РОЗДІЛ 2
РАДІОЧАСТОТНІ МЕТОДИ ТА ЗАСОБИ ВИМІРЮВАНЬ ПАРАМЕТРІВ ХВИЛЕВОДІВ ІЗ ДІЕЛЕКТРИЧНИМ ЗАПОВНЕННЯМ
2.1. Математична модель хвилеводної вимірювальної комірки
2.1.1. Хвилеводна вимірювальна комірка як поздовжньо-неоднорідна лінія. З точки зору своєї конструкції вимірювальні комірки в хвилеводних методах є відрізком хвилеводу (найчастіше прямокутного) з плоскопаралельним шаром діелектрика. Інколи таких шарів три (рис. 1.4, 1.7), тобто ми маємо справу з шаруватою структурою. Залежно від її розташування в хвилеводі можна отримати всі основні види неоднорідних ліній:
- поздовжньо-неоднорідну, якщо межі розподілу шаруватої структури перпендикулярні поздовжній вісі лінії передачі;
- поперечно-неоднорідну, якщо межі розподілу паралельні поздовжній вісі передачі.
Оскільки в розглядуваних неоднорідних лініях передачі хвильові опори в межах кожного шару незмінні, а на межі розподілу шарів змінюються стрибкоподібно, то такий різновид нерегулярних ліній передач називають ще сходинковими лініями [112, 4, 57, 58, 113]. На практиці для описання таких ліній використовують різні способи [112, 113], а найчастіше матричне описання.
Такий спосіб розглядає неоднорідну лінію як послідовне (каскадне) з'єднання однотипних чотириполюсників (матриць відрізків однорідних ліній). Безпосереднє перемноження великої кількості матриць спричиняє великі обсяги розрахунків, і, як наслідок, відповідну витрату машинного часу. Саме ця обставина змушує оптимізувати процедуру розрахунків при великій кількості матриць (сходинок) [112, 114, 115]. Суть такої оптимізації полягає у знаходженні відповідних рекурентних співвідношень. В роботі [116] запропоновано оригінальний метод трикутника іммітансів.
Базуючись на матричному підході [117], отримаємо рекурентні співвідношення, які дозволять визначити елементи хвильової матриці і матриці розсіяння для шарів діелектриків в хвилеводі (рис. 2.1) через відповідні коефіцієнти для шарів [112].
Рис. 2.1. Хвилевід з шаруватою структурою Нехай хвилевід заповнено відрізками (шарами) діелектриків із довжинами (). Кожен відрізок характеризується своїми значеннями діелектричної проникності та хвилевим опором , причому хвилевий опір підвідної лінії передачі дорівнює . Зручність такого описання в тому, що воно не вимагає конкретного описання характеру заповнення хвилеводу в межах кожного шару - повне чи часткове.
Отже, поставимо у відповідність такому хвилеводу еквівалентну схему у вигляді послідовного з'єднання чотириполюсників зі своїми матрицями . Результуюча матриця передачі такої системи
.(2.1) Тут - величина, яка дорівнює кількості стрибків хвилевих опорів вздовж хвилеводу [111].
Причому, на відміну від [112] (рис. 2.2, а) вхідний та вихідний перерізи віднесемо до місць стрибків хвилевих опорів (рис. 2.2, б). Такий спосіб зручніший, адже кінцевий результат не доведеться перераховувати шляхом домножування результуючої матриці ліворуч і праворуч на матриці, зворотні матрицям передачі однорідних відрізків лінії, що мають довжину , як це зроблено в [113].
а)б)Рис. 2.2. Шарувата структура в хвилеводі та її еквівалентні схеми: а - стрибки хвильового опору віднесено до середини відрізків; б - стрибки хвильових опорів віднесено до входів і виходів відрізків Відповідні матриці передачі мають вигляд [118]:
хвилевід зі стрибком хвилевих опорів
,(2.2) однорідний хвилевід довжиною
,(2.3) де - парціальний коефіцієнт відбиття*) (коефіцієнт відбиття стрибка хвилевого опору);
- парціальний коефіцієнт проходження (коефіцієнт проходження хвилі через стрибок хвилеводного опору);
- електрична довжина сходинки;
- стала поширення.
Рекурентні співвідношення, які дозволяють визначати елементи матриці (2.1) для довільного , починаючи з (при матриця дорівнює матриці (2.2)) отримаємо аналогічно методиці, наведеній в [113, 117].
Випадок одного шару
,(2.4) де , , ,
, , .
Маємо [118]:
. Для
,(2.5) де , , , .
Елементи матриці :
. Для
,(2.6) де , , , .
Елементи матриці :
Аналізуючи вирази (2.4) - (2.6), неважко помітити, що додавання ще одного відрізка призводить до множення матриць на матриці виду (2.2), (2.3):
(2.7) Формули (2.7) і є шуканими рекурентними співвідношеннями.
При цьому з (2.4)-(2.7) випливає, що
; ,(2.8) де *- символ комплексного спряження. Це дозволяє знаходити коефіцієнти матриці , знайшовши лише одну з двох пар коефіцієнтів і або і та скориставшись формулами (2.8). Проте слід пам'ятати, що формули (2.8) справедливі лише для випадку недисипативного чотириполюсника [113, 57].
Скориставшись формулами переходу від матриці до матриці [56]
; ;
; ,(2.9) де - визначник матриці , отримаємо еквівалентні формули для матриці
Зауважимо, що отримані співвідношення отримано в рамках однохвильового наближення, і, на відміну від [119], вони допускають нарощування системи лише по одному шару. Проте в межах розв'язуваної задачі цього цілком достатньо.
2.1.2. Хвилеводна вимірювальна комірка як поперечно-неоднорідна лінія. Для пошуку сталої поширення в ЧЗХ, як різновиді поперечно-неоднорідної лінії, використаємо поняття ефективної діелектричної проникності [39, 40, 120]. В такому випадку реальне неоднорідне поперечне заповнення замінюється на однорідне шляхом введення в розгляд гіпотетичного діелектрика, який повністю заповнює хвилевід по поперечному перерізу і має проникність . Тому ефективна діелектрична проникність залежить від структури електромагнітного поля у хвилеводі, положення та проникності діелектрика.
При цьому, як звичайно, стала поширення шукається у вигляді
,(2.10) де - хвильове число вакууму;
- відносна діелектрична проникність матеріалу, яким заповнено хвилевід;
- поперечне хвильове число.
Так як , то при малих втратах у хвилеводі