Алгебры общего положения

2
§1. Введение
Постановка задачи.
Цель этой диссертации — изучение алгебр общего положения. Интерес к этому объекту обусловлен несколькими причинами.
С точки зрения теории инвариантов все неприводимые представления полупростых групп распадаются на две неравноправных группы. Существует очень небольшое “конечное” число представлений, для которых работают методы теории инвариантов, для них возможно детальное описание пространства модулей, нахождение представителей орбит, стабилизаторов, и т.п (см. [10]). Для основной же массы неприводимых представлений методы теории инвариантов не дают существенной информации, хотя эти представления иногда параметризуют очень важные объекты (такие, например, как гиперповерхности данной “большой” степени в проективном пространстве). В этой связи представляет интерес изучение “пограничных” представлений, для которых методы теории инвариантов уже не работают, но еще возможно применение других методов, таких, например, как теория дискриминантов. Представления полной линейной группы реализуются как тензоры, и простейшей мерой их сложности является ранг. Тензоры ранга 2, т.е. линейные операторы, квадратичные формы и кососимметрические 2-формы представляют собой архетипический объект теории инвариантов, которая в этом случае, по существу, совпадает с линейной алгеброй. Однако уже уже тензоры ранга 3, т.е. кубические формы, кососимметрические 3-формы и модули Л2У* 0 V и52У*^)У антиком-мутативных и коммутативных алгебр с точки зрения теории инвариантов являются “дикими”. Так, для 3-форм теория инвариантов работает до п = 9, а для кубических форм, с некоторой натяжкой, до п = 4. В этой диссертации изучаются модули антикоммутативных и коммутативных алгебр. Получены результаты о соответствующих многообразиях модулей, о дискриминантах антикоммутативных и коммутативных алгебр, о геометрических свойствах алгебр общего положения, т.е. о таких свойствах, которые выполнены для всех алгебр, структурные константы которых принадлежат некоторому непустому открытому по Зарисскому подмножеству. Из результатов диссертации, относящихся непосредственно к теории инвариантов, нужно отметить
3
доказательство рациональности полей инвариантов представлений которое получается вычислением многообразия модулей четырехмерных антикоммутативных алгебр двумя способами, а также замкнутую формулу для степеней дискриминантов некоторых 8ЬП-модулей — насколько известно автору, это единственная известная замкнутая формула, за исключением случаев, известных классикам. Получены также некоторые результаты о геометрии представления изотропии параболических подгрупп, в частности доказана локально-транзитивность этого представления, найдены представители открытых орбит. Найдено эффективное достаточное условие существования нулей у глобальных сечений однородных векторных расслоений на флаговых многообразиях, полученные результаты применены к изучению изотропных подпространств кососимметрических и симметрических форм.
С точки зрения общей теории алгебраических систем алгебры общего положения интересны тем, что позволяют понять иерархию геометрических объектов, канонически сопоставляемых всякой алгебре. Такие понятия, как структура подалгебр и идеалов, инвариантные скалярные произведения, группа автоморфизмов, дифференцирования и обобщенные дифференцирования, имеют смысл для всех алгебр, независимо от того, выполняются ли в них какие-либо тождества. Изучение этих объектов в алгебрах общего положения помогает понять, как они могут быть устроены и в конкретных алгебрах, а общность положения позволяет получать наиболее прозрачные и универсальные доказательства. Отметим в этой связи полученную теорему о квазидифференцированиях полу простой коммутативной алгебры. Однако в большинстве случаев результаты об алгебрах общего положения совсем непохожи на соответствующие конструкции в конкретных алгебрах. Так, например, каноническая квартика трехмерной коммутативной алгебры в случае полупростой алгебры сводится к четырем прямым, а в случае алгебры общего положения является квартикой общего положения и ее геометрия тесно связана с алгебраическими свойствами соответствующей алгебры.
Поскольку в диссертации затронуто много различных тем, не представляется возможным дать мало-мальски полный обзор известных работ в этой области. Приведем только те работы, которые непосред-
4
ственно связаны с алгебрами общего положения в том контексте, в котором они появляются в диссертации.
В работе [36] введено понятие алгебры общего положения, которое совпадает с нашим. В этой работе лгебры общего положения нужны как примеры алгебр, имеющих сложную структуру, но не имеющие автоморфизмов, что позволяет строить контрпримеры к некоторым гипотезам о сравнении алгебры инвариантов и алгебры следов произвольных алгебр.
В работе [2] построено многообразие модулей двумерных алгебр методами геометрической теории инвариантов. Самым сильным нашим результатом в этом направлении является описание рационального многообразия модулей четырехмерных антикоммутативных алгебр.
