Оглавление
Введение.........................................................4
Глава 1. Анализ состояния проблемы эластики
§1.1. Современные представления о геометрической линейности и нелинейности стержневых систем.............................................11
§ 1.2. Современные представления о задаче эластики...................... 17
§ 1.3. Интерпретации решения "задачи Эйлера" продольного изгиба стержня 36
§ 1.4. К вопросу определения "выпу чивающей" нагрузки....................42
§ 1.5. Экспериментальные определения "выпучивающей" нагрузки.............47
Задачи исследования................................................55
Глава 2. Разработ ка математического обеспечения задач эластики §2.1. Геометрия деформирования шарнирно-стержневых систем с узловой
нагрузкой..........................................................58
§ 2.2. Оценка приближенного выражения кривизны плоской линии в теории
"малых" перемещений................................................72
§ 2.3. Новое решение задачи Эйлера.......................................74
§ 2.4. Геомшрическая нелинейность изгибаемых стержней....................77
§ 2.5. Новые формулы кривизны плоской линии..............,............. 87
§ 2.6. Нормальные эллиптические интегралы как коэффициенты преобразований
при отображении дуги окружности на наклонные плоскости.............99
§ 2.7. Интегральные выражения в задачах эластики и их вычисление... ...110
§ 2.8.1 Трограммы вычисления интегралов и их тест ирование..............117
§ 2.9. Определение кривых линий разной степени кривизны........... ... .122
Глава 3. Разрабо1ка вопросов приближённою определения эластики изгибаемых ст ержней
§ 3.1. Спектр приближенных выражений кривизны плоской линии.............125
§ 3.2. Упрощающие допущения как корректирующие функции..................130
§ 3.3. Приближенное определение интегралов..............................138
§ 3.4. Основные геометрические параметры стержня в продольном изгибе ....140
3
§ 3.5. Установление функциональных элементарных связей между нагрузкой и основными параметрами геометрии стержня в продольном изгибе......143
Глава 4. Общая теории эластики плоского изгиба стержней
§4.1. Теории "малых" и "больших" искривлений стержня...................150
§ 4.2. Эластика продольного изгиба стержня как совокупность разновидностей
изгиба стержней..................................................163
§ 4.3. О знаках кривизны упругой кривой и изгибающих моментов..........164
§ 4.4. Выбор координатных осей и выражений кривизны....................168
§ 4.5. Изгиб стержня нагрузкой заданного направления...................170
§ 4.6. Определение параметров эластики малых искривлений стержня.......177
§ 4.7. Изгиб стержня "следящей" нагрузкой..............................179
§ 4.8. Внецснтренное сжатие............................................187
§ 4.9. Геометрические представления линий разной степени кривизны......193
§ 4.10. Сравнение синусоиды с упругой кривой продольного изгиба........196
Глава 5. Энергия упругого изгиба стержней
§5.1. Оценка влияния продольных и поперечных сил на кривизну линии.....200
§ 5.2. Определение энергии внутренних сил..............................205
§ 5.3. Потенциальная энергия стержня в продольном изгибе...............210
§ 5.4. Определение "выпучивающей" нагрузки........................... 212
§ 5.5. "Характерное" перемещение в плоском изгибе стержня..............217
§ 5.6. Работа внешних сил при плоском изгибе стержня...................220
§ 5.7. Использование особенностей эластики малых искривлений стержней в установлении элементарных связей межту нагрузкой и перемещениями..222
§ 5.8. Изгибающие моменты при продольно-поперечном изгибе стержня......220
§ 5.9. Деформации при продольно-поперечном изгибе стержня..............227
Глава 6 Стержневые системы
§6.1. Расчёт систем по деформированному состоянию......................230
§ 6.2. Основные элементы стержневых систем.............................242
§ 6.3. Сложные функции кривизны.................................... 243
Заключение................................................ 249
Литература................................................ 252
4
Введение
Основная задача механики деформируемых тел состоит в установлении функциональных связей между нагрузкой и параметрами, характеризующими изменение их геометрии. Для обозначения .нобых изменений формы и размеров при упругом деформировании тел используется термин "эластика" [106] (фр. élastique - упругий, гибкий), определение их составляет "задачу эластики". В строгой математической формулировке задачи эластики нелинейны и "решение их представляет одну из наиболее сложных и актуальных проблем современной математики и механики" [89].
Для большинства стержневых конструкций требование жесткости ограничивает величину геометрических изменений формы и размеров и соответственно представлениям о "малом” и "большом" сформировано два подхода в определении их геометрии деформирования. Для определения "малых" изменений сформирован ряд понятой и положений со сгатусом "руководящих правил и принципов", в рамках когорых образована теория "малых перемещений" или "малых деформаций", методы и приемы которой нашли самое широкое применение в задачах статики, динамики, прочности, устойчивости элементов конструкций и сооружений. В этой теории, использующей допущения для линеаризации исходных уравнений задачи, по виду функциональной связи между нагрузкой и "характерным перемещением" при физической линейности материалов возникает деление систем на геометрически линейные и геомефически нелинейные. Появляются и терминологические тонкости в словесном определении допущений и обозначении геометрии деформирования. Слабо искривленная ось изгибаемых стержней обычно называется упругой линией или упругой кривой, а под эласгикой понимается "точная форма упругой оси" [85].
