РОЗДІЛ 2
РЕОЛОГІЯ РОЗВЕДЕНИХ СУСПЕНЗІЙ НЕДЕФОРМІВНИХ ВИДОВЖЕНИХ ЧАСТИНОК З АНІЗОТРОПНИМ ДИСПЕРСІЙНИМ СЕРЕДОВИЩЕМ
2.0. Реологічна модель анізотропного дисперсійного середовища
Як уже було сказано у першій главі цієї роботи, найпростішою феноменологічною моделлю орієнтованої рідини з недеформівною мікроструктурою є проста анізотропна рідина Еріксена [60] (1.7), (1.8). Для опису поведінки мікроструктури в цій моделі використовується одиничний вектор, який називається директором і характеризує орієнтацію частинок рідини у процесі течії. Надалі директор анізотропного дисперсійного середовища позначається через , а позначення залишається для вектора орієнтації зваженої частинки суспензії.
Тензор напружень у простій анізотропній рідині Еріксена є функцією тензора швидкостей деформації і директора :
, (2.1)
де , , , - феноменологічні сталі.
Орієнтація директора визначається течією і у загальному випадку залежить від градієнта швидкості течії рідини. Якщо знехтувати інерцією елементів мікроструктури анізотропної рідини, то у лінійному наближенні по градієнту швидкості визначальне рівняння для директора буде мати вигляд
, (2.2)
де - яуманівська похідна по часу;
- тензор вихора швидкості;
- феноменологічна стала.
Зрозуміло, що орієнтація директора істотно залежить від величини безрозмірної сталої . В градієнтних течіях при директор періодично змінюється з часом і його орієнтація залежить від градієнтів швидкості течії.
Предметом дослідження у цій роботі є суспензії з анізотропним дисперсійним середовищем, для якого і напруження у стані спокою співпадає з ізотропним гідростатичним тиском, тобто .
При директор у стаціонарних течіях набуває стаціонарної орієнтації, яка не залежить від градієнтів швидкості. Зокрема, у простій зсувній течії
(2.3)
рівняння (2.2) має стаціонарний розв'язок
, (2.4)
де і - кути, які визначають положення вектора у лабораторній системі координат :
,
- кут між проекцією вектора на площину і віссю ;
- кут між віссю і вектором .
Орієнтація директора при цьому залежить від величини сталої : при кут змінюється у межах , при - у межах .
Орієнтація вектора змінюється в залежності від геометрії течії. Так, у течії одновісного розтягу
(2.5)
вектор орієнтується колінеарно до вісі при і паралельно до площини при . Стаціонарна орієнтація вектора при цьому не залежить від величини швидкості розтягу .
Згідно [106], у випадку реологічне рівняння (2.1) можна представити у вигляді узагальненого закона Ньютона
(2.6)
з тензором в'язкості
,
де - одиничний тензор четвертого ранга.
З (2.6) випливає, що ефективна в'язкість анізотропної рідини (2.1), (2.2) при і у стаціонарних течіях не залежить від градієнтів швидкості течії, але, на відміну від ньютонівських рідин, залежить від орієнтації директора . Це дозволяє говорити про анізотропію рідини (2.1), (2.2), яка виявляється у процесі течії цієї рідини, відносно напрямку директора . З урахуванням цього у роботі [106] введені поняття повздовжньої і поперечної (відносно директора ) в'язкості рідини (2.1), (2.2). Ці коефіцієнти в'язкості мають базисні значення, і через них виражаються в'язкості відносно інших напрямків.
Анізотропія в'язкості у рідині (2.1), (2.2) призводить до анізотропії інших її характеристик. Зокрема, наявність базисних в'язкостей і визначає наявність різних коефіцієнтів поступального тертя і сферичної частинки під час її руху у рідині (2.1), (2.2) вздовж директора і перпендикулярно до нього. На сферичну частинку, яка рухається зі швидкістю у анізотропній рідині (2.1), (2.2), діє, згідно [108], сила опору
, (2.7)
де тензор поступального тертя сферичної частинки в анізотропній рідині виражається як
; (2.8)
Базисні в'язкості і можуть бути виражені через реологічні сталі , , . Для цього слід представити реологічне рівняння для напружень рідини (2.1), (2.2) у вигляді
,
де , і порівняти його з (2.1). З урахуванням співвідношення [108], можна визначити , .
Опис поведінки мікроструктури рідкого середовища за допомогою директора був застосований у континуальній теорії рідких кристалів [8]. Визначальні рівняння, які були отримані у [78] і використовуються для опису динамічних властивостей нематичних рідких кристалів, є аналогічними до рівнянь (2.1), (2.2). Доцільність такого моделювання підтверджують нещодавні дослідження [40, 69].
2.1. Реологічні рівняння стану суспензії з анізотропним дисперсійним середовищем
Як гідродинамічна модель недеформівних непротічних зважених частинок суспензії, які є осе- та центрально-симетричними, використовується симетрична тривісна гантель [17] з осями , описана у підрозділі 1.3. Проте оскільки розглядається анізотропне дисперсійне середовище, то взаємодія центрів гідродинамічного опору модельної зваженої частинки, розташованих на кінцях осей тривісної гантелі, з дисперсійним середовищем задається співвідношеннями (2.7), (2.8). При цьому якщо кінець осі гантелі обтікається анізотропним дисперсійним середовищем зі швидкістю , то на нього з боку дисперсійного середовища діє сила , де - тензор поступального тертя сферичної частинки в анізотропній рідині [108] (2.8). Припускається, що осі гантелі гідродинамічно не взаємодіють з дисперсійним середовищем.
Припускається також, що суспензія розведена і зважені частинки мають нульову плавучість. Розміри зважених частинок вважаються значно більшими за відповідні розміри елементів мікроструктури, які формують анізотропію дисперсійного середовища, а отже, останнє взаємодіє із зваженими частинками як із гідродинамічними тілами. В той же час, розміри зважених частинок вважаються досить малими для того, щоб швидкість дисперсійного середовища в околі кожної зваженої частинки була лінійною функцією координат
, (2.9)
де - радіус-вектори, які в