РАЗДЕЛ 2
МЕТОД РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ НЕЛИНЕЙНОГО ДЕФОРМИРОВАНИЯ
ТЕЛ ВРАЩЕНИЯ
2.1. Постановка задачи
В разделе изложены постановка и методика решения осесимметричных (с кручением)
физически и геометрически нелинейных задач для почти несжимаемых
кусочно-однородных трансверсально-изотропных или изотропных гиперупругих тел
вращения. Предложен и проанализирован новый потенциал анизотропного почти
несжимаемого материала. Все итоговые соотношения представлены в матричном виде,
удобном для построения алгоритма МКЭ.
Основные предположения:
– материал исследуемых объектов принимаем почти несжимаемым кусочно-однородным
трансверсально-изотропным или изотропным гиперупругим;
– решаем осесимметричную физически и геометрически нелинейную задачу в
цилиндрической системе координат;
– к части поверхности исследуемых объектов прикладываем равномерное давление;
– процесс деформирования считаем квазистатическим.
Для решения задачи используется вариационный принцип возможных перемещений в
приращениях, реализуемый шаговым алгоритмом МКЭ.
2.2. Основные кинематические соотношения
Построим соотношения между приращениями перемещений и деформаций, необходимые
для применения шагового метода решения нелинейных осесимметричных задач о
деформировании тел вращения.
Напомним основы геометрически нелинейной теории кинематики, необходимые при
решении задач о деформировании упругих тел при перемещениях, соизмеримых с
размерами тела. Основы нелинейной теории упругости достаточно подробно изложены
в работах А.И. Лурье [42, 43], А. Грина и др. [16], К.Ф. Черных [78], Г.Н.
Савина и др. [65], И.И. Гольденблата [14], Д.И. Кутилина [40] и др.
Отнесем тело к криволинейной системе координат xi (i = 1, 2, 3) и введем
координатные векторы и ; и – радиус-векторы точки в исходном и деформированном
телах, запятой помечено ковариантное дифференцирование. Тогда компоненты
метрических тензоров среды до и после деформации будут и , а тензор деформаций
Коши-Грина
, i, k = 1, 2, 3, (2.1)
где – вектор перемещений.
Обозначим определители тензоров gik и Gik (их третьи инварианты) буквами g и G,
тогда мера изменения объема при деформировании тела будет .
В осесимметричных задачах, рассматриваемых в диссертации, индексам 1, 2, 3
отвечают r, ц, z.
Введем вектор-столбец компонент вектора перемещений в цилиндрической системе
координат
,
где ur, uj, uz являются функциями от r, z;
– ковариантная производная.
Представим компоненты тензора деформаций Коши-Грина в виде вектор-столбца
. (2.2)
Здесь технические деформации сдвига есть удвоенные значения компонент , i ? k.
В случае геометрически линейной осесимметричной задачи компоненты вектора (2.2)
имеют вид
. (2.3)
В матричном виде соотношение (2.3) будет
или
. (2.4)
Операторная матрица есть первый сомножитель правой части (2.4).
Обращаясь к геометрически нелинейному случаю, представим формулу (2.1) в более
удобном для преобразований виде
. (2.5)
Для построения в дальнейшем шагового метода решения найдем приращение
деформаций eik за один шаг по параметру нагрузки. Вводя в (2.5) вектор вместо ,
получим формулу для eik
, (2.6)
где vi – компоненты вектора приращений перемещений за один шаг по параметру
нагружения;
ui – полные перемещения (накопленные на предыдущих шагах известные функции
координат).
Вычитая (2.5) из (2.6), находим
. (2.7)
Линейное относительно приращений компонент вектора перемещений слагаемое,
стоящее в (2.7) в квадратных скобках, обозначим далее
, (2.8)
так что
. (2.9)
В развернутом виде формула (2.8) будет
, i, j, k = r, j, z. (2.10)
Представим (2.10) в матричном виде
. (2.11)
Здесь операторная матрица имеет вид
. (2.12)
Заметим, что если в матрице (2.12) ввести коэффициент 1/2 при производных от
полных перемещений и умножить ее справа на вектор узловых значений полных
перемещений, то можно вычислить накопленные значения деформаций в соответствие
с формулой (2.1).
Далее будет полезным представить производные от вектора приращений перемещений
по координатам через вектор-столбец его компонент. Для этого введем
диагональные операторные матрицы 3Ч3
, , .
Структура матрицы характерна для осесимметричных задач. Тогда будет
, i = 1, 2, 3. (2.13)
2.3. Физический закон для гиперупругих тел вращения
Теория гиперупругости весьма полно развита в трудах классиков нелинейной
механики А.Н. Гузя [18], В.В. Киричевского [36], А.И. Лурье [43], Г.Н. Савина и
др. [65], Р.С. Ривлина [64], К.Ф. Черных и др. [79] и др. Известно, что тензоры
напряжений гиперупругих тел есть производные от потенциалов по компонентам
тензора деформаций. В 2.3 на основе сведений, изложенных в монографиях [36,
43], дан анализ потенциалов, используемых в диссертации для решения задач,
предложены новые их варианты для трансверсально-изотропных тел и приведена
методика определения их констант, учитывающая необходимость предельного
перехода физического закона в закон Гука при инфинитезимальных деформациях
(пренебрежимо малых по сравнению с единицей).
Вначале приведем нужные далее соотношения закона Гука, используемого при
решении линейных задач механики деформируемого твердого тела. Он устанавливает
линейную связь между компонентами тензоров напряжений и деформаций
,
или в матричном виде
, ,
где
;
;
, i № k, i, k = 1, 2, 3;
[D] и [H] – симметричные матрицы 6х6 модулей упругости и податливостей [77];
[H] = [D]-1.
В частном случае изотропного тела [2]
,
а матрица имеет вид
, (2.14)
где l и m – постоянные Ламе, кото
- Київ+380960830922