В работе [3] дано строгое обоснование классической теории инвариантов кубических формы от четырех переменных, при этом основным инструментом является сечение Сильвестра. При изучении 4-мерных антикоммутативных алгебр обнаруживается две корреляции с этими результатами: в этом модуле есть аналог сечения Сильвестра, кроме того, геометрия алгебр общего положения связана с геометрией ассоциированной кубической поверхности. С этой темой также связана работа [22].
В работе [15] найдена стратификация Луны четырехмерных антикоммутативных алгебр. Мы строим аналогичную стратификацию в модуле трехмерных коммутативных алгебр.
В работе [30] найдена замечательная связь геометрии трехмерных коммутативных алгебр и ассоциированных квартик. Мы передоказы-ваем эту теорему, используя общую технику “аффиннизации”.
Структура диссертации.
Вторая глава.
Вторая глава является подготовительной. Здесь мы изучаем схемы нулей глобальных сечений однородных векторных расслоении на флаговых многообразиях и геометрию представления изотропии параболических подгрупп.
Введем некоторые обозначения. Пусть С — связная редуктивная
5
группа, Т С G — максимальный тор, В Э Т — борелевская подгруппа, 1Е?_ D Т — противоположная борелевская подгруппа, так что В П В_ = Т, Р D В_ — некоторая параболическая подгруппа, G/Р — флаговое многообразие, Х(Т) — решетка характеров Т, Р+ С Х(Г) — полугруппа доминантных весов (относительно В), X 6 Р+ — доминантный вес. U\ — неприводимый P-модуль со старшим весом Л, Ух — неприводимый G-модуль со старшим весом Л, La = G х р JJ\ — однородное векторное расслоение над G/Р со слоем U\. Заметим, что G-модуль H°(G/P, La) глобальных сечений расслоения La изоморфен модулю У\-
Лемма 2.1.1. Пусть $ € V\ — глобальное сечение общего положения. Тогда
(1) При dim Ра > dim G/Р схема нулей Zs пуста.
(2) Пусть dim Ра £ dim G/Р. Тогда либо схема нулей Z8 пуста, либо s пересекает нулевое сечение La трансверсально и Zs — гладкое несмешанное подмногообразие коразмерности dim JJ\.
(3) Пусть dim Ра = dim G/P. Тогда геометрическое число точек в Zs равно старшему классу Чженя расслоения La .
Из леммы следует, что условие dim U\ < dim G/Р является необходимым условием существования нулей у глобального сечения общего положения. Однако, как показывают простые примеры (см. §2.2), это условие не является достаточным. С точки зрения алгебраической геометрии, необходимым и достаточным условием отсутствия нулей является равенство нулю старшего класса Чженя расслоения L, однако это условие является трудно проверяемым, и поэтому мало применимо. Для дальнейшего анализа мы применяем другие соображения, основанные на изучении геометрии представления изотропии параболических подгрупп. В диссертации найдено несколько легко проверяемых достаточных условий существования нулей у глобальных сечений однородных векторных расслоений. Самым сильным результатом в этом направлении является следующая теорема. Предположим, что унипотентный радикал Р абелев (в соответствующий класс флаговых многообразий попадают самые важные многообразия, например грассманианы). Пусть pn = ULfi — орбитное разложение нильпотентного радикала относи-
6
тельно подгруппы Леви (в этом случае всегда имеется конечное число орбит, представители этих орбит можно описать явно, см. [34]), пусть (е*, hj, fi) — яІ2-тройка такая, что h{ Є І (явный вид hi также известен).
Теорема 2.1.4. Пусть при всех і
dim< codimQ/pLfi.
Тогда глобальное сечение расслоения L общего положения имеет нули.
Следующий результат носит “фольклорный” характер — он известен специалистам (ср. [33]), но нам не известно опубликованных доказательств. Хорошо известно, что всякая параболическая подгруппа Р имеет открытую орбиту в нильпотентном радикале рп, [38]. Мы доказываем, что борелевская подгруппа В (и тем более Р) имеет открытую орбиту и в двойственном модуле g/р. Поскольку фактормодуль локально транзитивного модуля, очевидно, локально транзитивен, для этого достаточно будет доказать существование открытой 5-орбиты в g/b. Вместе с известным результатом о существование открытой В-орбиты в Ьп это показывает, что для любого В-подмодуля М представления изотропии g/b или коизотропии Ьп, двойственный модуль М* локально транзитивен. Интересно, что сам В-модуль М может быть при этом не локально-транзитивным, как показывают простые примеры.
