2
Оглавление
Стр.
Введение............................................................ 4
Глава 1. Ленточные систсмел уравнений 34
1.1. Определения и обозначения..................................... 34
1.2. Оценивание max-нормы обратной матрицы......................... 38
1 3. Оценки элементов обратных ленточных матриц.................... 44
1.4. Условия неофицательности решения чрехдиагональной сине-мы уравнений при наличии диат опального преобладания по столбцам .......................................................... 52
1.5. Условия неотрицательности решения системы уравнений с симметрической циркулянтной матрицей............................. 57
Глава 2. Системы определяющих уравнений для построения интерполяционных сплайнов 67
2 1. ^-сплайны и их свойства....................................... 68
2 2 Линейные соотношения, связывающие значения сплайна и коэффициенты В-сплайн-разложения ею производных ................ 72
2 3. Системы определяющих уравнений. Периодический случай ... 75
2.4. Системы определяющих уравнений. Полный сплайн................. 76
2 5. Соотношения линейной зависимости между разрывами старшей
производной и значениями сплайна.............................. 82
2 6 Вычисление элементов и свойства мафиц определяющих синем
уравнений . 83
Глава 3 Устойчивые меч оды построения сплайнов малых пенсией 93
3 1 Кубические сплайны ............................................ 91
3 2 Си тайны пя!он степени ... 103
3
Глава 4. Оценки погрешности приближения производных интерполяционных сплайнов и их сходимость 114
4.1. Оценка е^ с использованием разложения по £х-нормали-зованным Б-сплайнам...........................................115
4.2. Оценка с использованием разложения по Бс-нормализо-ванным Б-сплайнам............................................ 125
4.3. Оценка погрешности приближения старшей производной .... 129
4.4. Решение проблемы де Бора......................................131
4.5. Эквивалентнойь условий сходимосIи процессов шнерноляции
для производных степени к и 2п — к — 1 .......................133
Глава 5. Условия изогсомсгрической интерполяции 142
5.1. Монотонность кубических сплайнов..............................142
5.2. Положительность интерполяционных сплайнов.....................148
5.3. Условия ^-монотонности кардинальной интерполяции..............152
Глава 6. Об ишернолицин сплайнами четной степени 158
6.1. Задача интерполяции сплайнами четной степени..................158
6.2. Системы определяющих уравнений ...............................160
6.3. Оценки погрешностей приближения производных...................169
6.4. Интерполяция сплайнами четвёртой степени......................172
Заключение 179
Ли юраIура
180
4
Введение
Рассмотрим задачу интерполяции некоторой функции / по значениям {/,}, известным в некоторых точках отрезка [а, Ь]. Ещё совсем недавно стандартным решением такой задачи выступали интерполяционные многочлены Лагранжа, но теперь наиболее распространённым решением являются полиномиальные сплайны, т. е. кусочно-многочленные функции. Сплайнами принято считать функции, являющиеся на иодотрезках отрезка [а, Ь) многочленами обычно одной и той же с шпени, называемой степенью сплайна. Точки сопряжения разных многочленов, составляющих сплайн, называют узлами сплайна. Естественно, сплайны одной и той же степени могут различаться гладкостью или дефектом (разностью между степенью и гладкостью).
Кусочно-многочленные функции появились в теории приближений в разных видах очень давно, в современном виде аппроксимация сплайнами появилась в статье И. Шенберга [164], по началом бурного развития сплайнов, внедрением в вычислительную математику, пожалуй, можно считать 1957 год, открытие Дж. Холлидеем [135] свойства минимума кривизны.
Теорема 0.1 (Дж. Холлидей). Среди всех функций /, имеющих на отрезке [а, Ь] непрерывную вторую производную, и таких, что /(гг,) = /„ г = 0,..., ./V, т.е. принимающих заданные значения, кубический сплайн 5 с узлами о точках х,, для которого б"(а) = 5/;(6) = 0, минимизирует интеграл
Раньше инженеры и чертежники в практической работе для проведения плавных кривых мере< имеющиеся точки часто использовали шбкую репку п иол\чали превосходные результаты, чес о не веема можно бы ю добиться неношен ншерио 1ЯШ1Ю чшиочтипами и ш лекала Оказмиаеня нюспу-
а)
н
5
тя рейка в первом приближении представляет кубический сплайн с узлами в точках изгиба, вторая производного которою есть аналог кривизны. Открытое Дж. Холлидеем свойство послужило объяснением прекрасного профиля изогнутой рейки.
