РОЗДІЛ 2
РОЗРОБКА АДАПТИВНИХ МЕТОДІВ СТРУКТУРНО-ПАРАМЕТРИЧНОЇ ОПТИМІЗАЦІЇ ДЛЯ РОЗВ'ЯЗУВАННЯ ЗАДАЧ ЦИФРОВОЇ ОБРОБКИ ІНФОРМАЦІЇ
2.1. Задачі структурно-параметричної оптимізації та проблеми цифрової обробки сигналів
Велику кількість задач цифрової обробки можна звести до апроксимації функції дискретної або неперервної змінної [2, 59, 85, 109]. Для цього розроблено цілий ряд методів, кожен з яких має свій ступінь універсальності та область застосувань. При розв'язуванні практичних задач сигнали, які вимірюються, мають певну структурну форму. Наприклад, більшість мовних сигналів мають коливний характер, так само тематичні зображення мають структурну форму. Досвід показує, що апроксимацію таких сигналів бажано здійснювати враховуючи цю структуру. Зважаючи на це систему базисних функцій, на основі якої необхідно проводити апроксимацію, часто задають в структурно-параметричній формі.
У випадку, коли система апроксимуючих функцій залежить від параметрів, то ставиться задача про оптимальний вибір послідовності цих функцій, які з заданою точністю найкраще апроксимують сигнал. Така схема необхідна для розв'язування задач стиснення інформації, де оптимальність можна розуміти як найменшу кількість апроксимуючих функцій.
Аналіз прикладних задач показує, що в багатьох випадках в якості структурно-параметричної системи функцій доцільно вибирати гармонічні послідовності. Це стосується тих задач, в яких сигнали мають приховані періодичності. Наприклад, при розпізнаванні мовних сигналів. Для визначення літер необхідно знати не лише частотно-фазові характеристики, а й амплітуду затухання гармонік.
Цікавою проблемою, яка розв'язується на основі методу структурно-параметричної оптимізації [17], є оптимальне розбиття даного інтервалу, на якому розглядається функція, на підінтервали з тим, щоб найкращим чином представити сигнал або ж визначити найменшу кількість параметрів для апроксимуючих функцій.
Але з'являються важливі прикладні задачі, особливо в області інформатики та прикладної математики, які вимагають розробки нових підходів апроксимації експериментальних даних. Насамперед, це пов'язано з тим, що найчастіше обробка даних ведеться в реальному часі. До того ж, розроблені алгоритми повинні бути конструктивними в програмуванні, оптимальні за швидкодією і в реальному часі розв'язувати поставлені задачі.
Цим вимогам, на наш погляд, відповідають нижче описані адаптивні алгоритми, основані на градієнтних підходах [118] при динамічній мінімізації деяких нев'язок. В роботі запропоновано підходи до апроксимації як неперервних так і дискретних процесів. Оскільки в реальних ситуаціях ми можемо вимірювати змінні величини лише в дискретні моменти часу, тому різницеві схеми можуть виявитися більш вдалими.
2.2. Нові підходи до побудови ортогональних перетворень для задач цифрової обробки
При дослідженні та розв'язуванні прикладних задач цифрової обробки інформації широко використовуються дискретні ортогональні перетворення. З точки зору практичного застосування найбільш розповсюдженими з них є наступні: Фур'є, Уолша, Хаара, Адамара, Френеля, слент-перетворення, перетворення по функціям Віленкіна-Крестенсона, ортогональні вейвлет-перетворення та ін. [15, 60, 77]. Крім того, перераховані підходи використовуються для зміни простору сигналів з метою підвищення ефективності дослідження задач класифікації, квантування, фільтрації. Їх актуальність та важливість можна оцінити ще більше, розглядаючи спектр застосування для розв'язування прикладних задач цифрової обробки інформації таких як обробка супутникових фотографій та даних аерофотозйомки, цифрова обробка інформації при дослідженні земних надр, задачі розпізнавання образів та стиснення інформації, тощо. Приведений невеликий перелік дає уяву про важливість цього математичного апарату.
В процесі дослідження, аналізу та обробки цифрових даних виникає питання: яке зі створених ортогональних перетворень варто застосовувати. І виявляється, що не всі вони найкращим чином можуть бути використані при розв'язанні тих чи інших задач. В цьому випадку постає задача створити такі ортогональні системи, які були б адаптовані до інформації певного типу з тим, щоб якнайкраще розв'язувати поставлені прикладні задачі. Такі ортогональні перетворення доцільно будувати на основі отриманих експериментальних даних.
В роботі пропонується декілька методів побудови таких систем. Перший з них це метод генерації ортогональних перетворень [28, 30], який базується на понятті векторного добутку [105] та його узагальненні для багатовимірних просторів. Відповідні алгоритми побудови ортогональних матриць використовують операції перестановки та групування компонент заданого вектора. Розроблений підхід можна використовувати для розв'язування різних прикладних задач. Зокрема, побудови ядра лінійного перетворення в - вимірному просторі та його застосування до задачі термінального керування, побудови так званих "масок" зображення та їх використання в задачі розпізнавання образів та ін. Ще один метод побудови системи ортонормованих векторів приведено в розділі 2.3 як етап алгоритму апроксимації даних.
2.2.1. Метод послідовної побудови матриць ортогональних перетворень.
Нехай задано вхідний вектор (сигнал) . Задача полягає в побудові множини матриць ортогональних перетворень на основі векторного добутку в -вимірному просторі й операцій перестановки та групування елементів вектора .
Для довільних векторів з координатами відповідно
розглянемо матрицю розмірності , в якій - невідомий вектор (тут - оператор транспонування).
Позначимо - алгебраїчне доповнення елемента матриці , де - мінор -го порядку для елемента квадратної матриці -го порядку.
Узагальнимо поняття векторного добутку [105] для векторів з простору і введемо деякі позначення.
Векторним добутком векторів є вектор , перпендикулярний векторам , який має координати
Нехай - заданий вхідний сигнал,
(2.1)
- невідома матриця ор