Обычно геомефически линейные системы образуют короткие ("относительно жёсткие") стержни, физический ресурс упругости материалов которых исчерпывается при малых изменениях форм и размеров, геометрически нели-нейными становятся системы, содержащие длинные (гибкие) стержни и допус-
5
кающие большие изменения геометрии при том же ресурсе упругости. В этих представлениях геометрическая линейность систем связывается с линеаризацией исходных уравнений, ассоциируется с законом Гука, и как следствие, в целом, трактуется как очевидная и объективная реальность. "В подавляющем большинстве случаев в определённых пределах перемещения пропорциональны нагрузке" [91]. Геометрическая нелинейность представляется как феномен и особенность некоторых систем и условий их нагружения.
Подход к задаче определения геометрии деформирования систем с длинными (гибкими) стержнями характерен тем. что в сложившихся представлениях [69, 70, 71, 96] существует убеждение, что к решению её "нельзя применить обычную теорию сопротивления материалов. Необходимо построить совершенно иную прикладную теорию изгиба, справедливую для сколь угодно больших упругих перемещений и коренным образом отличающуюся от обычной теории, начиная с основных положений и понятий”.
Основные уравнения механики деформируемых тел любой формы " давно сведены к опрсдсляюпшм уравнениям" [44, 52] и к настоящему времени формально "теория больших перемещений, отличающаяся от обычной теории” существует [69, 70. 71], имеются отдельные исследования и решения задач [64, 79, 80, 102, 104, 105]. Отличает их "громоздкость" [42, 91, 93] и сложность преобразований. сводящих решение к специальным функциям без видимой физической связи их переменных с определяемыми параметрами эластики.
Замечено |44], что "механика деформируемых тел состоит не только из уравнений, а также из определений точного физического смысла всех входящих в эти уравнения параметров и функций и самих уравнений". Очевидно, по причине отсутствия этих определений специальная теория, не имеющая общих основ невидимых связей с обычной теорией, не стала и не может стать инструментом инженера. В учебной и прикладной технической литерату ре проблеме эластики в математически корректной постановке практически нет места. В инженерном образовании доминирует приближённая "теория малых перемете-
6
пий", а результаты решения отдельных задач по "специальной теории" используются для подтверждения результатов приближенной теории и, в основном, в иллюстративных целях для демонстрации существования геометрически нелинейного поведения некоторых систем при "малых" изменениях.
Представление о коренном отличии теорий эластики коротких и длинных стержней появилось не сразу [84]. Сложность решения задач эластики в точной постановке предопределили появление теории "малых" перемещений, а её результативность, отвечающая требованиям практики, затем успехи вычислительной техники [47, 90] в значительной степени отодвинули несколько в сторону от научных интересов и инженерных запросов и как бы устранили необходимость разработки единой или общей теории эластики. Представления о возможности существования такой теории не существует.
Сохранение до настоящего времени практически неизменного состояния проблемы эластики объясняется тем, что "при конечных упругих перемещениях стержня его конфигурация в деформированном состоянии существенно отличается от первоначальной, что почти полностью исключает прямое применение приближённою анализа, основанного на линеаризации исходной днфференци-альной системы уравнений. В связи с этим большое значение приобретают известные точные решения задачи. Не умаляя значения точных решений в теории упругих стержней, следует признать, что основные методы решения практиче-сютх задач являются приближёнными. Совершенствование и развитие приближённых методов относится к числу важнейших направлений в теории упругих стержней" |52|.
В определении проблемы эластики как совокупной проблеме математики и механики уже заложена неопределенность и нечеткость представлений о ней. 11евозможно выделить ключевое звено и где оно: в математике или механике? Наличие двух теорий для решения о;цтой и той же задачи, когда из результатов ее решения по одной теории нельзя получить результаты другой теории, использующей допущения, свидетельствует или о нс корректной трактовке этих
7
допущений, или о неизвестном механизме их действия, а, в целом, о неудовлетворительном общем уровне развития обеих теорий.
В своё время Декарт определил, что "проблема есть не что иное, как в своё время нерешённая задача". Он же дал руководящую рекомендацию: "уточняйте понятия и у вас не будет проблем".
В механике деформирования твёрдых тел, как и в любой науке, имеется немало белых пятен, которые, прикрытые создавшимися представлениями, длительное время остаются таковыми. С.П. Тимошенко указывал, что "время от времени необходимо обсуждать основные допущения, на которых основаны методы анализа". Во. как заметил Ф Клейн [56], "старые задачи, уже неоднократно подвергавшиеся исследованию, требуют для их разрешения усиленной работы. По-видимому, всему, что представляет в науке истинный прогресс, уготована горькая су дьба в процессе критических дискуссий, в первую очередь столкнуться с недовольством прочно обоснованной и строгой правоверности".
