РОЗДІЛ 2
КВАНТОВО-МЕХАНІЧНА ЗАДАЧА ДВОХ КУЛОНІВСЬКИХ ЦЕНТРІВ ДЛЯ РІВНЯННЯ ДІРАКА
2.1. Вступні зауваження
У багатьох фізичних задачах, приклади яких будуть розглянуті нижче, необхідно
знати асимптотику двоцентрової хвильової функції діраківського електрона при
великих між’ядерних відстанях R. В залежності від поставленої мети для побудови
таких асимптотик можна використовувати різні форми розкладів і методи їх
отримання. Так, в застосуванні до нерелятивістської двоцентрової задачі добре
зарекомендували себе метод еталонних рівнянь [122-124], метод квазікласичних
наближень [12], різні схеми теорії збурень [125], тощо. Нажаль, всі ці методи у
своєму первинному вигляді мають надто вузьку область застосовності і не можуть
бути безпосередньо використані у випадку релятивістських двоцентрових задач,
оскільки повністю ґрунтуються на можливості відокремлення змінних у вихідному
тривимірному хвильовому рівнянні і зведенні його розв’язання до одновимірних
диференціальних крайових задач. Тому незаперечний інтерес представляють спроби
відшукання і розробки нових методів розв’язування релятивістських тривимірних
задач з невідокремлюваними змінними.
Основна мета цього розділу полягає в розробці нового підходу до математичних
проблем, що виникають при розв’язанні релятивістської задачі двох кулонівських
центрів у рамках рівняння Дірака. Наведемо спочатку евристичні міркування, які
лежать в основі використовуваного тут методу побудови асимптотики електронних
хвильових функцій.
Нерідко трапляється, коли для розв’язання квантово-механічної задачі достатньо
знайти хвильову функцію не у всьому конфігураційному просторі, а тільки в околі
деякого многовиду М меншої розмірності, де вона в основному зосереджується.
Стани, що описуються такими хвильовими функціями, називаються “локалізованими”.
Гамільтоніан в цьому випадку природно розкласти з точністю до квадратичних
членів за координатами, перпендикулярними до многовиду М, в околі якого вихідне
рівняння Шредінгера чи Дірака зводиться до більш простого, що допускає точне
розв’язання. Наближення, в якому розв’язок квантово-механічної задачі у всьому
конфігураційному просторі можна звести до її розв’язання на многовиді М меншої
розмірності, називають параксіальним [126].
Як приклад локалізованих станів наведемо задачу про обмінну взаємодію двох
атомних частинок на великих між’ядерних відстанях (М – пряма), яка приводить до
розщеплення квазімолекулярних термів в точках квазіперетину [127]. Другий
приклад локалізованого стану – процес тунельної іонізації водневоподібного
атома (іона) в досить слабкому постійному електричному полі. В згаданих задачах
потік імовірності в підбар’єрній області локалізується у квазікласичному
наближенні в околі найбільш ймовірного шляху тунелювання електрона. Ця
обставина дає можливість достатньо точної апроксимації тривимірної хвильової
функції в околі вказаного шляху за допомогою методу параболічного рівняння
[128], започаткованого в працях М.А. Леонтовича та В.А. Фока [129].
Крім згаданих вище, методом параболічного рівняння розв’язано задачі про
тунельний розпад неводневоподібного атома в неоднорідному зовнішньому полі
[130, 131] і штарк ефект для двоатомної молекули в сильному електричному полі
[132], а також обчислено амплітуди переходів для колінеарної хімічної реакції
обміну [133].
Велика кількість праць (див., наприклад, [36, 134, 135] і наявні там посилання)
присвячена дослідженню методом параболічного рівняння високозбуджених
(рідбергівських) станів атома водню у сильному магнітному полі, локалізованому
поблизу осі симетрії потенціалу. Отримано аналітичні вирази для хвильових
функцій, правила квантування, а також значення дипольних матричних елементів
переходів як із низьколежачих, так і з близьколежачих високозбуджених станів.
Нижче ми зупинимося на квазікласичних локалізованих станах, зосереджених
поблизу деякої класичної траєкторії, що описують взаємодію електрона з одним чи
двома атомними залишками. Математичну теорію таких станів (теорія гауссових
пучків) розвинуто в [128, 136].
Інтерес до вивчення локалізованих станів в атомній фізиці викликаний перш за
все тим, що їх аналіз часто вдається виконати до кінця аналітично. Такий підхід
є одним із небагатьох, що дозволяють вивчити системи з невідокремлюваними
змінними, не залучаючи теорію збурень, адіабатичне наближення або громіздкі
числові методи.
Можна очікувати, що ідея про локалізацію потоку в околі найбільш ймовірного
шляху тунелювання буде конструктивною (плідною) і в релятивістській задачі двох
кулонівських центрів , де точного розв’язку рівняння Дірака вже не існує.
Основні аналітичні прийоми пропонованого нами методу побудови асимптотик
хвильових функцій полягають в наступному.
1. Зведення рівняння Дірака з довільним аксіально-симетричним потенціалом до
еквівалентного, більш звичного рівняння другого порядку, яке за формою нагадує
рівняння Шредінгера.
2. Розклад потенціалу в циліндричні системі координат () в параксіальному
наближенні в околі осі симетрії з точністю до квадратичних по членів: . При
цьому система зачеплених диференціальних рівнянь першого порядку в частинних
похідних для ВКБ-поправок розв’язується (рекурентно) в квадратурах. Отримані в
такий спосіб квазікласичні розв’язки рівняння Дірака в підбар’єрній області
зшиваються потім з асимптотиками атомних хвильових функцій.
3. Представлення шуканих величин (розщеплення термів і їх зсувів, тощо) у
вигляді поверхневого інтегралу (в конфігураційному просторі задачі) з подальшим
його обчисленням за допомогою багатовимірних методів перевалу чи стаціонарної
фази.
Це дозволяє отримати в явному вигляді хвильову функцію діраківського електрона
в підбар’єрній області,
- Київ+380960830922