ГЛАВА 2
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОПИСАНИЕ КИНЕМАТИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ ПРОСТРАНСТВЕННЫХ СТРУКТУРНЫХ ГРУПП И МЕХАНИЗМОВ
В данной работе силовой расчет пространственных механизмов проводится в соответствии с принципом Ассура, то есть по структурным группам, обобщенном на пространственные механизмы. В этом случае возможно создание конечного числа операторных функций для расчета конечного числа структурных групп, объединенных общим признаком, например, общим числом избыточных связей. Кроме того, и что наиболее существенно, при проведении силовых расчетов пространственных многоконтурных механизмов по указанной методике, исключается необходимость составления и совместного решения уравнений равновесия для нескольких контуров.
В данной работе ограничимся рассмотрением силовых расчетов механизмов, образованных последовательным присоединением пространственных структурных групп содержащих простые кинематические цепи, так как их использование наиболее распространено при проектировании современной техники [5]. В этом случае рассчитываемая структурная группа всегда будет входить в один контур, а реакции в кинематической паре, которой она присоединяется к ведущему контуру, будут рассматриваться как приложенная к ведомому контуру внешняя нагрузка.
Для обеспечения возможности разработки общего математического аппарата для силовых расчетов пространственных структурных групп различных видов с общим числом избыточных связей, и дальнейшей реализации таких расчетов в виде операторных функций, необходимо привести математическое описание их кинематических цепей к единой структуре. Это позволит существенно упростить программную реализацию операторных функций и свести их число к минимуму.
2.1. Формализация структуры кинематических цепей пространственных структурных групп
Построение формализованных алгоритмов силовых расчетов возможно для структурных групп формализованной (единой) структуры. Единую структуру различных видов пространственных групп, с общим числом избыточных связей, можно получить, например, заменяя кинематическую цепь, содержащую кинематические пары различных классов, кинематической цепью, все пары которой принадлежат одному классу. При этом, полученная цепь должна обеспечивать прежнюю степень подвижности и закон движения исходной кинематической цепи.
Преобразование рациональных структурных групп. Из табл. 1.2 видно, что общее количество видов рациональных структурных групп (они принадлежат нулевому семейству) равно 3145, из них: однозвенных - 40, двухзвенных - 324, трехзвенных - 432, четырехзвенных - 1620, пятизвенных - 729. Максимальное число звеньев рациональных пространственных структурных групп равно пяти, так как при большем количестве звеньев не выполняется условие существования структурной группы, то есть равенство нулю степени подвижности ее кинематической цепи. Причем, кинематические цепи пятизвенных структурных групп содержат кинематические пары только 5-го класса и одна структурная группа отличается от другой лишь видами относительных движений звеньев, допускаемых их кинематическими парами. Таким образом, все пятизвенные структурные группы обладают единой структурой и это обеспечивает теоретическую возможность в дальнейшем разработать формализованный математический аппарат для силовых расчетов всех видов таких структурных групп, а так же их программную реализацию в виде операторных функций. Кроме того, соответствующим образом преобразуя кинематические цепи пятизвенных структурных групп, можно получить любую (из приведенных в табл. 1.2) пространственную структурной группу нулевого семейства.
Рис. 2.1. Замена кинематических пар в рациональных пространственных структурных группах
Как видно из рис. 2.1, любая структурной группа нулевого семейства, получается в результате замены кинематических пар 5-го класса на кинематические пары, класс которых выше, одновременно уменьшая число звеньев. Однако в нашем случае, удобно не уменьшать количество звеньев, а полагать их длину равную нулю. Таким образом, все полученные кинематические цепи будут иметь пять звеньев (с учетом звеньев с нулевой длиной) и содержать только пары 5-го класса, то есть обладать единой структурой. Кинематическая эквивалентность полученных цепей обеспечивается соответствующим выбором направлений для кинематических осей их пар 5-го класса и видов допускаемых (этими парами) относительных движений звеньев.
Преобразование структурных групп, имеющих избыточные связи. Принципы приведения кинематических цепей различных структурных групп, имеющих одну, две и три избыточные связи (первое, второе и третье семейства в табл. 1.2) к единой структуре аналогичны описанным для рациональных групп. Для них так же применяется замена кинематических пар и обнуление длины высвобождаемых при этом звеньев.
Рис. 2.2. Замена кинематических пар в пространственных структурных группах с одной избыточной связью
Замена кинематических пар для структурных групп, имеющих одну избыточную связь, приведена на рис. 2.2. Из которого видно, что любая пространственная структурная группа с одной избыточной связью получается в результате преобразований четырехзвенных групп первого семейства. Таким образом, полученные кинематические цепи будут иметь четыре звена (с учетом звеньев с нулевой длиной), то есть , и содержать только пары 5-го класса.
Аналогично можно показать, что для пространственных структурных групп с двумя избыточными связями (см. рис. 2.3) число звеньев исходной группы равно трем, то есть , для пространственных структурных групп с тремя избыточными связями (см. рис. 2.4) - двум, то есть .
Рис. 2.3. Замена кинематических пар в структурных группах с двумя избыточными связямиРис. 2.4. Замена кинематических пар в структурных группах с тремя избыточными связями
2.2. Математическое описание кинематических цепей пространственных структурных групп
При разработке общего математического аппарата силовых расчетов пространственных структурных групп, для математического описания их кинематических цепей, во
- Київ+380960830922