Розділ 2
Дослідження несталих хвиль у
напівнескінченій оболонці з рідиною при різних умовах на торці
В розділі 2 досліджується задача поширення хвиль, збуджуваних імпульсом тиску у в'язкопружній циліндричній оболонці, що заповнена в'язкою рідиною. На основі гіпотези квазістаціонарності для ламінарної течії й припущення, що стан рідини при стисканні описується законом Гука, одержано точне розв'язання в рамках поставленої задачі. Метод розв'язання полягає в одержанні значень параметрів рідини й оболонки в просторі зображень. Перехід до оригіналів реалізується методом чисельного обернення перетворення Лапласа. Проведено аналіз результатів при різних умовах на торці оболонки.
У підрозділах 2.1, 2.2 розглядається постановка и метод розв'язання задачі поширення гідроупругих хвиль в напівнескінченій оболонці, яка заповнена в'язкою, стисливою рідиною. Розв'язок одержано в просторі зображень і він задовольняє початковим-крайовим умовам поставленої задачі, крім крайових умов на торці оболонки.
У підрозділі 2.3 задовольняються крайові умови, поставлені на торці оболонки, тобто досліджується поширення хвиль типу шарнірного опирання краю оболонки. Ці умови дозволяють знайти коефіцієнти інтегрування, через які виражаються розв'язки задачі у підрозділі 2.1.
У підрозділі 2.4 досліджується розповсюдження імпульсу тиску і радіальне переміщення оболонки. Показано, що застосування крайових умов для шарнірного обпирання краю дозволяє одержати розв'язки, які якісно співпадають з дослідженнями в області біомеханіки, зокрема, з дослідженням кровоносних судин.
У підрозділі 2.5 розглядається вплив на розв'язки, одержані в підрозділі 2.2, граничних умов на торці оболонки від защемленого краю. Досліджується розповсюдження імпульсу тиску і радіальне переміщення оболонки. Показано, що застосування крайових умов защемленого краю менш впливає на затухання розповсюдження хвиль, ніж крайові умови від шарнірного обпирання краю. Крім того, порівняльний аналіз з відомими розв'язками задач біомеханіки показав, що граничні умови від шарнірного обпирання менш точно відображують якісні і кількісні результати, ніж граничні умови від защемленого краю.
Результати дослідження даного розділу представлено в роботах [47, 68, 80, 155, 156].
2.1. Постановка задачі
Розглядається осесиметрична задача поширення хвиль в напівнескінченій круговій циліндричній оболонці і стисливій в'язкій рідині, яка заповнює її. Задача розглядається в циліндричній системі координат (Orx), вісь Ox направлена вздовж осі оболонки, вісь Or ортогональна осі х, початок координат знаходиться на осі оболонки х = 0 (рис. 2.1). В перерізі х = 0 задається імпульс тиску, який поширюється в напрямку осі Ox.
Математична постановка задачі включає диференціальні рівняння:
для рідини
; (2.1)
, (2.2)
де , - проекції швидкості відповідно на вісь Ox, яка співпадає з віссю оболонки, й вісь Or, направлену по радіусу перерізу оболонки, р - тиск, К - модуль пружності рідини, ? - кінематичний коефіцієнт в'язкості, ? - густина рідини;
для оболонки
(2.3)
(2.4)
де - подовжнє переміщення оболонки, - радіальне переміщення, R - радіус оболонки, h - товщина, Е - модуль Юнга, ?0 - коефіцієнт Пуассона, ?0 - густина оболонки, і - коефіцієнти в'язкості пружного середовища.
На поверхні оболонки задовольняються умови спряження:
кінематичні умови
, при , (2.5)
динамічні умови
, . (2.6)
Початкові умови мають вигляд:
,
, (2.7)
На торці оболонки х = 0 задається імпульс тиску:
(2.8)
Шукані функції повинні задовольняти умові регулярності
при .
До умов (2.5) - (2.8) необхідно при розв'язуванні задачі (2.1) - (2.4) додати умови на торці оболонки.
Задача обезрозмірюється за формулами:
; ; ; ; ;
; ; ,
де - характерна швидкість.
Рівняння руху поставленої задачі в безрозмірних змінних набувають вигляду (зірочки опущено):
для рідини
(2.9)
(2.10)
для оболонки
(2.11)
(2.12)
де - число Рейнольдса;
2.2. Метод розв'язання
До задачі (2.9) - (2.12) застосовується метод перетворення Лапласа (1.35), тоді в просторі зображень одержимо:
для рідини
(2.13)
(2.14)
для оболонки
(2.15)
(2.16)
де
Далі розглянемо розв'язок відносно тиску. З рівнянь (2.13) і (2.14) одержуємо
(2.17)
, (2.18)
де
Виключивши в системі (2.15), (2.16) переміщення й підставивши в ці рівняння значення (2.17) і (2.18), одержимо звичайне диференційне рівняння відносно тиску
, (2.19)
де
Диференційному рівнянню восьмого порядку (2.19) з постійними коефіцієнтами відповідає характеристичне рівняння
. (2.20)
Аналіз рівняння (2.20) показує, що всі корені комплексно спряжені, які в загальному вигляді визначаються співвідношеннями
S1,2,3,4=?k1?k2i ; S5,6,7,8=?k3?k4i . (2.21)
Значення коренів (2.21) визначає вид розв'язку диференційного рівняння (2.19)
(2.22)
де коефіцієнти визначаються з заданих граничних умов.
В розв'язку (2.22) пари коренів і характеризують падаючі, перевідбиті та проходячі хвилі. З меншою швидкістю розповсюджуються моди, що відповідають хвилям тиску, що поширюються в рідині (моди Юнга). З більшою швидкістю розповсюджуються моди, що відповідають хвилям, біжучим в стінці судини (моди Лемба).
В роботі В.Т.Грінченко і Г.Л.Комісарової [14] було показано, що цей результат випливає також з точної п