Очевидно, решение двойственной проблемы следует искать, как в совершенствовании её математического аппарата, гак и в оценке и уточнении существующих понятий и представлений, составляющих основу современного анализа геометрии деформирования тел.
Настоящее исследование имеет целью установление общих основ и вну тренних связей между двумя теориями и разработку основ общей теории с необходимым математическим обеспечением. "Явное установление общих основ и внутренних связей между различными теориями и наблюдаемыми эффектами способствует углублённому пониманию действительного состояния науки, правильной оценке известных и развивающихся научных достижений" [81].
В первой главе аналіпнруютея современные представления о гсомстрнче-ской линейности и нелинейности стержневых систем, о проблеме эластики в целом и о достигнутых результатах в сё решении. Устанавливается, что словесно определённые с аргументацией очевидностью упрощающие допущения без их математической оценки и представления о механизме их влияния на форми-
8
руемый результат решения ограничивают его информативность и могут привести к неадекватной интерпретации Отмечается недостаточность уровня разработки математ ического обеспечения теории "малых" перемещений для установления границы между "большим" и "малым" и определения меры линейности и нелинейности.
Собраны и представлены графически сведения о результатах экспериментальных исследований по упругому выпучиванию центрально сжатых стержней. Показана недостаточность обеих теорий в определении процесса выпучивания центрально сжатого стержня, поскольку имеется возможность представления о переходе стержня от прямолинейного состояния в состояние продольного изгиба перескоком при нагрузке превышающей первую критическую.
Во второй главе рассматриваются вопросы, связанные с совершенствованием математического аппарата для анализа геометрии деформирования стержней в плоских системах. Двойственное определение проблемы эластики, как проблемы математики и механики, определило направление ее разработки на исследование вопросов, где механика и математика имеют точки соприкосновения, а существующие теории их разделяющую границу-. Эти вопросы возникают' при определении понятий геометрическая линейность и нелинейность, "малые" и "большие" изменения или перемещения.. Геометрическая нелинейность деформируемых систем представлена как естественное свойство, присущее им в гой или иной мерс. Формулируются условия, при которых стержневые системы могут иметь линейные свойства и определяется, какими допущениями они обеспечиваются. Устанавливается характерный параметр геометрии деформирования стержневых систем, без учета которого в определяющих уравнениях она не может быть отображена математически корректно.
В соответствии с этими результатами разработано математическое обеспечение для анализа эластики шарнирно-стержневых систем с узловой нагрузкой и введена мера геометрической нелинейности. 11роведетта оценка исторического допущения Эйлера, упростившего точное выражение кривизны упругой
9
кривой, и дано новое решение "задачи Эйлера” с его приближенным выражением определенным в функции угла поворота поперечных сечений стержня. Это позволило выявить допущения и определить их назначение, которые обычно смешиваются в представлениях теории "малых перемещений".
Выведены новые формулы кривизны, с которыми задача установления упругой кривой с алгебраическими функциями кривизны формулируется линейными дифференциальными уравнениями первого порядка. Даны примеры восстановления кривых при задании кривизны разными функциями.
Устанавливается связь параметров эластики стержней изгибаемых сосредоточенными нагрузками с переменными эллиптических интегралов. С помощью преобразований длины дуги окружности при отражении ей на наклонные плоскости интегралы представлены как угловые меры дуги сжатого и растянутого эллипса. Это представление позволило получить их приближенные выражения в диапазоне изменения модулярного ут ла до 45°.
Рассмотрены вопросы применения вычислительной техники в задачах эластики. При степенной функции кривизны интегральные выражения решений приведены к одному типу. Несложные программы их вычисления позволяют обращаться с ними как с элементарными функциями.
В третьей главе рассматриваются вопросы представления результатов решения задач эластики в элементарных функциях. В границах допущений теории "малых" перемещений определен спектр приближенных выражений кривизны и разработана методика использования вспомогательных упрощающих функций при определении шггегратьных выражений решений задач. Определены связи между нагрузкой и параметрами геометрии стержня в продольном и поперечном изгибах без ограничения величины ето искривления.
В четвертой главе показано, что с новыми формулами кривизны образуется единая теория эластики изгибаемых стержней, становится явной связь между теориями "больших" и "малых" перемещений с ей допущениями, имеющими математические определения. В этой теории отсутствует необходимость со-
*)
кривой, и дано новое решение "задачи Эйлера” с его приближённым выражением определенным в функции угла поворота поперечных сечений стержня. 'Это позволило выявить допущения и определить их назначение, которые обычно смешиваются в представлениях теории "малых перемещений"
Выведены новые формулы кривизны, с которыми задача установления упругой кривой с алгебраическими функциями кривизны формулируется линейными дифференциатьными уравнениями первого порядка. Даны примеры восстановления кривых при задании кривизны разными функциями.
