РАЗДЕЛ II.
НЕОДНОРОДНЫЙ ГИДРОАКУСТИЧЕСКИЙ ВОЛНОВОД С ЛОКАЛЬНЫМИ НЕОДНОРОДНОСТЯМИ И ЖЕСТКИМ ДНОМ
2.1. Построение вертикальных собственных функций для неоднородного гидроакустического волновода постоянной глубины.
Задача о распространении акустических волн, порожденных гармоническим подводным источником, находящимся в геофизическом волноводе, является одной из фундаментальных в гидроакустике. Одним из факторов, влияющих на картину возникающих звуковых полей, является профиль скорости звука, рассчитываемый из экспериментальных данных температуры и солености. Входящий в уравнение Гельмгольца (1.11), профиль скорости звука с = с(z) определяет в первом приближении характер неоднородности морской среды.
Так как точные решения краевой задачи (1.14) существуют лишь для немногих видов с(z) [11], реальное распределение профиля скорости звука с(z) заменяется приближенным, которое позволяет получить численно-аналитическое решение краевой задачи (1.14). Пусть профиль скорости звука с(z) определен системой опорных точек c(zi) = ci. Тогда отрезок z?[0 ; h] разбивается на N частей системой точек , на каждой из которых профиль скорости звука допускает аппроксимацию , обеспечивающую существование аналитических решений дифференциального уравнения (1.14). Линейно-независимые решения уравнения (1.14) для аппроксимации вида:
, (2.1)
при bk ? 0 выражаются через функции Эйри:
(2.2)
при bk = 0 через показательную и тригонометрические функции:
(2.3)
Таким образом, на отрезке аппроксимации профиля скорости звука общее решение дифференциального уравнения (1.14) имеет вид:
. (2.4)
Строим собственные функции краевой задачи (1.14) непрерывными вместе со своими первыми производными, что обеспечивает непрерывность амплитуды потенциала скорости и ее нормальной производной на концах отрезков аппроксимации. Тогда, краевые условия (1.14) для примут следующий вид:
(2.5)
Используя представление (2.2)-(2.4) получаем из условий (2.5) следующую однородную систему линейных алгебраических уравнений относительно неизвестных констант из соотношения (2.4):
(2.6)
Необходимым условием существования для системы (2.6) нетривиального решения является равенство нулю ее определителя, что дает дисперсионное уравнение для определения собственных чисел {?n}:
(2.7)
При небольших вариациях скорости звука, собственные числа оказываются близкими к соответствующим собственным числам однородной краевой задачи , которые можно принять в качестве начальных приближений при итерационном алгоритме решения уравнения (2.7).
После определения собственных чисел, из однородной системы (2.6) находятся соответствующие им ненулевые решения , позволяющие построить собственные функции задачи (1.14).
Построенная система собственных функций краевой задачи (1.14) является полной и ортогональной в функциональном пространстве L2[0; h] в силу того, что данная краевая задача является задачей Штурма-Лиувилля [46].
Тогда, пользуясь полнотой системы функций , можно представить потенциал скорости в виде суммы нормальных мод [100]:
, (2.8)
где ? произвольная постоянная.
После подстановки выражения (2.8) в неоднородное уравнение Гельмгольца (1.11) с учетом соотношения
,
получим функциональное равенство:
Используя ортогональность собственных функций на отрезке [0; h], определяем следующим образом:
.
В результате получаем
. (2.9)
Аналогично однородному случаю, ряд (2.9) является экспоненциально сходящимся, так как имеется лишь конечное число чисто вещественных собственных чисел и бесконечное число чисто мнимых, которые соответствуют экспоненциально затухающим с расстоянием модам:
2.2. Горизонтально - неоднородная гидроакустическая трасса с радиальной симметрией.
Общая модель поля скорости звука в геофизических волноводах может быть записана в виде:
с(x, t) = с0(z) + с1(x),
где x - пространственные координаты; с0(z) - рефракционный член; с1(x) - поправка к скорости звука. Обычно, распределение скорости звука мало изменяется с расстоянием, практически это эквивалентно такому малому возмущению звукового поля, что им можно пренебречь [6]. При изменениях физико-химических свойств части среды волновода (в частности, нагреве, охлаждении) возрастает роль влияния с1(x) на процесс распространения акустических волн в волноводе. Поэтому актуальным является вопрос исследования акустических характеристик среды, свойства которой зависят не только от глубины, но и от расстояния.
Для горизонтально-неоднородных задач существует большое количество численных моделей, реализующих различные алгоритмы: split step algorithm, метод конечных разностей, метод конечных элементов и другие (их обзор дается в [6]). Численно-аналитические методы решения данных задач находятся в процессе становления.
Рис. 2.1. Гидроакустический волновод с радиальной симметрией из N + 2 горизонтально-однородных слоев.
Построим численно-аналитическое решение задачи о распространении звуковых волн, создаваемых точечным гармоническим источником, в гидроакустическом волноводе с горизонтально-неоднородной трассой распространения звука, имеющей радиальную симметрию. Расположим начало цилиндрической системы координат на поверхности волновода над источником звука, ось Oz направлена ко дну. Гидроакустический волновод имеет радиальную симметрию и ограничен свободной поверхностью и абсолютно-жестким дном; глубина волновода h считается постоянной.
Предполагается возможность разделения области волновода на N + 2 интервала цилиндрической формы, на которых задаются плотность ?j и скорость звука cj(z) (рис. 2.1).
На каждом j-ом интервале амплитуда потенциала скорости - решение неоднородного уравнения Гельмгольца (1.11) со следующими граничными условиями:
. (2.10)
Из условий непрерывнос