритных состояний нижней зоны проводимости, и мелкими квантовыми ямами для Хз состояний второй зоны проводимости, а слои АІАб - мелкими квантовыми ямами для Хі состояний нижней зоны проводимости. Схема разрывов зон показана на рис. 1.3 на примере двухбарьерной структуры ОаАз/АІАз/ОаАз/АІАз/ОаАз.
Таблица 1.4 Параметры модельных псевдопотенциалов [5]
£\,(а.и.)3 Ь,к, (а.и.)'1 сік ,(а.и.)2
А1 -1.32712 0 1.59819
111.3 0.158114 1.77453 2.10827
0.0601648 2.59550 0.527745
0.0168167 2.93581 11.2708
ва -1.24498 0 1.52748
131.4 0.0366517 2.09782 0.959082
0.0464357 2.01935 0.574047
-0.0133385 2.93581 11.2708
Аэ (в АІАб) -1.10411 0 0.972439
145.2 0.0174946 2.46793 6.53147
-0.00368081 1.22845 5.50601
0.0921512 1.35897 1.18638
Аз (в ОэАб) -1.05821 0 0.959327
145.2 -0.00217627 2.46808 6.53145
-0.0434312 0.851644 2.94679
0.10569 1.22436 0.820922
30
Табл. 1.5 Зонные энергии ОаАэ, АІАб в абсолютной шкале энергии, эВ.
Состояние АІА5 ОаАэ
г,'’ -17.695 -17.626
Г,5У -6.006 -5.498
Г,с -2.974 -3.978
г15с ^ -1.793 -1.489
х,у -15.517 -15.507
> X -11.797 - 11.746
X V/» < -8.296 -7.831
х,с -3.769 -3.496
Хзс -2.968 -3.182
ь,у -16.161 -16.157
ь,у -11.540 -11.454
и'■ -6.952 -6.462
ис -3.137 -3.693
Ь3С -0.997 -0.643
ш
п
ш
1,0-
0,8-
0,6-
0,4-
0,2-
0,0-
Г X,
Ь х 3
Х,
ь
1 г
СаАэ ЛІАб ОаЛБ А1Л5 ваАБ Рис. 1.3 Схема разрывов зон в двухбарьерной структуре СаАз/АІАБ/ОаАз/АІАз/ОаЛя.
Псевдопотенциалы [5] применялись для расчета электронных состояний различных сложных полупроводниковых систем - квантовых ям, проволок, точек, свсрхрешеток [38,39]. Они обеспечивают описание электронного спектра наноструктур GaAs/AlAs, содержащих -500000 атомов в элементарной ячейке, с точностью - 0.1 эВ.
1.23 Псрвонринцшшыс псевдопотенциалы
Первопринципные расчеты зонного спектра кристаллов проводились в приближении LDA с применением нелокальных, сохраняющих норму псевдопотенциалов Bachelet, Hamann, Schlutcr (BUS) [40,41]. Одноэлектронное уравнение Шредингера (1.1) включает самосогласованный кристаллический псевдопотенциал
в котором нелокальные псевдопотенциалы ионов ик находятся из обращения радиального уравнения Шредингера и имеют вид
нелокальная, короткодействующая часть псевдопотенциала, зависящая от орбитального квантового числа /, | / >< /1 - оператор проектирования на состояние углового момента
части псевдопотенциала (для каждого /). Параметры С“ге, а*0'с, А;, а, табулированы в [41] для большинства элементов периодической системы.
Уи(г) - хартриевский потенциал кулоновского отталкивания электронов, равный
V(r) = I иЛ' - - *.) + У и (г) + Уж(г)
(Мб)
где Ц*гс (**) - основная, локальная, кулоновская часть ионного пссвдопотенциала, Ац (г) -
з
(1.17)
1*1
здесь егГ(х)- функция ошибок, С[ме, (1 = 1,2) - параметры локальной части исевдопотенциала, причем С“гс+С2°а =1, а А,, от, (1 = 1,2,3) - параметры нелокальной
(1.18)
р(г) = 2^1 Ч^Сг)!*
nuk
Он определяется из решения уравнения Пуассона
32
ЧгУн(г) = -4ке'р{г)
^я(^) = 4яв2р(^)/|^р где /о(г) - суммарная плотность вероятности распределения валентных электронов.