Устанавливается связь параметров эластики стержней изгибаемых сосредоточенными нагрузками с переменными эллиптических интегралов. С помощью преобразований длины дуги окружности при отражении ее на наклонные плоскости интегралы представлены как угловые меры дуги сжатого и растянутого эллипса. Это представление позволило получить их приближённые выражения в диапазоне изменения модулярного угла до 45°.
Рассмотрены вопросы применения вычислительной техники в задачах эластики. При степенной функции кривизны интегральные выражения решений приведены к одному типу. Несложные программы их вычисления позволяют обращаться с ними как с элементарными функциями
В третьей главе рассматриваются вопросы представления результатов решения задач эластики в элементарных функциях. В границах допущений теории "малых" перемещений определён спектр приближённых выражений кривизны и разработана методика использования вспомогательных упрощающих функций при определении интегральных выражений решений задач. Определены связи между нагрузкой и параметрами геометрии стержня в продольном и поперечном изгибах без ограничения величины его искривления.
В четвёртой главе показано, что с новыми формулами кривизны образуется единая теория эластики изгибаемых стержней, становится явной связь между теориями "больших" и "малых" перемещений с её допущениями, имеющими математические определения. В этой теории отсутствует необходимость со-
10
глашений о правилах знаков изгибающих моментов при формулировке дифференциальных уравнений в любой системе прямоугольных координат. Эластика стержня в продольном изгибе рассматривается, как совокупность отрезков, представляющих эластику стержня во всех разновидностях плоского изгиба. Дано общее решение задачи эластики стержня во всех разновидностях плоского изгиба и сформирована диаграмма его возможных состояний от центрального сжатия до центрального растяжения. Исследуется поведение консольного стержня при медленно возрастающей следящей нагрузке произвольной начальной ориентации к оси сечения и решается задача изгиба стержня при внецен-тренном сжатии в новых выражениях кривизны.
Рассмотрен вопрос о геометрическом представлении линий различной степени кривизны, и осуществляется сравнение синусоиды с кривой продольного изгиба но разным параметрам.
В пятой главе проведена оценка влияния нормальных и поперечных внутренних сил на кривизну упругой кривой и решаются задачи определения внутренней энергии по деформированному состоянию стержня. Сравнением потенциальных энергий центрально сжатого стержня в прямолинейном и искривленном состояниях онределяегся нагрузка, при которой происходит ею выпучивание. Рассматривается вопрос о "характерном" перемещении для стержней в плоском изгибе, проверяется теорема Клапейрона о вычислении работы внешних сил и определяется ее выражение при их различной ориентации к оси стержня. Усгаттовленные особенности эластики стержня в плоском изгибе при "малых" искривлениях использованы для вывода функциональных элементарных связей параметров механического состояния стержня (упругая энергия, изгибающие моменты, деформации) с параметрами геометрии деформирования. В шестой главе рассматриваются особенности деформационного расчета стержневых систем. В заключении сформулированы выводы, которые определяют достигнутый уровень в разработке обшей теории эластики стержневых систем.
и
Глава 1. Анализ состояния проблемы эластики
§1.1 Современные представлении о геометрической линейное Iи н нелинейное 1н стержневых сне ГСМ
В проблеме эластики, как совокупной проблеме математики и механики, ключевое звено, от которого зависит сё решение, не определено, но, очевидно, что его следует искать в вопросах, где математика и механика имеют точки соприкосновения. Таковыми являются допущения, изменяющие математически строгое определение геометрии деформирования механических систем и формирующие представления об их геометрической линейности и нелинейности.
Известно, что нелинейность математических уравнений, сформулированных для определения геометрии деформирования систем, и геометрическая нелинейность, определяемая функциональными связями между нагрузкой и параметрами геометрии деформирования - это разные явления. Нелинейные уравнения иногда можно преобразовать в линейные путём перехода к новым специально выбранным независимым переменным [81], а функциональные связи останутся нелинейными.
В задачах механики деформируемых систем из твёрдых тел различают нелинейности, в основном, двух типов: физическую и геометрическую. Как самостоятельное понятие выделяют конструктивную нелинейность систем [68].
Конструктивная нелинейность отражает конструктивные особенности системы (например, нелинейный характер взаимодействия контактирующих поверхностей в связях между элементами) и она может быт ь предусмотрена их функциональным назначением.
Физическая нелинейность есть проявление физико-механических свойств материалов, выражающееся в отклонений 1>Т закона Гука. В современной трактовке закон Гука определяет линейную связь изменений геометрии элементарного микрообьёма материала (линейных и угловых деформаций) с действующими на него силами (нормальными и касательными напряжениями) и, таким образом, отражает только свойства самого материала. Большинство конструк-
12
ционных материалов при упругом деформировании с достаточно высокой точностью следуют этому закону и рассматриваются как линейно-упругие. Физическая нелинейность их в нормальных условиях проявляется при пластическом деформировании.
