Исключительные гиперповерхностные особенности

Оглавление
1 Введение 3
2 Дополнения на алгебраических многообразиях 11
2.1 Основные понят я и определения...................... 11
2.2 Существование дополнений для расслоения на поверхности Дель-Пеццо ........................................... 14
3 Индуктивный метод изучения логканонических особенностей 21
3.1 Исключительные и слабо исключительные особенности . . 21
3.2 Существование индуктивного раздутия.................24
3.3 Критерии исключительности и слабой исключительности особенности . . . ; - йи-:./ ^7
3.4 Логкаиоиичсские рсшсч1ибс1:н,4...................... 29
4 Ограниченность исключительных квазиоднородных ги-
перповерхностных особенностей 32
4.1 Предварительные сведении и шперповерхностных особен-ностях..............................................32
4.2 Исключительные терминальные особенности.............36
4.3 Квазиоднородныо гиперповерхносгные особенности......38
4.4 Ограниченность исключительных гиперповерхносшых особенностей........................................40
5 Трехмерные логканонические гнперповерхностные особенности 49
1
6 Классификация трехмерных исключительных ских гиперноисрхностмых особенностей
каноничс-
70
2
Глава 1 Введение
Среди множества различных алгебраических, дифференциальных и топологических структур, которые можно рассматривать на алгебраическом многообразии, одно из центральных мест занимает поле рациональных функций. Это объясняется тех«, что оно, с одной стороны, является довольно 11 грубым"объектом, гак как инвариантно относительно перехода к открытому (в топологии Зарисского) подмножеству, н. с другой, заключает в себе весьма существенную информацию о самом многообразии. Изоморфизм полей функций двух многообразий индуцирует изоморфизм (в обычном, бирегулярном смысле) некоторых их открытых подмножеств, и наоборот. Такого сорта "не всюду определенные" отображен и я называются бирациональиыми изоморфн )мами и задают отношение эквивален тиостн в категории алгебраических многообразий. Раздел алгебраической геометрии, изучающий многообразия с точностью до бирационалыюй эквивалентности, называется бирацио-нал ьной геометрией.
Сейчас проблема бирационалыюй классификации алгебраических многообразий решена в размерностях 1 и 2. т.е. для гладких кривых и поверхностей. Две кривые С\ и С-1 являются бирационально эквивалент^ ными тогда и только тогда, когда их рода совпадают (д(С\) = 0(С2)). Для поверхностей ответ гораздо сложнее, см. например, |1|. |3). Н трехмерном случае зга проблема остается полностью открытой, кроме классификации неособых многообразий Фано [8). полученной В. А. Псковских в конце 70-х годов. Основная сложность с которой ту г же сталкиваются исследователи - это отсутствие теоремы о факторизации бирацио нальных отображений как в случае поверхностей. Напомним, что любое
3
бирациоиалыюс отображение между гладким поверхностями раскладывается в произведение раздутий и стягиваний (-1) кривых. На каждом шаге мы получаем опят»» гладкую поверхность. Для трехмерных многообразий это уже не так. В начале 80-х, Мори классифицировал экстремальные стягивания /: X -> У. где Л' трехмерное неособое проективное многообразие, дивизор -Кх /-обилен и р(Х/У) = 1 |21|. Многообразие У, к сожалению, уже можег иметь следующие особенности (х2 4- у2 4- г2 4- *п = 0,0) С (С*.0) п » 2,3 и &/Ъг( 1.1,1). Это подсказало отказаться от рассмотрения неособых многообразий. С этого момента началось бурное развитие этой идеи, которая привела к созданию лог программы минимальных моделей (ЛГШМ) (33). Основной се тог в следующем:
Теорема 1.0.1. Пусть (Х,Ох) - дививорпальпо АогтерлшноАЪпая тш-ра. Тогда существует такое бирациональное отображение (Л\ Ох) —♦ (У//Г, Оу). чию выполняется одно из следующих условий:
1. дивизор Ку 4- Оу - численно эффективен;
2. дивизор -(Ку + Оу\ обилен над Zr где У —> /? не бирациоиильпый м#1>фиэм. Если X лб^хлется ^-факториальным многообразием, то
р( у/г) = і.
Теперь применение ЛПММ к классификации трехмерных алічЧЗраи-ческих многообразий сразу приводит к следующей проблеме:
Проблема 1.0.2. Классифицировать экстремальные стягивания, возникающие в ЛПММ, т.е. стягивания /: (.V, Ох) —> (А7,Ц*»), где дивизор ~(КХ 4- Ох) /-обилен и р(Л:/Х') = I.
Одна из основных сложностей при решении данной проблемы это отсутствие геометрической классификации особенностей. Если посмотреть на этапы классификации гладких многообразий Фано |8|. то можно увидеть, что первым шагом является нахождение "хпроше-го"9лемеіпа ваитиканонической линейной системе \ — Кх\- Наличие "хорошею" элемента для экстремального стягивания уже позволяет увидеть структуру стягивания (пример 1.0.4). Поэтому основную подпроблему, которой и будет посвящена данная диссертация можно сформулировать следующим об|>азохі:
4
Проблема 1.0.3. Найти "хороішіГіІ'&іемент в кратной ангиканониче-ской линейной системе дія экстремального стягивания (особенности).