Кс(г)" локальный, обменно-корреляционный потенциал, являющийся функциональной производной от обменно-корреляционной энергии Ехс(р) кристалла
Г,.<г)-^ЬМ
<>Р (1.20)
£«(Р) = |р(',Кс(Р('*))^
где ехс(р(г)) - обменно-корреляционная энергия, приходящаяся на один электрон, для которой использовалось выражение из работы [42]
0.1432
,г >1
6хс -
здесь Гт =
1 + 1.0529^ + 0.3334/; 2
-0.0480 + 0.03111п(г,)-0.0166/; + 0.0020/; 1п(г,), г, < 1
' з V"
I - радиус ферми-дырки.
Ияр)
Расчет фурье-компонент обменно-корреляционного потенциала Ухс^) проводился
путем численного интегрирования с использованием мелкой сетки точек (10x10x10) в элементарной ячейке. Полная плотность вероятности валентных электронов р(г) рассчитывалась методом спецточек [43]. Начальная итерация выполнялась с использованием экранировки ионных псевдонотенциалов функцией Томаса-Ферми. Типичное количество итераций составляло ~1 со сходимостью зонных энергий не хуже 0.02 эВ.
В табл. 1.6 приведены результаты расчетов зонного спектра ОаАэ с применением трех псевдопотенциалов (без учета спин-орбитального взаимодействия). Для удобства сравнения экспериментальные данные усреднены по спину.
Как следует из табл. 1.6 предложенные модельные нелокальные псевдопотенциалы дают наилучшее согласие с экспериментом. Расчет методом ЬЭА приводит к заужению запрещенной зоны на 0.7 эВ.
У псевдонотенциалов ВНБ жесткий кор, поэтому при их использовании требуется большое число плоских волн, что ограничивает их применение структурами с относительно небольшим числом атомов в элементарной ячейке.
33
Таблица 1.6 Зонные энергии GaAs, вычисленные с использованием ab-initio псевдопотенциалов BHS [41], псевдопотенциалов MZ [5] и модельных нелокальных псевдопотенциалов относительно потолка валентной зоны Г15'', эВ.
Уровень Модельные MZ BIIS Экспер. [34]
IV -13.08 -12.13 -12.48 -13.1
г,с 1.63 1.52 0.92 1.63
Г,5С 4.61 4.01 3.79 4.72
x,v -10.55 -10.01 -10.06 -10.75
X3V -6.95 -6.25 -6.70 -6.70
X5V -2.79 -2.34 -2.57 -2.80
Х,с 2.14 2.00 1.44 2.18
Х3С 2.70 2.31 1.71 2.58
L,v -11.33 -10.66 -10.81 -11.24
L,v -6.79 -5.96 -6.52 -6.70
IV -1.21 -0.97 -1.09 -1.30
L,c 1.99 1.80 1.14 1.85
1.3 Интегральные характеристики электронного спектра
В работе исследовались интегральные характеристики спектра - плотность состояний, диэлектрическая проницаемость, функция Грина, которые выражаются через интегралы но волновому вектору. Для их расчета использовались методики, сокращающие объем вычислений.
Оптические коэффициенты выражаются через комплексную диэлектрическую проницаемость с(Е) (Е - энергия фотона), которая в приближении случайных фаз имеет вид [44]
/* 1 е2*2 я? Г /(с)(к№
е(Е + і5)-1 + —-—У -----------------=--------—т
2|е-М„,(к)Г °'22)
т0(Ел-Ел)
где п - и, с — номера заполненных и свободных состояний соответственно, /^с)(к)- силы осцилляторов (безразмерные величины), Мш(к) = |хР*Л(/,)(-/АУ)'Г|Л(г)^г- матричный элемент оператора импульса, е - вектор поляризации электромагнитной волны, 5 -
34
мнимая добавка к энергии, связанная с конечностью времени жизни блоховских состояний за счет рассеяния электронов на несовершенствах кристалла. Для расчета интеграла по волновому вектору к в пределах первой ЗБ применялась процедура аналитического продолжения е{Е) в область комплексных энергий (с начальной мнимой добавкой к энергии д -0.1 эВ) с последующей интерполяцией на вещественную ось энергии согласно [45]. Такой метод приводит к сглаживанию сингулярных особенностей подинтегралыюй функции, что позволяет при интегрировании использовать сравнительно редкую сетку специальных точек (волновых векторов), генерируемых методом расширенной элементарной ячейки (РЭЯ) [46]. Это. существенно уменьшает объем- вычислений е(Е) без; заметной потери точности интегральных характеристик. Данная методика использовалась и для, расчета других интегральных характеристик.
Коэффициент поглощения света выражается через действительную и мнимую части диэлектрической Проницаемости (£= €1+162)
преломления и поглощения являются компонентами комплексного показателя преломления
1.4 Метод матрицы рассеяния
1.4.1 Общие соотношенния
В работе исследованы процессы резонансного туннелирования электронов через многобарьерные квантовые структуры. В рассмотренных структурах толщины всех слоев, кроме контактных, малы - составляют несколько постоянных решетки. Поэтому параметры решетки слоев в плоскости гетерограниц считались согласованными с параметрами решетки подложки. Это хорошо выполняется в структурах ОаЛзМЛАв с исходно близкими постоянными решеток компонент. В других случаях такое согласование происходит за счет деформации тонких барьерных слоев, окруженных толстыми слоями матрицы-кристалла.
(1.23)
где с - скорость света в вакууме, X - длина
отражения при нормальном падении света имеет вид К(Е) =--------------------=----Показатели
(п + \) +к
. Показатели
ЩЕ)=п{Е)+1к{Е)у связанного с комплексной диэлектрической проницаемостью Ег=№2.
35
Это позволяет считать ненарушенной трансляционную симметрию структуры в плоскости границы.
Для исследования туннелирования электронов в барьерных структурах широко используется метод матрицы рассеяния. По сравнению с методом матрицы перехода он имеет важное преимущество, поскольку у него нет ограничений на толщину слоев [47]. Далее описание этого метода следует работам [47,48].
Коэффициент прохождения электрона через гетсроструктуру выражается через амплитуды при волновых функциях налетающих и прошедших электронов, которые определяются из решения стационарного уравнения Шредингера для гетероструктуры
НЧ* = ЕУ
Рассмотрим гетсроструктуру, состоящую из N+1 слоев, разделенных N границами с координатами гп (/7=1,...,^. В общем случае эти слои могут иметь разный химический состав (рис. 1.4). Пусть имеется I разных но составу сред, обозначим через /„ - номер среды (/Л=1,...Д,). В модели с разрывным потенциалом гамильтониан гетероструктуры
представляется в виде суммы гамильтонианов отдельных слоев Нп
Н = 0(г, - г)Н, + ^ ©0„+, - + 0(г - )Яд,+| (1,24)
П-1
а волновая функция - в виде непрерывно переходящих друг в друга общих решений уравнения Шредингера отдельных слоев структуры
Т(р, г) = 0(г, - г)*'(р,г) + £©(г - г„)©(*„., - г)'У"' (р, г) + 0(г - )Ч"М (р,г)
П=I
где 0(г) - тэта-функция Хэвисайда: 0(г) = 0, если 2 < 0 и 0(г) = 1, если г £ 0.
А‘
В‘
А
В
N+1
N+1
ЯI
24 2$
Рис.1.4 Схема потенциала гетероструктуры. Стрелками показаны налетающие (А , В*** ’) и уходящие (В\ Л*+[) блоховские волны.
36
Вследствие сохранения трансляционной симметрии гстероструктуры в плоскости гетершраниц (х,у) проекция волнового вектора на плоскость границ Ал остается квантовым номером. В направлении оси роста структуры г трансляционная симметрия нарушается, проекция волнового вектора на эту ось А± не сохраняется.