Для стержневых систем из физически линейно упругих материалов вид зависимости "нагрузка - характерное перемещение" является основанием для заключения о геометрически линейном или нелинейном поведении.
Однако, в целом изменение геометрии стержневой системы (изменения формы гг размеров) определяют все перемещения поперечных сечений стержней. линейные и угловые. Какое перемещение является "характерным"? Этот вопрос всегда гребует отдельного рассмотрения, но почему-то считается, что это очевидно: "характерные" перемещения - это обычно самые большие по величине перемещения. На них устанавливаются ограничения условиями жесткости, они служат также количественной мерой геометрических изменений. Считается (68]. 410 в геометрически линейных системах нелинейность проявляет ся при больших перемещениях, когда становятся недопустимы замены типа:
При якобы обьективной и реальной геометрической линейности систем при "малых" изменениях проявления геометрической нелинейности требуют объяснения. Обычными примерами геометрически нелинейного поведения являются (рггс. 1): система двух шарнирно связанных между собой стержней, рас-
/£0 = ягп 0-0.
(1.1)
Рис.1. Геометрически нелинейные системы.
13
положенных на одной прямой и с узловой нагрузкой, стержень в поперечном изгибе при больших искривлениях, стержень в продольном изгибе, внецен-тренно наїруженньїй сгержснь, стержень в продольно поперечном изгибе.
Объяснения нелинейности этих систем строятся с использованием нечетко определенных понятий и широким толкованием закона Гука.
Так, Саусвслл замечает [80], что "на первый взгляд может показаться парадоксальным, что нелинейная зависимость вытекает из теории, основанной на законе Гука, однако, простой пример (рис. 1а), вероятно, поможет понять это. Если соединим вместе и нагрузим специальным образом две нити, каждая из которых в отдельности подчиняется закону Гука по отношению к своей реакции, то получим систему, коюрая уже не будет подчиняться закону Гука. Очевидно, что причины этого кроются скорее в кинематике деформаций, чем в каком-либо физическом свойстве материала. Вообще заметим, что нелинейных зависимостей между силой и соответствующим перемещением можно ожидать в тех случаях, когда нагружаемое тело тонкое (например, тонкий стержень или пластика). В этих случаях большие перемещения могут возникнуть при малых деформациях вследствие накопления последних".
В этом объяснении использованы понятия: "кинематика деформаций" и "накопление малых деформаций". По-видимому, первое представление связано с названием системы рис. 1а "мгновенным механизмом [90] и это значит, что в какой-то момент времени система становится кинематически изменяемой, т. е допускает перемещения элементов, не сопровождающиеся деформациями В данном случае кинематическая изменяемость имеет место в окрестности исходного положения".
Можно всегда возразить, что эта же система из предварительно натянутых стержней не будет иметь "кинематической изменяемости", но сохранит нелинейность. Даже в системе не натянутых стержней перемещение узла весьма малое невозможно без их деформации.
і і
Относительно "накопления деформаций" можно заметить, что механизм их накопления в пределах существования закона Гука для "коротких" и "длинных" стержней одинаков, но при равных значениях деформаций материала эти стержни получат различные геометрические искажения. Сели представить длинный стержень как объединение коротких стержней, каждый из которых геометрически линеен, почему же совокупность их образует нелинейную систему? І Іочему длинный стержень, образующий цилиндрическую пружину, послужил доказательством существования закона Гука, а коническая пружина из него есть нелинейная система?
В.И. Феодосьев [90] объясняет нелинейность систем (рис. 1) "существенным изменением формы тела в процессе нагружения". "Если на конце консоли (рис. 1.6) будет приложена сила Р, то балка изогнется и точка приложения силы сместится. Для определения внутренних сил в сечеиии необходимо рассмотреть условия равновесия. Здесь, однако, возникает затруднение в связи с тем, что новые ісомстрические размеры отсечённой части остаются неизвестными, пока не определены внутренние силы, зависящие в свою очередь от геометрической формы системы. При малых перемещениях указанное обстоятельство не имеет значения, поскольку деформированная система несущественно отличается от нелеформироваиной. В этом случае в соответствии с правилом относительной жёсткости уравнения равновесия составляются для нелеформироваиной системы. Понятно, что этого правила нельзя придерживаться в случае больших перемещений. Кроме того, оно может оказаться неприемлемым и при малых перемещениях, если форма нагруженною тела меняется существенным образом. Например, при тех же малых прогибах изменение формы будет иметь существенное значение, если гибкая консоль нагружена не поперечной, а продольной силой (рис. 1с). Нелинейность системы рис. 1а обусловлена тем, что "малые изменения формы системы влияют на условия равновесия существенным образом. Для систем подобною рода характерной является нелинейная зависимость между перемещениями и внешними силами. Это и понятно. Если іеометрия те-
15
ла меняется существенным обратом, то каждому новому значению силы соответствует новая геометрия тела. Это означает, что в процессе изменения силы меняется жесткость системы, и зависимость между перемещением и силой становится нелинейной".
