Розділ 2
РОЗРОБКА МАТЕМАТИЧНОЇ МОДЕЛІ ОЦІНЮВАННЯ
НАПРУЖЕНО-ДЕФОРМОВАНОГО СТАНУ СТАЛЕВИХ КОЛОН НА ОСНОВІ МЕТОДУ СКІНЧЕННИХ ЕЛЕМЕНТІВ ІЗ ВРАХУВАННЯМ ФАКТОРІВ ДІЙСНОЇ РОБОТИ
2.1. Основні передумови та залежності математичної моделі
Для оцінки параметрів надійності елементів будівельних конструкцій записують спеціальні критерії, так звані резерви несучої здатності, на основі яких обчислюються характеристики безпеки конструкції. Як правило, всі резерви несучої здатності для різних конструкцій використовують значення внутрішніх зусиль. При цьому від того, наскільки точно можуть бути отримані значення цих внутрішніх зусиль чи значення несучої здатності конструкції, залежить точність результатів імовірнісного розрахунку. Використання методів статичного розрахунку без врахування тих чи інших особливостей роботи елементів конструкцій може призводити до заниження дійсного рівня надійності або навпаки, - до завищення його, що є ще більш небезпечним при проектуванні будівельних конструкцій.
Як відомо, стиснуто-зігнуті елементи характеризуються нелінійними залежностями компонентів напружено-деформованого стану. Крім цього, неврахування пружно-пластичної роботи матеріалу при деяких співвідношеннях вихідних даних таких елементів може призводити до значного недоврахування резерву несучої здатності. На ринку програмного забезпечення мається достатня кількість різноманітних комп'ютерних програм, які дозволяють досить точно оцінювати напружено-деформований стан та несучу здатність різних будівельних конструкцій та їх елементів, але ці програми є, як правило, зручними та налагодженими тільки для детерміністичних розрахунків. Крім цього, вони є відкомпільованими програмами, які представляють собою, так званий "чорний ящик" та не можуть підключатись для оцінки статистик різних параметрів напруженого стану будівельних конструкцій. Використання таких відкомпільованих для користувача програм в імовірнісних розрахунках зустрічає досить певні труднощі через неможливість підключення їх до програмних модулів задач надійності.
Отже, ставиться задача розробити та реалізувати алгоритм математичної моделі, яка б враховувала особливості дійсної роботи таких елементів та могла бути використана як передаточна функція для імовірнісних розрахунків цих елементів. Під передаточною функцією в даному контексті розуміється спеціальний оператор, який описує структуру та властивості будівельної конструкції.
Отже, при створенні математичної моделі оцінки напружено-деформованого стану сталевих колон, розрахункові схеми яких представлені як стиснуто-зігнуті елементи, ставились такі задачі та вимоги:
* розробити та реалізувати методику статичного розрахунку стиснуто-зігнутих елементів на основі методу скінченних елементів із можливістю врахування різних граничних умов, різних видів поперечних перерізів та зовнішніх навантажень;
* оцінювати напружено-деформований стан таких елементів з врахуванням пружно-пластичних деформацій з метою повного використання деформативних та міцностних властивостей матеріалу;
* перевірити розроблену методику шляхом порівняння результатів з результатами інших теоретичних та лабораторних досліджень таких елементів;
* розробити та реалізувати алгоритм визначення несучої здатності сталевих колон, з врахуванням вище зазначених чинників;
* розвинути та впровадити в алгоритм можливість застосування безрозмірної форми описання вихідних даних та представлення результатів розрахунків;
* проаналізувати ступінь впливу різних вихідних параметрів на напружено-деформований стан та ранжувати їх за цим ступенем впливу.
При розробці математичної моделі для опису роботи сталевих колон та сталевих стиснуто-зігнутих стержнів за основу було взято чисельний метод, який отримав останнім часом значне розповсюдження для статичних розрахунків будівельних конструкцій із використанням ПЕОМ - метод скінченних елементів (МСЕ) у формі методу переміщень [127]. Розв'язок рівняння для такої форми цього метода, як правило, отримують шляхом мінімізації повної потенційної енергії системи, яка виражена через функцію переміщень. Ці рівняння мають простий фізичний зміст: вони описують рівновагу вузлів системи, а шукані невідомі є компонентами вузлових переміщень. Розрахунок за допомогою МСЕ у формі метода переміщень включає наступні етапи, які приймаємо за базові при рішенні задачі оцінки напружено-деформованого стану сталевих колон, представлених як стиснуто-зігнуті стержні:
* розбивку стержня колони на скінченні елементи по довжині; підготовку топологічної, геометричної та фізичної інформації про апроксимовану скінченними елементами розрахункову схему стержня колони; встановлення факторів взаємодії з оточуючим середовищем, зокрема, опис набору факторів, які зумовлюють дійсну роботу конструкції колони на рівні навантажень чи інших параметрів, зумовлюючих жорсткість поперечного перерізу;
* визначення елементів локальної матриці жорсткості стиснуто-зігнутого скінченного елемента, а також векторів, які визначають залежність між реакціями та переміщеннями у вузлах скінченного елемента;
* формування основної розв'язуючої системи лінійних алгебраїчних рівнянь на основі процедури ассемблювання локальних матриць жорсткості за визначеною топологією розрахункової схеми;
* накладання граничних умов, які відповідають умовам спирання сталевої колони;
* рішення отриманої системи рівнянь та встановлення поля переміщень, внутрішніх силових факторів тощо;
* визначення компонентів напружено-деформованого стану для кожного скінченного елемента у відповідності до визначених векторів переміщень вузлів скінченно - елементної сітки;
* oбробку результуючої інформації та її аналіз.
Однією із значних переваг цього методу при реалізації його на ПЕОМ є можливість рішення задач теорії пружності з використанням матричної формуліровки основних залежностей, які можна описати у вигляді основного матричного рівняння метода скінченних елементів [70]:
, (2.1)
де - узагальнена матриця жорсткості системи скінченних елементів. Ця матриця
- Київ+380960830922