Пусть при заданных значениях А и энергии электрона К найдены частные решения уравнения Шредингера во всех Ь средах гетероструктуры
(у,М = 1 М)
= ехр(г*:1/э)ехр(Л^((1)2)С/^ ^ {р,г)
(1.25)
где р - проекция радиус вектора г на плоскость границы (х,у), С/'я - периодические части
*а -е±г(м)
к
волновых функций, - проекции волнового вектора на ось г в /„-ой срсдс. Значком V
помечены “падающие” блоховские волны, распространяющиеся слева направо, им отвечают
волновые функции с 1тА[=0 и групповой скоростью
•п
V . =
дЕ
ки
\ дк1
> О
, а также
затухающие при г -> +оо волны, у которых 1тАх>0. Значком д помечены “отраженные” блоховские волны, распространяющиеся справа налево, им отвечают волновые функции с
41
О =
1тАх=0 и групповой скоростью и
< О
, а также затухающие при 2 —> -со
волны, у которых IшАх <0. Общее решение уравнения Шредингера в слое с номером п (;г„./ < г < г„) является линейной комбинацией 2М частных решений
м
(р, *)=I (р. *)+2 те (а *)
//=1
(1.26)
У=\
На гетерограницах г = гп волновая функция и ее нормальная к границе первая производная должны быть непрерывны
4''ЧаО = '*/яИ(р,2п)
&¥п(р,2)
дг
9¥"'(р,г)
дг
(1.27)
Подставляя в условия сшивания волновые функции (1.26), получаем систему алгебраических уравнений, которым ДОЛЖНЫ удовлетворять коэффициенты И
37
(1-28)
V-! /*-1 и-1 ^-1
+Ёл;^ =£*
у=1 02
м-\ &
п+1ЭЧГ(Л£)
V-! 02
+±К'™:'(Р’г)
п. <- &
Представим периодические части блоховских функций в виде разложения по базису из Л* плоских волн
(1-29)
где К - объем кристалла, вектор обратной решетки, е- орт вдоль оси г,
коэффициенты разложения, которые находятся из решения уравнения Шредингера для п — го слоя. Для нормальной к границе производной волновой функции получаем выражение
„ы (р, г) /(у; ^ с„ (к„ ( вчче/(».(я+в))
^ с ^'’МмУ^^И) +\ЬтС))С (1.30)
Запишем плоские волны в виде разложения
8т = 8а +8.
&а = (^т)||
-М М Чп
X -XX
т=1 а=1 5=1
Для заданного числа плоских волн -ЛҐ получается М различных проекций на плоскость границ - поверхностных волн (а- 1,...,А/). образующих ортонормированный базис
\\еі{‘м<ір = 5аа. (1.32)
5
где £ — площадь границы. Поверхностной волне с номером а отвечают (]а трехмерных плоских волн, имеющих проекцию . Таким образом, в базисе из плоских волн число
частных решений уравнений Шредингера равно числу поверхностных плоских волн М. С использованием (1.31) формулы (1.29,1.30) можем переписать в виде
ау(м)
(1.33)
5=1
38
1 М
.„У рп (2)еІ{*аР)
саг)=‘ї,с:м>І)(кім+8у'‘‘
5=1
Умножая (1.28) на комплексно сопряженную плоскую волну <АГ|+£т'І и интегрируя по поверхности границы, получаем
£ Ке,к-й1 (г„) + £ (*.)=£ Л?г&.а? (*.) + £ В^е^'ЦГ1 (*„) (1.34)
К“1 ^-1 У»1 /5—1
£ %е‘к“‘-р^(2п)+с (^„)=£ л"“еіЧ'''" /г:1 (г„)+£ яг1 (г„)
у=1 //-1
Введем вспомогательную матрицу
V-!
И-\
IV (руп
^п^\(р)У(и’) ''ЛУуХнУ Тогда уравнения (1.34) принимают вид
£ + £ діодів; = £ іГЧоОх.К- + £
У,к‘=1 Щі'-\ К.у'-І 1
£ «•(ч.ю.дг.х + £ = £ ^(г.їсі^к*1 + £
*,»»'■1 рУ=і
или в матричном виде
Я.Я-І
В"(г„)Ц(.2п)А" +01(г„)ЦВ" = ОГ'СОО^Л"" + £>Г'(г„)/Г К)В:
л+1.
(«♦1 , гчя+І,
ГЛ+І ,
><ИІ
(1.35)
>«+1
'А”' V» /в(яр ( А**'
У, ^2\ *^22 (^) > о«Н ^ )
р:(2„)Ц{2п)а" + = РГ(ОЦ"ЫА"" + РГ^Жі^Ж
где номером 1 помечены матрицы с падающими волнами (у), а номером 2 - матрицы с отраженными волнами (ц).
Уравнения (1.35) можно переписать в виде
П+|\
(1.36)
где ^п) — матрица перехода на п — ой границе с элементами
Л(»)=[^(г.)]’,[[^-[оі-У '[[/?-,]'у-[^у(1.37) При численных расчетах более устойчивым является метод матрицы рассеяния, в котором связываются амплитуды приходящих волн (А\в"х) с амплитудами уходящих волн
39