Тимошенко С П. в своей работе "Приближенный способ исследования изгиба стержней" [87] считает, что пои их малых искривлениях Форма практически не зависит от Iшправлеппя нагрузки.
Теория упругости [51] констатирует что, "при некоторых условиях нагружения тел, у которых один размер существенно отличается от двух других измерений (тонкий длинный стержень, тонкая оболочка), могут возникнуть большие перемещения при малых деформациях. В этих случаях в геометрических уравнениях, определяющих деформированное состояние, необходимо сохранять квадратичные слагаемые, которыми пренебрегает теория упругости".
Не давая объяснения природы геометрической линейности и нелинейности, теория упругости [36] ограничивается рекомендациями: "разница в подходе линейной и нелинейной теории упругости к определению деформаций заключается в том, что линейная теория пренебрегает влиянием поворотов на удлинения и сдвиги, а нелинейная как раз его учитывает. Для гибких тел углы поворота могут значительно превосходить удлинения и сдвиги и область применения нелинейных формул - деформация гибких гсл. В соответствии с этим повышается не только точность решения задачи, но оказывается возможным нелинейной теорией охватить более широкий класс задач (проблемы упругой устойчивости и т.д.), чем линейной теорией".
Относительно этих рекомендаций можно заметить, что к настоящему времени они ещё не охватили широкий класс задач и для систем приведённых на рис. 1, они не очевидны. В нелинейной системе рис. 1 .а деформированное состояние стержней однородно, нет сдвигов, деформации малы. Угловые изменения в системе наблюдаются только в её общей геомегрии (макрогеометрии).
16
Стержни в продольном изгибе при линейной постановке задачи, когда рассматривается "несущественное изменение формы", и в ее нелинейной формулировке, согласно их решениям, ведут себя нелинейно. Выполненные исследования больших искривлений длинных стержней при продольном изгибе 142, 80, 86) и поперечном [69, 102, 104, 105], в которых принималась во внимание только изгибная жесткость в допущении гипотезы плоских сечений, дали результаты, не требующие уточнений.
Необходимо признать, что существующие объяснения феномена геометрической линейности или нелинейности систем недостаточны для формирования физических представлений об их природе. Геометрическая нелинейность систем существует, но объяснения её существования не состоятельны.
Геометрическая линейность систем также требует объяснений, поскольку математически она проявляется при соблюдении "правила относительной жесткости". которое содержит какие-то математически не выраженные допущения, а экспериментально наблюдается только при малых изменениях геометрии.
Даже отстраняясь от закона Гука, почти все знают, что множество явлений повинуются закону пропорциональности, когда наблюдаются какие-нибудь малые величины, характеризующие их. Выведенный из наблюдений простой закон является в этом случае применением общего и очевидного аналитического правила, по которому малый прирост функции пропорционален приросту независимой переменной. Но поскольку "в действительности, наблюдаемые нами приросты не бесконечно малы, а только малы, то закон пропорциональности является лишь приближённым и простота кажущейся" [74].
Изменение геометрии деформируемых тел "существенным образом" можно всегда представить суммой "несущественно" малых изменений его составляющих частей. Геометрическая нелинейность тел, по-видимому, проявляется тогда, когда малому изменению одного параметра (нагрузке) соответствует не малое, а существенное изменение другого, принятого за
17
"характерное". При этом всегда возникает вопрос, что считать "существенным" и "малым" и какой параметр является "характерным"?
Очевидно, только сравнительный анализ геометрии изменения систем в математически максимально точном и общепринятом, привычно приближенном рассмотрении позволит установить сущность проявлений в них линейности или нелинейности характеризующих их зависимостей.
§ 1.2. Современные представлении о задаче эластики
Для стержней, упруго изгибаемых по плоской кривой, физически задача эластики сформулирована известным уравнением Я.Бернулли:
K=MfEJ, (1.2)
где К - кривизна линии, М - изгибающий момент, EJ - жесткость стержня.
Кривизна характеризует меру »погнутости линии в рассматриваемой точке, является величиной обратной радиусу искривления р и определяется как скорость изменения угла наклона касательной в но её длине L:
(1-3>
р dl.
Для линии, заданной уравнением у = fix), параметры кривизны (1.3), выраженные через соответствующие переменные, приводят к основной формуле математического анализа (35, 65J:
-3/2
к У г + і (dyf
dx2 [dx) _
(1.4)
Формула (1.4) принципиально призвана решать два типа задач:
1. Прямая задача - исследование кривизны линии, заданной уравнением.
2. Обратная задача - определение уравнения линии по заданному уравнению её кривизны.