Если в (1) вместо второй производной использовать производную порядка п,
и
I [/<">(*)] V (2)
rt
то функцией, минимизирующей интеграл в классе снова будет
кусочно-многочленная функция, а именно сплайн 5 степени 2п — 1 класса С2,,_2[а,6] (дефекта 1) опять с узлами в точках интерполяции (см. [179], [96], [102]). Такое свойство сплайна степени 2п — 1 называют свойством минимальной нормы [1].
Сплайн 5, минимизирующий (2), принято называть «ттуральшиир, он характеризуется тем, что на концах отрезка [а, 6] его старшие производные обращаются в 0, а именно
eM(a) = 6(t,)(b) =0, I/ = п,... ,2п - 2. (3)
Можно при минимизации потребовать чтобы вместе с интерполяцией функции / в узлах сетки осуществлялась ещё интерполяция производных, вновь решением будет сплайн, но, вообще говоря, уже большего дефекта. Также классическим, но более распространённым в приложениях по сравнению с натуральным сплайном, является сплайн который помимо функции интерполирует лишь по 71-1 производных на концах отрезка [и,Ь\:
*“-»(«) = Г'(«), ^{Ь) = i/ = - 1. (1)
Чакои сплайн называется «лолныли, дефект у нею также минимален (дефекта 1) Именно сплайны минимальною дефокы иредс твляюг наибольший интерес
б
Одно из направлений развития и обобщения теории сплайнов, называемое вариационной или абстрактной теорией сплайнов, связано с определением сплайнов, как решений некоторых вариационных задач о минимуме функционала (см. [8], [51|, [66|, [68], [81], [82], [99], [129]).
Сплайны естественным образом возникают и во многих других задачах теории приближения, например, оптимальное восстановление операторов, оптимальные квадратуры, поперечники классов функций (см. [38], 163], [64], [90], [167]).
По всё-таки, как пишет Н. П. Корнейчук в своей монографии [63], “вторжение сплайнов в теорию приближения произошло через задачи интерполирования функций”. Преимущества сплайнов перед другими аппаратами приближения обнаружилось именно в задачах интерполяции. Н. П. Корнейчук указывает два аспекта, в которых эти преимущества проявились наиболее убедительно:
“1) Интерполяционные сплайны в ряде важных случаев обеспечивают минимально возможную (при фиксированной размерности) погрешность приближения на классе функций. Интерполяционные многочлены не обеспечивают даже наилучшего порядка.
2) Сплайны - аппарат более удобный, чем многочлены с вычислительной или — скажем шире — с практической точки зрения. Если говорить о сплайнах минимального дефекта по фиксированному разбиению, обладающих паилучшими аппроксимативными свойствами, то практические удобства связаны с наличием в подпространсгве таких сплайнов базиса из /7-снлайнов с конечным носителем. Именно эго обстояiельство обусловливает локальную гнбкопь интерполяционного сплайна, выражающуюся, в частности, — в отличие от пн юриоляционнш о многочлена — в чалой чув-ечвигелыюети к шмрешностям в исходных данных, небольшое изменение значении функции водной или несколькихсоседних Iочках интерполяции ма к) сказывается на повеление ишерпо шциошюю еп мина на некоюром
7
удалении от этих точек. С этим же связан и тот факт, что интерполяционный сплайн, хорошо приближая функцию, одновременно хорошо приближает и её производную” [63].
Хогя далее Н П. Корнейчук указывает, что и при вычислении интерполяционного сплайна, “приходится сталкиваться со значительно меньшими трудностями, чем при вычислении многочлена”, однако для сплайнов высоких степеней на произвольных неравномерных сетках сколько-нибудь полного исследования о вычислительной устойчивости имеющихся методов построения шпериоляционных сплайнов нет.
