Формирование и разрушение фазовой когерентности в нелинейных резонансных средах при регулярных и хаотических колебаниях

ОГЛАВЛЕНИЕ
ВВЕДЕНИЕ. 7
ГЛАВА 1. ОБОБЩЕННЫЕ ГИПЕРГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ КОГЕРЕНТНЫЕ СОСТОЯНИЯ. КОГЕРЕНТНЫЕ СОСТОЯНИЯ АТОМА ВОДОРОДА И КВАЗИКЛАССИЧЕСКИЕ ЛОКАЛИЗОВАННЫЕ ВОЛНОВЫЕ ПАКЕТЫ ЭЛЕКТРОНА В РИДБЕРГОВСКОМ АТОМЕ 22
1.1 Формулировки квантовой механики, использующие коммутативные функции..................................................24
1.1.1 Бозонные подстановки для алгебр некоммутирующнх операторов......................................................24
1.1.2 Обобщенное представление Вейля и метод фазового пространства....................................................31
1.1.3 Метод когерентных состояний............................37
1.2 Обобщенные гипергеомстрические когерентные состояния 50
1.2.1 Определение и общие свойства состояний.................50
1.2.2 Процедуры перехода к классическому пределу. Квазиклас-
сическис состояния.....................................53
1.3 Структура динамической алгебры атома водорода. Бозонные подстановки и представление фазового пространства............66
1.3.1 Алгебраический подход к проблеме спектра связанных состояний. Вспомогательное представление.......................66
1.3.2 Бозонные подстановки и схемы сужения на подгруппу. . . 69
1.3 3 Асимптотические разложения функций на фазовом про-
странстве в случае больших квантовых чисел.............73
1.4 Точные и квазиклассическис выражения для волновых пакетов, соответствующих когерентным состояниям атома водорода. ... 78
1.4.1 Схемы построения когерентных состояний................78
2
1.4.2 Квазиклассические локализованные волновые пакеты. ... 83 1 5 Обсуждение результатов и выводы....................................90
ГЛАВА 2. КОГЕРЕНТНЫЕ СОСТОЯНИЯ УНИТАРНЫХ ГРУПП. УНИТАРНАЯ ДИНАМИЧЕСКАЯ СИММЕТРИЯ В СИСТЕМЕ МНОГОУРОВНЕВЫХ МОЛЕКУЛ И ПРОБЛЕМА СВЕРХИЗЛУЧЕНИЯ. 93
2.1 Бозонные подстановки и метод фазового пространства в теории унитарных групп...............................................95
2.1.1 Представление фазового пространства для операторных функций и проекционных операторов.............................95
2 1.2 Дифференциальные реализации алгебры генераторов и
асимптотические разложения ”в окрестности” классического состояния............................................100
2.2 Когерентные состояния унитарных групп......................103
2 3 Расчет статистических характеристик поля сверхизлучения. . . . 109
2.3.1 Взаимодействие ансамбля многоуровневых молекул с излучением. Обобщенная модель Дике.............................109
2.3.2 Сверхизлучение при нулевой температуре.....................113
2.3 3 Функция спектральной кратности. Температурная зависимость сигналов сверхизлучения..............................118
2 4 Управляющее уравнение сверхизлучения многоуровневых молекул. 121
2 5 Квантовая центральная предельная теорема...................126
2.6 Коэффициенты векторного сложения в базисе когерентных состояний......................................................132
2.7 Обсуждение результатов и выводы...................................137
ГЛАВА 3. ДИНАМИКА НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ С ПАРАМЕТРОМ ВРАЩЕНИЯ, ЯВЛЯЮЩИМСЯ ФУНКЦИЕЙ СОСТОЯНИЯ. ОБОБЩЕННЫЕ МОДЕЛИ ИКЕДЫ. 140
3.1 Уравнения нелинейной динамики и динамические отображения.
Типы динамических режимов и методы их описания...................143
3 2 Кольцевой резонатор с нелинейным элементом, возбуждаемый ко-
герентным светом.................................................165
3 2.1 Вывод уравнений движения. Двумерное динамическое
отображение................................................165
3
3.2.2 Аналитические формулы для описания хаотического ат-
трактора. Сведение двумерного отображения к одномерному.................................................. 170
3 2 3 Численный анализ нелинейной динамики. Мультистабиль-
ность, связанная с перестройками хаотического аттрактора, и хаотические автоволны...........................175
3.2.4 Влияние ’’шума” на режимы когерентного движения. . . 180
3 3 Нелинейная динамика ядерных спинов в ферромагнетике............184
3 3.1 Вывод уравнений движения. Трехмерное динамическое
отображение и хаотический аттрактор.....................185
3 3 2 Аналитическое описание фрактальной структуры аттрактора .........................................................188
3.4 Нелинейная динамика коллективных колебаний в системе параметрически возбужденных волн в магнетиках.........................190
3.4 1 Описание физической системы. Модель с непрерывным
временем................................................191
3.4.2 Двумерное динамическое отображение......................194
3 4.3 Результаты численного моделирования.....................198
3 5 Нелинейная динамика намагниченности в одноосном ферромагнетике........................................................200
3.5.1 Уравнения движения. Двумерное динамическое отображение на сфере..................................................201
3.5.2 Численный анализ нелинейной динамики....................204
3 б Обсуждение результатов и выводы........................210
ГЛАВА 4. ХАОС И ПРЕОБРАЗОВАНИЕ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ В НЕЛИНЕЙНЫХ ДИССИПАТИВНЫХ СИСТЕМАХ С ЗАПАЗДЫВАЮЩЕЙ ОБРАТНОЙ СВЯЗЬЮ: ПРЕДЕЛ СИЛЬНОГО ПЕРