РАЗДЕЛ 2
ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ РЕШЕНИЯ
В этом разделе с помощью теории несамосопряженных операторов строятся
элементарные решения для однородных задач об изгибной деформации слоя и
бесконечного цилиндра с граничными условиями следующих видов:
1) торцы свободны от нагрузок;
2) торцы свободно оперты;
3) боковая поверхность бесконечного цилиндра стеснена.
2.1. Проблема кратных корней характеристических уравнений.
Рассмотрим обыкновенное дифференциальное уравнение -го порядка с постоянными
коэффициентами
.
Если характеристическое уравнение
имеет -кратный корень , то кроме частного решения будут присутствовать также
дополнительные решения вида .
Аналогичная ситуация возникает и в случае дифференциальных уравнений в частных
производных. Рассмотрим в качестве примера уравнение теплопроводности
(2.1)
при условиях теплообмена с окружающей средой
(2.2)
и при заданном распределении поля температур в начальный момент времени
Решая вспомогательную задачу (2.1) – (2.2) методом разделения переменных,
приходим к спектральной задаче
, ,
которая может содержать кратные собственные значения. В случае двукратного
собственного значения , для отвечающего ему элементарного решения можно
использовать (вполне аналогичное решению обыкновенного дифференциального
уравнения) представление [63, 96]
, (2.3)
где собственная функция, а - решение следующей неоднородной граничной задачи
, .
В случае же s-кратного собственного значения , отвечающие ему элементарные
решения можно искать в виде
где , определяются из задач
,
, .
Система функций называют жордановой цепочкой собственных и присоединенных
функций, отвечающих собственному значению [67].
В статьях М.В. Келдыша [46, 47] было осуществлено обобщение, рассмотренных выше
задач на случай операторного уравнения -го порядка
(2.4)
и были построены его решения
Последние подробно исследованы в монографии А.С. Маркуса [63] и названы
элементарными решениями -го порядка. В последнем соотношении - система корневых
(присоединенных) функций
операторного полиномиального пучка , возникшего после разделения переменных в
операторном уравнении (2.4).
2.2. Элементарные решения для слоя со свободными торцами.
Рассмотрим изотропный слой толщиной . Отнесем его к декартовой системе
координат: плоскость совместим со срединной поверхностью недеформированного
слоя, а ось , для определенности, направим вверх. Тогда слой в пространстве
занимает область .
В последующих преобразованиях будем использовать безразмерную систему координат
, , и безразмерные величины , , , где - характерный линейный раз мер в
срединной плоскости слоя, - относительная толщина, , .
Рассмотрим однородную краевую задачу о равновесии слоя
(2.5)
со свободными торцами
. (2.6)
Частное решение системы (2.5), удовлетворяющее условиям (2.6), следуя [59],
будем называть однородным (элементарным) решением.
Для поиска элементарных решений используем представление [26, 50]
,
. (2.7)
Знак «Е», стоящий в (2.7), означает суперпозицию. Соотношение (2.7) выражает
плоский вариант теоремы Гельмгольца: при каждом постоянном значении поле
перемещений представимо в виде суперпозиции потенциального и вихревого
состояний.
2.2.1. Элементарные решения вихревого типа описываются первой (вихревой) частью
представления решений (2.7), т.е.
, , . (2.8)
Подстановка их в (2.5), (2.6) приводит к спектральной задаче для определения
функции
; (2.9)
и метагармоническому уравнению для определения функции
. (2.10)
Собственные функции спектральной задачи (2.9) и соответствующие им
метагармонические функции дают элементарные решения вихревого типа. В задаче
изгиба для них будем иметь выражения
, , , (2.11)
где , , ()- собственные значения, определяемые из уравнения
. (2.12)
При этом случай целесообразно рассматривать отдельно.
2.2.2. Элементарные решения потенциального типа. Если в качестве компонент
вектора перемещений взять потенциальную часть (2.7)
, , , (2.13)
то соответствующие им элементарные решения определяются собственными функциями
спектральной задачи
(2.14)
и метагармоническими функциями
. (2.15)
Спектральная задача (2.14) имеет набор собственных значений, определяемых из
трансцендентного уравнения
, (2.16)
и отвечающий им набор собственных функций
2.2.3. Элементарные решения проникающего типа (бигармоническое решение). Из
трансцендентных уравнений (2.12) и (2.16) следует, что они имеют нулевые корни.
При этом у второго ноль является трехкратным, поскольку
,
. (2.17)
Итак, в рассматриваемом случае нулевое собственное значение – четырехкратное.
Отметим, что нулевое собственное значение дает тривиальное решение спектральной
задачи (2.9). Поэтому элементарные решения для нулевого собственного значения в
случае изгиба могут возникнуть только из потенциальной части представления
(2.13).
Элементарные решения I-го порядка для можно получить из представления (2.13), с
помощью решения спектральной задачи (2.14) при нулевом значении спектрального
параметра
(2.18)
и гармонического уравнения
. (2.19)
Если с помощью соотношения ввести бигармоническую функцию , то элементарное
решение имеет вид
, , . (2.20)
Здесь - произвольная постоянная. Соотношение в форме (2.20) называют
элементарным решением 1-го рода I-го порядка. Поскольку трансцендентное
уравнение (2.16) имеет нулевой кратный корень, можно ожидать, что возникнут
элементарные решения порядка выше первого. Обобщая результаты работ [46, 47,
63], для нулевого собственного значения будем также искать элементарное решение
II-го порядка в форме
,
, (2.21)
Функции
- Київ+380960830922