Конечно же, в настоящее время сплайны полномасштабно внедрились в вычислительную математику, и, пожалуй, не осталось ни одного раздела вычислительной математики, связанного с аппроксимацией функций, где сплайны не нашли бы применения. Но всё-таки, на наш взгляд, по-прежнему большинство задач связано с интерполяцией функций.
Основным объектом данной диссертации являются интерполяционные сплайны. Именно классические интерполяционные полиномиальные сплайны нечётной степени минимального дефекта, у которых узлы совпадают с Iочками интерполяции. (Мы затронем и интерполяционные сплайны четной степени, но они по своим свойствам существенно отличаются от сплайнов нечётной степени). Нас в первую очередь интересуют два основных вопроса: методы построения интерполяционных сплайнов и изучение сходимости процессов интерполяции для всех производных.
Пусть сетка Д является разбиением отрезка [а, Ь\:
Д : а = Х|» < х\ < ... <х\ -Ь
Символом (Д) или 3, будем обозначать множество всех полиномиальных сплайнов на отрезке [а,/т] порядка г (или степени г — 1) минимальною дефекта е > ыами на сетке Д, т е
(Л) = с, = {*ес-V') : И, — и, 1. .л-1},
8
где через Р, обозначено множество всех многочленов степени г — I. Считаем, что в узлах сетки Д заданы значения /, некоторой функции /:
/; = /(а:;). і = 0,...,ЛГ.
Мы рассматриваем задачу построения сплайна д Є §>„(Д), интерполирующего заданные значения. Для однозначного определения сплайна нечётной степени 2п — 1 при п ^ 2 необходимы дополнительные условия. Обычно дополнительные условия задают на краях отрезка [а, Ь].
Можно, конечно, не задавать никаких условий, а в качестве единственного сплайна брать натуральный сплайн, который минимизирует интеграл (2). Такой сплайн удовлетворяет условиям (3), которые называют «естественными» краевыми условиями. Однако вопреки своему названию натуральный сплайн, т.е. сплайн с естественными краевыми условиями, не очень естественен для приложений и мало пригоден для практического применения. Это связано с тем, что естественные краевые условия, как правило, не согласуются с решаемой задачей. Если производные интерполируемой функции порядка I = п,..., 2п — 2 далеки от нуля на концах отрезка [а, 6], то качество приближения натуральным сплайном вблизи концов будет плохим. Но правильный выбор краевых условий, как правило, даст замечательные результаты.
На практике существует много рецептов какие краевые условия следует использовать в зависимости от известной дополнительной информации о функции /. Наилучшие результаты доегшаются при использовании на концах 01 резка [л, Ь] значений младших п—1 производных, если они и шест-иы. Как уже оімечалось, это будет полный сплайн, т с шпериоляциоиный сплайн с краевыми условиями (й)
Распространен еще одни гии краевых условий — периодические. Они используются в том случае, если ингорно нфуемая функция / явіяокя (Ь - (і)-иорііодііче(кои 'Гогда шперпо шпионами си іапн < чіпаєм иске
9
(Ь - а)-нсриодичсски\1.
Пас будет интересовать решение задачи интерполяции полными сплайнами или периодическими.
Практическое построение сплайна заключается в определении каких-либо параметров (коэффициентов) сплайна, участвующих в его представлении. Простейшими сплайнами являются ломаные (л = 1), при их вычислении и исследовании сходимости процессов интерполяции не возникает никаких трудностей. Но уже кубические сплайны (л = 2) и выше являются нелокальными, и для нахождения определяющих нарамечров необходимо решать систему уравнений, вытекающую из интерполяционных условий. Конкрегный вид системы и её свойства определяются набором парамег-ров, используемых для представления сплайна или, говоря другими словами, базисом в конечномерном пространстве полиномиальных сплайнов.