Пример 1.0.4. 1. Рассмотрим малое экстремальное стягивание трех-
мерного терминального многообразия. Тогда существование дивизора С дювал гвски ми особен носіями в линейной системе | - 2К\\ влечет существование флипа |9|.
2. Если экстремально«? сгягнванис? трехмерного терминального мноїт)-образия является расслоением на коники, то существование дивизора с дювалевскими особенностями в антиканонической линейной системе | — Кх| позволяет сразу получить полную локальную классификацию [24).
Сравнительно недавно В. ГЗ. Шокуров в работах |33|>[34| предложил путь решения проблемы 1.0.3. Он состоит из двух частей:
1. индуктивный переход от многообразий размерности и к многообразиям размерности п — 1;
2. явление исключительности.
Вкратце, первый этап заключается и следующем. Сначала надо найти такой дивизор 5 на Л’ или на некотором раздутии А’, что пара (5, ВіїГч:( /?х}) будет логтерминалмюй по Кавамате, и дивизор {К$ 4-0\її$(0х)) окажется обильным. Тогда "хороший "дивизор для этой пары продолжается до хорошего дивизора на все многообразие X.
Явление исключительности при изучения экстремальных стягиваний (особенностей) состоит «5 следующем наблюдении:
1. Если экстремальное стягивание не исключительное, то для нею можно найти "хороший"дивизор из линейной системы | - пКх| для небольших значений п. Например для двухмерных логклно-шгческих особенностей п Є {1,2} |33, 5.2), а в трехмерном случае п € {1,2,3,4,6} [34, 7.11.
2. Исключительные стягивания являются "ограниченными"и можно дать их подробное описание.
Регулярние% т.е. не исключительные эксгремальные стягивания (особенности вообще говоря, не поддаются детальной классификации уже
в размерности три (например, в работе |20] показано, что невозможно классифицировать нормальные формы всех трехмерных терминальных гиперповерхностных особенностей, т.с. самых простых трехмерных особенностей). С другой стороны наличие дополнения минимального индекса позволяет разбить экстремальные стягивания (особенности) на семейства с общими свойствами.
Исключительные стягивания (особенности) поддаются детальной классификации, хотя и могут иметь большой индекс дополняемости.
Встать«* |25| показано, что исключительность сохраняется при индуктивном пертходе и наоборот из исключительности пары (5,0'|А*(1!)х)) следует исключительность (Х/Я^Ох)- Тем самым стало возможным говорить об индуктивном методе классификации алгебраических многообразий.
Основная Задача диссертации заключается в дальнейшем развитии, совершенствовании индуктивного метода и сто применении к классификации трехмерных канонических особенностей.
Первый шаг при классификации особенностей состоит в нахождении дивизора 5. Для этого делается так называемое чисто мгтлрмин/ыь-ное ралдупте /: (К5) -» (X Э Р), где пара (У' 5) - чисто логтерми-нальна. Ехс(/) = 5 - неприводимый дивизор п дивизор (-5) является /-обильным. Данное определение совпадает с определением данным Ю.Г. Прохоровым для лоперминальных особенностей. Преимущество нового I>п|м*деления состоит и том, что оно остается верным ДЛЯ ЛОР-каионических особенноетей, т.е. позволяет применять индуктивный метод для всех особенностей алгебраических многообразий, которые имеет смысл рассматривать. Существование такого раз,ту п1м для произвольных лоперминальных особенностей доказывается в этой диссертации. Для строго лог канонических особенностей также был получен критерий существования чисто логаерминального раздутия при условии /(5) = Р.
Второй шаг заключается и изучении полученных лог многообразий Фаио (5,1>'|1Г.ч(0)) на (слабую) исключительность и поиску дополнения ми н и мал мюго и»I декса.
Основные результаты диссертации :
1. Доказано существование строгого 1-дополнения для трехмерного проективного многообразия с каноническими горе и штей новыми Особенностями, имеющего структуру расслоения на поверхности Дель-Меццо.
б
2. Доказано существование индуктивного раздутия (в частности, чисто лопгерминального раздутия} и критерий слабой исключительное! и особенности.
3. Построены примеры исключительных терминальных особенностей.
4. Доказана ограниченность исключительных к вазн однородных лог-камоничееких гнперповсрхпостных особенностей.
5. Классифицированы трехмерные исключительные логканонические гипсрповерхностные особенности при условии хорошей определенное! и Найдены соответствующие поверхности лог Дель-Пеццо и минимальный индекс дополняемости дія каждой из них.
Диссертация состоит из введения и 4 глав.
В первой главе в параграф' §2.1 собраны основные определения, факты о дополнениях на алгебраических многообразиях и показаны основные свойства дополнений. В параграфе §2.2 доказывается существование строгого 1-дополнения дли трехмерного проективного многообразия с каноническими горенштейновыми особенностями, имеющего структуру расслоении на поверхности Дель-Пеццо.
