Ви є тут

Удосконалювання 3D моделей формоутворення різанням спеціальних конічних зубчастих колес для двопараметричних передач

Автор: 
Мироненко Олександр Леонідович
Тип роботи: 
Дис. канд. наук
Рік: 
2005
Артикул:
3405U000623
129 грн
Додати в кошик

Вміст

РАЗДЕЛ 2
АНАЛИЗ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ОСОБЕННОСТЕЙ КОНИЧЕСКИХ ЗУБЧАТЫХ КОЛЁС С ПОСТОЯННЫМ
НОРМАЛЬНЫМ ШАГОМ.
2.1 Линии зубьев на начальном конусе и условие их эквидистантности.
Коническое зубчатое колесо, как основное звено двухпараметрической передачи,
имеет развитые удлиненные зубья. Боковые поверхности зубьев могут иметь
эвольвентный, круговой или другой заданный профиль. Зубья расположены вдоль
эквидистантных линий зубьев на начальном конусе (Рис. 2.1). Именно условие
эквидистантности определяет форму линии зубьев [46, 45] Параметры начального
конуса: R1 - радиус основания, e - угол конуса, Ri - текущий радиус конуса.
Линия зуба может быть получена как траектория заданной исходной точки A в
сложном её движении по начальному конусу. Точка прямолинейно перемещается вдоль
образующей с параметром u (длиной прямолинейного перемещения) и одновременно
вращается вокруг оси конуса с параметром y (углом поворота).
В соответствии с методикой многопараметрических отображений [82] линия зуба
имеет следующую структуру:
, (2.1)
где  — радиус-вектор исходной точки (прообраза),
 — радиус-вектор точек линии зуба (образа),
 — операторы параллельного переноса и вращения,
 — координатный оператор.
Операторам соответствуют матрицы:

Рис. 2.1 Линия зуба на начальном конусе

Используя матрицы и структуру (2.1), получаем матричное и координатные
параметрические уравнения линии зуба:
(2.2)
(2.3)
В уравнениях плюс заменён минусом из условия, что угол e будем считать
положительным). Если параметры u и y связать функцией и принять один из них
независимым параметром, то (2,3) будут параметрическими уравнениями линии зуба
как однопараметрического множества точек. Функция, связывающая u и y, должна
выражать условие постоянства нормального шага между зубьями (условие
эквидистантности линии зубьев на конусе [46]. Обозначим скорость прямолинейного
движения , линейную скорость вращения V2. Суммарная скорость совпадает с
касательной к линии зуба и в исходном положении у основания конуса составляет с
образующей исходный угол b1, а в текущей точке линии зуба i — текущий угол bi.
Условием равноудалённости двух зубьев L1 и L2 будет равенство расстояний S1 и
S2 (рис. 2.2). Из треугольников ABC и abc имеем:
(2.4)
, поэтому Исходя из условия, имеем:
,
или
(2.5)
Преобразуем уравнение (2.5):

(2.6)
Рис. 2.2 К условию эквидистантности линий зубьев
С другой стороны, текущий угол наклона линии зуба bi может быть выражен через
соотношение линейных скоростей V1 и V2:
(2.7)
(2.8)
где t — независимый параметр (время);
(2.9)
Подставляя (2.8) и (2.9) в (2.7), имеем
(2.10)
Приравнивая правые части уравнений (2.6) и (2.10), получаем условие постоянства
нормального шага зубьев на конусе [46, 44]:
(2.11)
или
(2.12)
где, — приращения параметров.
Условие (2.12) совместно с уравнениями (2.3) представляют собой математическое
описание линий зубьев на начальном конусе.
2.2 Область существования конических зубчатых колёс с постоянным нормальным
шагом.
Для решения задач формообразования конического зубчатого колеса с постоянным
нормальным шагом требуется анализ его конструктивных параметров. Как видно из
предыдущих параметров, к ним относятся: параметры начального конуса - угол
конусности e и радиус основания R1, параметры линии зуба - начальный и текущий
углы наклона линии зуба b и bi, незевисимый и зависимый параметры этой линии u
и y, текущий радиус конуса Ri, максимально возможные длина линий зуба и ширина
зубчатого венца Lmax и Bmax .
Параметры u и y связаны условием постоянства нормального шага (2.11).
Проанализируем область определения функции (2.1). Подкоренное выражение в этой
функции должно быть величиной положительной:
;
;
;
;
; (2.13)
Кроме того, знаменатель дроби не может быть равен нулю, поэтому

. (2.14)
Формулы (2.13), (2.14) определяют диапазон возможных изменений независимого
параметра линии зуба u . Эти формулы свидетельствуют о том, что длина линии
зуба, определяющая максимально ширину зубчатого венца, ограничена.
Определим диапазоны других конструктивных параметров конического колеса,
исходя из условия (2.11).
Поскольку R1cosb являются знаменателем дроби, то cosb№0, отсюда диапазон
значений начального угла наклона линии зуба b:
(2.15)
Рассмотрим крайние точки этого диапазона. При b=0 согласно (2.13) u=0, линии
зуба вырождаются в точку. При этом согласно (2.13) и стремится к своему
максимально возможному значению, близкому, но не равному. Линия зуба
представляет собой винтовую линию с малым шагом, витки которой близки к
параллелям конуса.
С учетом (2.15) диапазон значений u (2.13) сужается:
(2.16)
Диапазоны изменения радиуса основания R1 и угла e конуса теоретически не
ограничены. R1 может изменяться от 0 до бесконечности; e от 0 до (плоское
колесо):
(2.17)
(2.18)
Следует учитывать, что конструктивные параметры конического колеса связаны
между собой не только уравнением (2.11).
Так, текущий угол наклона линии зуба bi определяется выражением:
(2.19)
Кроме того, равен отношению радиуса меньшего торца начального конуса к его
текущему радиусу:
, (2.20)
а cosb — отношению радиусов меньшего и большего торцов:
. (2.21)
Найдем диапазон изменения, используя (2.16), (2.20), (2.21):
. (2.22)
При u=0: ;
При
Значит, угол равен начальному углу b у большего торца конуса и уменьшается до
нуля в конце линии зуба у меньшего торца:
, (2.23)
Таким образом, у конических колес с постоянным нормальным шагом ширина венца
ограничена возможной длиной линии зуба. Это объясняется тем, что п