Наиболее понятный и очевидный метод построения интерполяционного сплайна в базисе из степенных и усеченных степенных функций приводит к системе уравнений с сильно заполненной матрицей. К тому же эта матрица оказывается очень плохо обусловленной даже в случае равномерной сспки. Поэтому поп роение интерполяционного сплайна в базисе из усеченных степенных функций оказалось не приемлемым с практической точки зрения.
Гораздо более удачным оказалось представление сплайна через узловые значения какой-либо из его производных. Получаемые системы уравнений имеют ленточную етруюуру. А для кубического сплайна системы ошогн-тельио наклонов сплайна (первых производных) в узлах и моментов (вю-рых производных), являясь трехднагональными, имеют кроме того еще диагональное преобладание Указанные свойства систем )равнений позволяют использовать очень эффективный и падежный метод решения метод проюнкн (см [1|, [5|, [6|, [Г2|, [811, [82], |87|)
Привлекателен выбор в качестве опредс инощич параметров ммап-
10
на коэффициентов его разложения но базису из нормализованных /З-силайнов. В-силайны имеют конечный носитель, и существует устойчивый мсгод вычисления этих базисных функций произвольной степени, основанный па рекуррентном соотношении Хотя В-сплаЙновая коллока-ционпая матрица является вполне неотрицательной ленточной матрицей, и при решении системы уравнений с этой матрицей методом Гаусса отпадает необходимость осуществлять выбор главного элемента для проведения исключения [119], тем не менее этот метод построения имеет ограниченное применение. Его можно с уверенностью использовать только на сетках, близких к равномерным, или специальной структуры, в противном случае обусловленность системы уравнений данного метода может стать сколь угодно плохой [42]. (Под величиной обусловленности мы понимаем произведение равномерных или таамюрм матрицы и её обратной). Заметим, что величина обусловленности не всегда полностью характеризует матрицу в таком вопросе как решение системы линейных уравнений, по относительно малое её значение является гарантией хорошей точности численного решения системы [2]. Конечно, в отдельных случаях система уравнений может устойчиво решазься и при плохой обусловленности, но в данном случае в
[108] показано, что при интерполяции кубическим сплайном данных вида /| = $1,к (фундаментальный сплайн) на сильно неравномерных сетках при значительном удалении от узла ссгки хвозможен нсофаиичениый рост осцилляций сплайна и, следовательно, /З-сплайн-коэффициеитов и элементов обратной матрицы. Здесь плохая обусловленность и накопление ошибок округления при решении системы тесно взаимосвязаны.
Если для кубических сплайнов вопрос выбора параметров предо!лв-леппя уже достаточно хорошо проработан, выделены устойчивые, хорошо обусловленные методы иос1 роения, то для сплайнов более высокой степени нет такой полной определенное ш Казалось бы надо выбрать параметрами представления с и шика шлчення в > илч естки одной и* производных
11
сплайна, но получение соответствующих систем уравнений является довольно непростой задачей. В литературе известна только одна такая система — относительно моментов (относительно (2п - 2)-Й производной, если степень сплайна равна 2п — 1), полученная Дж. Албергом, Э. Нильсоном и Дж. Уолшем [1]. Но уже для сплайнов пятой степени и выше матрица этой системы не только не имеет диагонального преобладания в общем случае, но и может быть сколь угодно плохо обусловленной при существенно неравномерном размещении исходных данных [10]. Система относительно моментов не получила расирост ранения в силу её громоздкости и плохой обусловленности. Пожалуй единственный способ нахождения сплайнов произвольной степени, который получил распространение, это метод вычисления сплайнов через разложение по #-силайнам. Достоинство этого метода связано с вычислительной простотой определения элементов системы уравнений, основанной на устойчивом рекуррентном соотношении для /?-сплайнов.
Однако метод вычисления интерполяционного сплайна через В-сплай-ны нельзя считать лучшим из возможных. Например, в кубическом случае предноч!тельной альтернативой выступают алгоритмы вычисления сплайна через наклоны или моменты, обусловленность матриц которых на любой неравномерной сетке не превосходит 3. Несмотря на то, что для сплайнов произвольной степени ^-онлайновая коллокациоипая матрица является ленточной и вполне неотрицательной, для неё, как и в кубическом случае, обусловленность может быть сколь угодно плохой [18].