Теорема 1.0.5. Пусть X - трехмерное проективное .многообразие с канстичсскими горенштейноаыми особенностями, обладающее таким проективным морфизмом <р: X —> С на гладкую кривую С. что дивизор -1<х ф-обилеп.Тогда для достаточно овального дивизора // Є Ріс(С?) общий дивизор из линейной системи | - К\ + у*/7| приведен, неприво-дан и имеет не хуже чем дхмшмвекхи: особенности. И частности, по обращению присоединения 2Л.{ дивизор К\ строго 1 дополняем.
Вторая глава посвящена индуктивный методу и (слабо) исключительным особенностям. В параграфе §3.1 даны определения и Свойства (слабо) исключительных особенностей. В параграфе §3.2 доказывается существование индуктивного раздутия.
Теорема 1.0.6. Пусть X многообразие с логтерминальными особенностями и пусть D ф 0 - граница на X такая. что пара (X, D) является логканоничной, по не чисто логтермииальной, в част>юстп I) является Картье дивизором. Предпьхооким, что верна лог программа минимальных моделей. (При dim X < 3 это так). Тогда существует раздутие / : Y —► А' со следующими свойствами:
7
1. исключительное ми&нссство морфизма / состоит только ил (нікого неприводимого дивизора Е (Ехс(/) ~ Е).
2. Дивизор Ку + Е + Оу = /*(Д'а- + £>} логканонинен.
3. Дивизор Ку + Е + (1 — є) И у чисто логтерминси\ен и антиобилен над X для любых е > 0.
4- Если многообразие X О-факториалыю. то V тоже {£-факториально и р(У/Х) = 1.
Н параграфе §3.3 докаамиается критерий слабой исключительности особенности.
Теорема 1.0.7. Пусть (Л' 5 Р) - логтерминалъпая особенность и пусть /: (У', Е) —» X ее. чисто логтерминалъпое раздутие. Тогда следующие условия эквивалентны:
І. (X Э Р) не слабо исключ и тельная особенность;
3. Существует эффективный '^-дивизор Г) > ОіІЇе(О) такой, что -{Ку. + О) обильный дивизор и пора (Е, О) не логтермина,хъна по
Кавамагпе;
3. Существует эффективный %}-діюилор І) > І)іІГд(О) такой, что -{Ку + О) об/ыъниЛ дивизор и пара (Е, Г)) не логканонична.
В параграфе §3.4 изучаются строго .то» канонические особенности. Основной результат для них следующий:
Теорема 1.0.8. Пусть (Л* Э Р) - строго логкаионическая особенность. Тогда
1. Если существует чисто логтерминйгіьное раздутие, то оно единственно (с точностью до изоморфизма).
2. Особенность является исключительной тогда и только тогда, когда существует чисто логтерминальное раздутие / : (V', Е) -* {X Э Р) такое, что /(/>) = Р.
8
В третьей главе исследуются rit перпОверх постные особенности в любой размерности. Доказывается ограниченность числа типов исключительных гиперповерхности мх особенностей. В параграфе §4.1 собраны предварительные сведения и докалываются вспомогательные ухиержде-ния. В параграф«' §4.2, впервые построены примеры исключительных терминальных особенностей в размерности 4 (в размерности 3 их нет, см. пример 3.1.2).
Теорема 1.0.9. Пусть {{ = 0,0) = (.т?1 4- х? +
х$* 4- xj1 4- xj5 = 0,0) С (С\0) - четирехмер-
ние гиперпо&ерхностные особенности, где (0[,..., а*)
{2,3, И, 17,19), (2,3,11,17,23), (2,3,11,17,25), (2,3,11,17,29),
{2,5,7,9, II), (2,5,7,9,13). Тогда они терминальны и исключительны.
В параграфе §4.3 изучаются квазиодиородные гиперповерхностью особенности. Для них основной результат является следующим:
Теорема 1.0.10. Пусть (Х,0) С (С4,0} - .логка>юническая квазиодно-родная гиперповерхностная особенность с весами р = (pi,..-,p«), опре-дыенная многочленом /. Тогда
1. Если (-Y.0) не каноническая вне О. то р-раздутие является лог-каноническим, но не чисто логтермишмъныл% раздутием, за исключением случая, описанного в замечании 4-S-U- В частности, в обоих случаях (Л'. 0) не исключительная особенность.
2. Если (-V, 0) - каноническая вне О. то р-раздутие является чисто логтерминальным раздутием.
В параграфе §4.4 доказывается ограниченность квазиодно|>одных исключительных гиперповерхностиых особенностей.
Теорема 1.0.11. Пусть (ЛГ.0) С (С1+|,0) “ исключительная логкано-fтческая гиперповерхностная особенность тина 1, определенная многочленом /. Тогда существует едииствепнии р Є Лт* такой, что (/р, 0) -.логкаиопическал гиперповерхнестния особенность. Множество веюно-ров р конечно Лин всех таких ocoâctntoc.me.Ü размерности п. р-раздутие яв.лястся чисто .логтсрмина.*)>н\Ам рхіздутисм особенностей / и/р. Соответствующие исключительные множества и дифференты eoenathi-\от.
ÎJ