13 традиционных курсах математики обратная задача не рассматривается. Задача эластики является обратной и с выражениями кривизны (1.3) или (1.4)
18
уравнение (1.2) с функцией кривизны, определенной изгибающими моментами, образует нелинейное дифференциальное уравнение искомой упругой кривой.
Задачами эластики в нелинейной постановке занимались Я. Бернулли. Эйлер, Лагранж, Кирхгоф, Клсбш, Сен-Венан и многие другие. Кирхгоф к 1859г. [84) установил тождественность уравнений вращения твердого тела относительно закрепленной точки и уравнений равновесия гибкого стержня деформированного силами приложенными на его концах. Он назвал это сходство уравнений "упругой кинетической аналогией", сейчас называется "динамической аналогией Кирхгофа" и она "указывает на волновой характер описываемых процессов" [63]. Решения задач на основе этой аналогии в настоящее время составляют математический аппарат "теории больших перемещений".
Относительно уравнения (1.1) с выражением кривизны в координатой форме Лагранж заметил, как указывает Ясинский [99], что "интегрирование его при тогдашнем состоянии анализа невозможно и что оно зависит от успехов разработки вопроса о длинах дуг конических сечений". Табулированные эллиптические интегралы Лежандра позволили графически изобразить эластику стержня в продольном изгибе и в поперечном [79, 86, 93, 104, 105].
Общую оценку этих результатов находим в словах С.В. Ковалевской, относящиеся к динамике твердого тела но "аналогия Кирхгофа" позволяет их отнести и к проблеме эластики |69], она читала курс лекций о кривых определяемых дифференциальными уравнениями. "В истории математики не много вопросов, подобно этому заставляли бы так сильно желать своего решения, и к которому было бы приложено столько лучших сил и упорного груда, не приводящих, в большинстве случаев, к существенным результатам".
Такой отзыв невольно вызывает вопрос: почему полученные результаты решения задач эластики и динамики, выраженные в рядах или в эллиптических ищргралах, оказываются несущественными, и какой критерий был положен в основу их оценки?
19
Обычно значимость результатов определяется с точки зрения удовлетворения некоторых требований, которые к ним предъявляются. Очевидно, что результаты решения задачи в табличной или графической форме представления имеют несомненную ценность независимо от пути их достижения. Самое высокое требование - представление их в элементарных функциях или в форме допускающей возможность манипулирования ими при явной связи следствий и причин. Этому требованию полученные решения не удовлетворяют. Путь решения задач основанный на "аналогии Кирхгофа" достаточно сложен преобразованиями и каждое решение эквиватентно научному исследовашпо. Эластика изгибаемых стержней, кроме чистого (кругового) изгиба, не имеет выражений в элементарных функциях и геометрического образа, который дают линии определенные в них, для нее нет. Упругие кривые можно построить достаточно точно по координатам точек, получаемых но значениям табулированных интегралов или последователышми приближениями по "способу кругов кривизны" [67]. но ассоциировать их или в чём-то уподобить с известными элементарными кривыми невозможно.
Ведутся попытки внести что-то новое в представление о проблеме эластики. Так, "вариационные принципы механики позволяют с энергетических позиций решать задачи в общем виде, сводя к минимуму необходимость введения различных допущений. В общем случае поведение гибкого стержня описывается нелинейным дифференциальным уравнением синус-Гордона, которые при известных начальных и граничных условиях раскрывают суть происходящих физических процессов 163]".
В теоретических и прикладных исследованиях геометрии деформирования стержневых систем нашёл распространение "метод нахождения кривых линий, имеющих несущественное отклонение от прямых", предложенный Эйлером. Метол заключается в замене точного выражения кривизны (1.4) приближённым:
К'=<1гу*1<Ьг. (1.5)
20
Эйлер не дал своему допущению математической оценки. До настоящего времени считается [99], что "ограничиваясь рассмотрением весьма "малых деформаций", он счёл возможным принять приблизительно дифференциал дуги ЛЬ за дифференциал абсциссы Лх и преобразовал таким образом точное выражение в приблизительное". Это утверждение в той или иной форме до настоящего времени "доказывается" в учебной и технической литературе.
Разложение выражения (1.4) даёт ряд
чтобы показать, что предложенное им приближённое выражение кривизны
является более точным.
Очевидно, подобная приближенная оценка, как и объяснения замены точного выражения кривизны приближенным, являются недостаточно корректными для представления о влиянии принятого допущения на результаты решений задач зластики.
Попов Е.11. [69, 70] для реализации общего представления о необходимости разработки "совершенно иной прикладной теории изгиба справедливой для сколь угодно больших упругих перемещетій" поставит целью "создание единых и в то же время простых мегодов, которые можно было бы применить к числовым расчётам в любой затаче непосредственно в конечной форме, совершенно не прибегая ни к составлению, ни к решению дифференциальных уравнений и не знакомясь с теорией эллиптических интегралов. Для этой цели предлагается два метода:
Ясинский 199] оценивал замену по остатку этого ряда
К''=Л2у/лЬ2
21
1) аналитический, где нужно пользоваться лишь некоторыми эллиптическими параметрами, числовые значения которых приведены в таблицах, подобно тому, как инженеры пользуются таблицами тригономегрических функций.
2) расчет с помощью диаграмм упругих параметров, которые гак же просты в применении, как диаграммы состояния газов и паров в термодинамике, которыми широко пользуются инженеры".
Позже он дополнил их третьим методом - применение ЭВМ (71].
Основу меюдов Е.П. Попова составляют ранее полученные решения, основанные на "динамической аналогии Кирхгофа" с выражение кривизны (1.3):
(1.6)
ds ds FJ v
где 9 и О - утлы наклона касательной в текущей точке соответственно у пругой линии и начальной кривой (рис. 2). "Выражение для (огибающего момегпа при произвольных нагружениях и очертаниях упругой линии стержня:
М = Л/ j, + А/. + М т + М [,
где Мр = Рг cosSc (у, -у)+Рх -sin5с •(*, -.х),
Mq = S(y-yQÏ q ds cosp* j(x-xG)•</•<* sinM,„ =fm-cls.
S S S
Поскольку Xq и шраютролыюсюянных.
f / (
Mq -\{y • cosjli - x • sin ц) - </ • ds - y J q ■ cos ц ■ ds + x Jq • sin // • ds.
S 3 $
Продифференцируем выражение изгибающего момент а:
dM п dy dx . c , ч dy \
—- = -Pc .-i-.C0Sdr -Pc----Sill 0(7 — • COS /J — X • Sin u)q-----Jqr-COS//•£& +
ds ds ds ds s
dx \ . ,
+ >••</• cosp + —— I q • sinЦ-ds -x q ■ sin// + m.
ds s
22
H = EJ, РІ =-^rf~, A?
Учитывая, что —=sin.9, —=cos0, при обозначениях
<& Л
г *
Pq 'CasSq =jg-cos//*<&, /^•sin^(?=J^-sin/i-<*, (1.7)
У 5
где угол отсчитывается аналогично d'(;, дифференциальное уравнение в компактном виде становится общим для всех рассматриваемых задач:
d2,9 d20 Рс . (Q s v Р9 . (Q s \ m При новых обозначениях:
вг_їґ12
EJ ' ,ч EJ точное уравнение упругой линии іімеег такой вид:
2 d*9 п2 с о2 • С W't2 -2 /і о\
с -ГТ = -0с*тЄс-0ї*т4q+—— + * •—у- (1-8)
ds Н ds
Разделим все задачи об упругом изгибе стержня на гри класса:
1. задачи основного класса,
2. задачи, сводящиеся к основному классу,
3. задачи, не сводящиеся к основному классу.
К основному классу относятся вес задачи, обладающие следующими тремя признаками:
1. начатьная кривизна продольной оси К0 = const (в частности - 0),
2. изгибная жёсткость Н = FJ = const,
3. изгиб происходит только под действием сосредоточенных сил Р и изгибающих моментов А/. При этом произвольными могут быть схемы приложения силы и моментов, виды перемещения их в процессе изгиба, схемы закреплений в опорах и т.д.
Класс задач, сводящихся к основному, включает в себя все те случаи, когда упругую линию можно разбить на конечное число участков конечной длины, причём гак, чтобы каждый из них оказался в условиях задачи 1-го класса.
К классу задач, не сводящихся к основному, относятся тс задачи, в которых не соблюдается какое-либо из условий, определяющих задачи двух о пн-
23
сапных выше классов. Сюда включаются задачи с распределёнными нагрузками, а также задачи для тонких стержней с произвольно меняющейся начальной кривизной и площадью поперечного сечения.
Для задач первого класса при /С0 = 0 уравнение (1.6) принимает вид:
2 2
= п£, гдс£=.9+£, р2 =^4-. (1.9)
Ж Н
Найдём первый интеграл. Для этого используем формулу
£ £
8ІП<5=2§ІП- ‘С08 —
2 2
и умножим обе части уравнения (1.8) на соответствующие части очевидного тождества 2
ds {2j
В результате однократного интегрирования полученного уравнения найдём
(МО)
С - произвольная постоянная определяемая начальными условиями.
Полученный первый шгтеграл (1.10) даёт значение кривизны упругой линии в произвольной точке. Поскольку левая часть (1.10) положительна, то значение С> 0 и не может быть меньше, чем наибольшее значение sin2(£/2) на всей упругой кривой. Будем различать три случая:
a). [sin2|] £C£l, в). 1<С £оо, с). С=1.
v ^утлх
Заметим, что в случае точки перегиба на упругой линии наклон касательной .9(л), а значит и £(.v) принимает там экстремальное значение, причём в точке перегиба имеем K=d£/ds=0.
Поэтому, согласно (1.10), в точке перегиба имеем
(sin2!) =С. (1.11)
V 1/Т.П. и это возможно только в случае (а).
- Київ+380960830922