Можно упомянуть ещё про некоторые способы решения задачи интерполяции для сплайнов произвольной степени |98], |84], однако какой-либо анализ устойчивости вычисления параметров сплайнов при этом отсутствует. Таким образом, задача поиска хорошо обусловленных способов построения интерполяционных сплайнов высоких степеней предс гавляегся достаточно акгуа шпон и вое грсбованной
12
Второй вопрос, который мы изучаем в диссертационной работе, это исследование сходимости процессов интерполяции. Впервые вопрос о сходимости процессов интерполяции для сплайнов и их производных при минимальных требованиях гладкости интерполируемой функции был поставлен И. Шёнбергом, которого считают отцом сплайнов, в 1963 году на конференции в Обервольфахе (ФРГ) [157, р. 189|.
Задача состоит в следующем. Рассмотрим последовательность сплайнов {б} степени 2п — 1, интерполирующих некоторую функцию / на поеледо-вахельносш (сток {Л} таких, чго
к = шах (гс,4-1 — х,) —+ 0 при N —> оо.
О^Л'-Г '
Буде1* ли иметь место сходимость 5^ ^ к для произвольной функции / € Ск[а, Ь] (0 ^ к ^ 2п - 1) ? Если сходимости в общем случае нет, то каким ограничениям должна удовлетворять последовательность сеток {А}, чтобы сходимость имела место? Мы будем говорить только про сходимость в равномерной метрике.
Для последовательности сеток с равномерным распределением узлов сходимость для любой производной есть всегда [1], [87], здесь актуален вопрос отыскания точных констант (см. [63)). Для произвольных сеток вопрос значительно сложнее. По началу большинство усилий было направлено на кубические сплайны. Было установлено, что для кубических сплайнов сходимость без каких-либо ограничений на сетки имеет место при к = 1 пли к = 2 [171]. А шучение сходимости самих сплайнов в С [а, Ь] и третьих нрои людных в С*[а,6] растянулось ещё на десяток лет.
В 1966 году А. Шарма и А. Меир [171] установили, чю если на последовательность сеток {А} наложено охраннченне
^ II < оо.
('>)
— глобальная характеристика сети, то сходимость сплайнов имеет место для любой непрерывной функции /. А в 1967 г. С. Нордом [156] был построен пример расходящегося процесса на последовательности сеток, для которой условие (5) нарушено. С. Б. Стечкин и 10. Н. Субботин [86] усилили пример С Норда, они пытались определить максимально широкий класс функций, для которых соответствующая последовательность интерполяционных сплайнов безусловно сходилась бы к ним. В результате их рабо г [86], [87], и работы Ал. А. Привалова было установлено, что необходимым и достаточным условием является принадлежность функций классу Ьір 1.
Э. Чеиьи и Ф. Шурер [120] показали, что условие (5) не является необходимым для сходимости в С[ауЬ]. В их примере последовательности сеток Яд —у оо, но сходимость имеет место для любой интерполируемой непрерывной функции. Они предложили изучать сходимость процессов интерполяции при ограничениях на локальные характеристики сеток
Н
Ра = шах т- ^ р < оо. (6)
|і-д=і
Исследованию сходимости процесса интерполяции в терминах локальных характеристик сеток был посвящён ряд работ. Вначале А. Меир и А. Шарма [152] показали сходимость кубических сплайнов на любой иоследоваїельно-сти сеток, удовлетворяющей оіраничению (6), если р < у/2. Затем Э. Чеиьи и Ф. Шурер |121] получили нскоюрое улучшение р < 2. В этом же юду (1970) Ю С.Завьялов [39] ещё усилил результат сходимости р < 1 + \/2, и этот же результат был повторён в 1973 г. Ч. Холлом (133). Дальнейшее улучшение установил М Марсден [149], он показал, чю в классе С[п,/>] всегда есіь сходимость при выполнении условия (6) с р ~ 2.439, а при р > //,
14
привел пример последовательности сеток, где процесс может расходиться (последовательность норм соответствующих операторов интерполяции расходится). Во всех этих работах рассматривались кубические сплайны с периодическими краевыми условиями, а Т.Лич и Л. Шумейкер [147] повторили большинство из приведённых результатов и для других краевых условий.
Как пишет Ю. Н. Субботин [90], после знакомства с работой Ю. С. Завьялова [39] у него возникла идея как усилить метод доказательства Ю. С. Завьялова, и вскоре эта идея была блестяще реализована его учеником Н. Л.Зматраковым [43]. Он показал, что если р < р* и последовательность сеток удовлетворяет условию (6), то последовательность интерполяционных кубических сплайнов равномерно сходится к интерполируемой непрерывной периодической функции. Н. Л. Зматраков построил достаточно тонкие и сложные примеры, показывающие, что если р > р*, то существует непрерывная периодическая функция и последовательность сеток, удовлетворяющая (6), такие, что соответствующая последовательность интерполяционных кубических сплайнов расходится хотя бы в одной точке. Независимо от Н. Л. Змат ракова окончательный результат о сходимости при р < р* повторил К. де Бор [108]. Более простыми способами, чем у Н. Л. Зматракова, эти же результаты о сходимости и расходимости получил В. Л. Мирошниченко [71], [42], причём не только для периодических краевых условий.
Исследование сходимости 5;" к /"' в классе С$[а,6] в терминах локальной характеристики сеток также изучаюсь А. Шармой и А. Менром (171], К) С. Завьяловым (39], по окончательное решение оиять-таки было получено Н.Л.Зматраковым [15]. Причем ограничения на последовательноегь сеток ока зллись такими же, как и для сходимости самих сплайнов в С[я, 6], а именно* при р < р' имеет место сходимость, а при р ^ // есть (п-ки, на коюрых процесс б}дег рлехощіьея. Отметим, чю в да іьнейшсм
15
Н. Л.Зматраков продолжил изучение сходимости и сплайнов, и третьих производных в метрике Ьр (см. [44], [46], [47], [180]). Упомянем еще об одной характеристике сеток
,і‘ % і
рА.т = , тах —, т > 1,
|і-Д=т
обобіцающей локальную сеточную характеристику. Изучение сходимости интерполяционных процессов для кубических сплайнов в терминах /?д|Ш рассматривалось в работах |43|, [48], [138].
Для интерполяционных сплайнов более высоких степеней, чем кубические, результатов не так много и, особенно, окончательных. Первый результат, который можно считать окончательным, это результат К. де Бора [104] о сходимости третьих производных сплайнов пятой степени в классе С1}а, 6] без каких-либо ограничений на последовательность сеток (небольшая погрешность доказательства была исправлена им в работе [115] и там же указано, что сходятся и четвёртые производные сплайнов седьмой степени в С4[а,6], указан путь доказательства, по сами вычисления не приведены). Позднее (1973) К. де Бор предположил, что и в общем случае сплайнов 5 степени 2п — 1, интерполирующих функцию / Є Сп[а,Ь]} имеет место безусловная равномерная сходимость к /М. Эквивалентная формулировка этого предположения более известна как знаменитая гипотеза К. де Бора [105], за которую был объявлен денежный приз, об ограниченное! и нормы операторов наилучшего среднеквадратичною приближения сплайнами степени п — 1 как операторов из С[а,Ь] в С[а,Ь\ константой, зависящей только оі л, но не от сетки.
