Ви є тут

Акустичні поля в неканонічних областях

Автор: 
Маципура Володимир Тимофійович
Тип роботи: 
Дис. докт. наук
Рік: 
2004
Артикул:
0504U000124
129 грн
Додати в кошик

Вміст

РАЗДЕЛ 2
РАЗВИТИЕ МЕТОДА ЧАСТИЧНЫХ ОБЛАСТЕЙ
ПРИ РЕШЕНИИ ЗАДАЧ ИЗЛУЧЕНИЯ И РАССЕЯНИЯ ЗВУКА
Проблемы излучения и рассеяния звука постоянно находятся в центре внимания
акустиков. Точное описание звуковых полей, излучаемых или рассеиваемых
объектами сложной формы, представляет собой довольно сложную задачу.
Возникающие при этом трудности стимулировали создание многих аналитических и
численных методов решения соответствующих граничных задач.
К сожалению, довольно часто применяемая стратегия состоит в том, чтобы взять
модель и, не задумываясь об алгоритмах, воспользоваться каким-либо стандартным
пакетом компьютерных программ. Такие действия очень редко приводят к успеху и
почти никогда не дают понимания изучаемых процессов, поскольку процедура
анализа и обобщения результатов оказывается излишне сложной. А ведь понимание
является одной из главных целей исследования.
Развитие вычислительной техники в последние несколько десятилетий несомненно
оказало большое влияние на формирование новых методов в математической физике.
Одним из интересных результатов этого процесса разработки новых методов есть
понимание того, что ориентация лишь на рост производительности вычислительных
машин является неоправданной (об этом, более детально, говорилось во введении и
первом разделе).
Отмеченное обстоятельство, по-видимому, является основным стимулом к развитию
различного типа численно-аналитических методов в математической физике. Речь
идет о предварительной аналитической работе при рассмотрении граничной задачи,
позволяющей уменьшить размерность задачи, принять во внимание некоторые
предельные свойства искомого решения, создать основы для формирования
устойчивого алгоритма вычислений и так далее. По сути можно говорить о
возникновении и развитии новой технологии в научных исследованиях. Эта
тенденция характерна практически для всех прикладных направлений математической
физики.
Сделаем важное замечание относительно построения математической модели
исследуемого явления. Можно сказать, что основным достижением и основной целью
исследований при решении сложных задач является построение иерархии упрощенных
моделей. При этом должно быть установлено, какой уровень модели разумно
использовать в тех или иных случаях. Важно подчеркнуть два принципиальных
факта: первый – можно строить простые математические модели, которые являются
глубокими и содержательными; второй – с их помощью, не усложняя математическое
описание, оказывается возможным предсказание явлений, происходящих в реальных
системах.
В волновых акустических задачах проблема построения математической модели
является очень важной. Это моделирование акустической среды, описание процесса
взаимодействия звуковых волн с реальными телами, моделирование геометрии и
свойств реальных излучателей и рассеивателей звука и так далее.
Анализ многих акустических ситуаций возможно осуществить в рамках модели,
приводящей к решению граничных задач для уравнения Гельмгольца. Для самого
уравнения Гельмгольца построены частные решения в различных системах координат.
Для таких случаев, когда форма излучающего или рассеивающего тела такова, что
его граница совпадает с одной из координатных поверхностей, накоплен огромный
материал по решению граничных задач. Такие области называют каноническими, а
решения задач излучения и рассеяния звука – цилиндром, сферой и другими
канонических телами и составляют, очевидно, иерархию основных (базовых)
математических моделей в теории излучения и рассеяния звука.
С этих позиций общую направленность данной работы можно определить как
дальнейшее построение базовых математических моделей акустических полей, но уже
в неканонических областях. В своем развитии метод частичных областей создает
такие возможности.
В методе частичных областей удается наиболее последовательно провести
использование наборов частных решений волновых и других типов уравнений в
канонических координатных системах для построения аналитических решений в
неканонических областях. Проделанная аналитическая работа, при дальнейшем
использовании вычислительной техники, позволяет построить эффективные алгоритмы
решения задач излучения и рассеяния в сложных (неканонических) областях [48,
49].
В подразделе 2.1, на примере задачи о распространении звука в составном
волноводе, показаны основные положения метода частичных областей; в подразделе
2.2, в продолжении решения задачи о составном волноводе, анализируются
возможности учета условия на ребре [50]. Далее рассмотрены основные направления
развития метода частичных областей, а именно, в подразделе 2.3 – использование
различных систем координат [43, 84], а в подразделе 2.4 – дополнение граничных
условий на нефизические участки граничной поверхности [84, 87, 88].
2.1. Основные положения метода частичных областей
Суть метода частичных областей раскрывается тремя характерными для него
элементами:
* метод частичных областей используют при решении граничных задач для областей,
не допускающих построения решения методом непосредственного разделения
переменных. Поэтому вся область существования звукового поля разбивается на
отдельные области;
* в каждой области, используя метод разделения переменных, проводят построение
частных решений;
* наборам частных решений придают специальный, для рассматриваемой задачи, вид,
позволяющий удовлетворить граничным условиям. Такие наборы, в случае конечных
областей, содержат бесконечное число произвольных постоянных. С определенным
выбором значений этих постоянных и связана возможность выполнения граничных
условий.
Основные положения метода частичных областей рассмотрим на примере задачи о
расп