Чтобы сформулировать наш результат, нам понадобятся следующие обозначения. Пусть Go — связная полупростая алгебраическая группа, до — ее алгебра Ли, зафиксируем картаыовскую подалгебру to и бо-релевскую подалгебру Ьо, пусть Во — соответствующая борелевская подгруппа, До — система корней до, Д^ — система положительных корней д0, По — система простых корней д0. Пусть до = ©д^ — разложение в прямую сумму простых алгебр Ли. Зафиксируем в каждой до корневой вектор Єо, соответствующий младшему корню аг0. Рассмотрим все простые корни до, ортогональные каждому aj,, пусть g і С go — полупростая часть подалгебры Леви параболической подалгебры, соответствующей этим простым корням. Повторим описанную процедуру для gi, получая Ьі, Вь Ді, Д+, Пі (эти данные выбираются согласованно с соответствующими данными go), gj, е\, а\, дг, и т.д. Тогда имеет место следующая теорема:
7
Теорема 2.1.5. Рассмотрим точку т0 = Тогда хо (по мо-
дулю Ьо) является представителем открытой Во-орбиты в 0о/Ьо-
Далее в работе приведены представители открытых орбит представления изотропии борелевских подгрупп для всех простых алгебраических групп.
Мы завершаем вторую главу примером использования теоремы 2.1.4. Рассмотрим векторное пространство V = Сп. Пусть ъи — симметрическая или кососимметрическая форма степени р, т.е. ги 6 или
ъи 6 АРУ*. Подпространство С/ С V назовем изотропным относительно ъи, если ги|и = 0. Тогда имеет место следующая теорема:
Теорема 2.2.1. Пусть ю 6 (соотв. ъи € АРУ*) — форма об-
щего положения. Тогда У содержит к-мерное изотропное подпространство тогда и только тогда, когда
/р + к - 1ч ,к\
п >-------^----1_ ^ соотв. п > 4- к, (1)
К К
кроме следующих исключений:
1) Если ю € £2 У* или ъи 6 А2 У* общего положения, то У содержит к-мерное изотропное подпространство тогда и только тогда, когда п > 2 к.
2) Если ги 6 Лп—2 V* общего положения, п четно, то У содержит к-мерное изотропное подпространство тогда и только тогда, когда к < гг — 2.
3) Если ю 6 А3У* общего положения, п = 7, то У содержит к-мерное изотропное подпространство тогда и только тогда, когда к < 4.
Третья глава.
В этой главе мы переходим к изучению основного объекта диссертации — алгебр общего положения. Мы начнем с изучения конфигурации подалгебр в антикоммутативных алгебрах общего положения.
Пусть V = С71. Зафиксируем целое к, 1 < к < п — 1. Рассмотрим векторное пространство Ап,к = АкУ* <£> У к-линейных антикоммутативных отображений из У в У. Мы будем отождествлять точки Ап?к с соответствующими алгебрами, т.е. А € Ап,к всегда обозначает V со структурой ^-местной антикоммутативной алгебры.
8
Как GLn-модуль Ап,к есть сумма двух неприводимых:
•Ап,к = ^n,fc Ф Апук> (1)
Здесь Дгц* изоморфен Afc-1V* — каждой (к - 1) форме ш отвечает алгебра с умножением
fc
,Vfc] = ^(-1)<-Iw(wi,... ,Vk)Vi.
i=1
Заметим, что всякое линейное подпространство такой алгебры является подалгеброй, поэтому структура подалгебр алгебры А 6 Ап,к совпадает со структурой подалгебр алгебры А0 (нулевой компоненты А) у где А А0 — GLn-эквивариантный проектор на первое слагаемое в (1). Алгебры из А„ к будем называть алгебрами с нулевым следом, поскольку А € к тогда и только тогда, когда (к — 1) форма Тг[г?1,... •] равна нулю.
Теорема 3.1.1. Пусть А Е Ап,к — алгебра общего положения.
(1) При m < к всякое m-мерное подпространство в А является подалгеброй.
(2) А не содержит m-мерных подалгебр при к + 1 < т < п.
(3) к-мерные подалгебры образуют гладкое неприводимое (к —1)(п—камерное подмногообразие в грассманиане Gr(k, А).
(4) А содержит хотя бы одну (к + 1)-мерную подалгебру.
Далее мы уточняем эту теорему, используя исчисление Шуберта для вычисления числа (к + 1}-мерных подалгебр к-местных n-мерных анти-комму тативных алгебр общего положения.
Теорема 3.2.1. Пусть А Е Ап,к — алгебра общего положения. Тогда
(1) Число (к + 1)-мерных подалгебр конечно и равно
Г (-1)М(Л14*)|(Л,+*-г)!-Л>*1|(|Л|-и),
n—fc— 1>Ш +
7i—k—
A*i<Ai,... ,/ifc+i<Afc+i
i,j=1,... ,fc+l