В 1975 году К.до Бор [107] показал, чю сходимость к /(,), если шпериолируемая функция / класса С] [а, 6], бсм оі раничений на сотки при к = 0,....п — 2 невозможна, дополнительно он сказал, чю и при А* = и + 1, . ,2п - 1 безусловная сходимость іакже невозможна, но докл-иго іьсгва мою флкід не приве і, а сообщи і, что оно б\деі ои)б шковано
16
где-либо еще (об этом доказательстве в более поздних работах К. де Бора нам ничего не известно). В этой же работе было высказано дополнительное предположение о безусловной сходимости а*"“1) к в классе С"~1[а,Ь\. Нами [10| в 1984 г. были найдены такие числа рЦ\ к = 0,...,п - 2 и к = п -г 1,..., 2п - 1, и при любых р > р\^ приведены последовательности сеток, удовлетворяющие условию (6), на которых интерполяционные процессы расходятся для соответствующих к, если / Є СК[а,Ь].
Сходимость пі)оцессов интерполяции в общем случае была доказана только для п-й производной при ограничениях (5) опять же К. де Бором
[109]. Им же при этих же ограничениях установлена и сходимость самих сплайнов [110], а Ю.Н. Субботиным [89] — сходимость к /М для функций / из С^[а,6], 0 ^ к < 2п - 1, также при ограниченности глобальных характеристик последовательности сеток Некоторые неокончательные результаты о сходимости при ограничениях на соседние шаги сеток (локальные характеристики) получены только для к = ОС. Фридлендом и
Ч. Мичелли [130] с привлечением специально разработанной и достаточно сложной техники теории осцилляционных матриц. Нам удалось эти условия перенести на случай к — 2п — 1 [11]. Небольшое улучшение условий С. Фридленда и Ч. Мичелли для сплайнов пятой степени, а также некоторые условия на сходимость первых и вторых производных, были получены АЛО. Шадриным [94], [108].
И, наконец, отметим, что в 2001 году А. Ю.Шадрин [170] решил знаменитую проблему К. де Вора, установил безусловную сходимость з1,,) к
для функций / из Сп\а}Ь\. Укажем ряд работ, в которых разбирались чайные случаи пшотегм К.де Бора [136], (128), [154], [139].
Приведенный здесь краткий обзор результате но обозначенным ран» е вопросам — методы иоегроения интерполяционных сплайнов и сходимость иімсріїо.іяциоішоїонрощчса при минимальных ірсбонанмях гладкости ин-герпо шрм’мой фчімціи не нреюндич на поіиоіу, а оіражаст лишь
17
интерес автора к затронутым вопросам. Имеется много работ по изучению сходимости производных интерполяционных сплайнов при повышенной гладкости интерполируемой функции, в частности, если / 6 См[а,Ь], то и сплайны, и п производных сходятся без каких-либо ограничений на сетки (см., например, [1], [87)). За рамками обзора остались вопросы сходимости в других метриках, а также вопросы построения и сходимости интерполяционных сплайнов более высокого дефекта.
Диссертация состоит из оглавления, введения, основной части, включающей шесть глав, заключения и списка литературы. Краткое содержание основной части приводится далее. Нумерация разделов внутри главы формируется из номера главы и иомера раздела, разделённых точкой.
Первая глава является вспомогательной и включает в себя 5 разделов. Она полностью посвящена вопросам решения систем линейных уравнений и оцениванию норм обратных матриц. Дальнейшее решение вопросов в следующих главах опирается на результаты устанавливаемые в этой главе. Хотя эти результаты и носят вспомогательный характер, однако они могут представлять и самостоятельный интерес, а также могут быть использованы в других разделах математики.
Раздел 1.1 состоит из основных определений и обозначений. В разделе 1.2 обсуждаются способы и возможности оценивания норм обратных матриц. Приводятся небольшие усиления известных оценок таких норм для матриц монотонного вида с диагональным преобладанием и вполне неотрицательных матриц (см. [42, Добавления], [104]). Результат данного раздела, представляющий наибольшую ценность, следующий.
Теорема 1.7. Для любой невыроэ/сдепной вполне неотрицатыъной матрицы А существует диагошыьпая матрица С = diag(7i,... ,7д) такая, что а, ,7, + 5j(“l),'tJ«# f{} — р = const, i = 1,..., N, где 0 < % ^ 1,
||C|U = 1, и имеет мшпо равенство ||Л-1||Ч = 1/р.
- Київ+380960830922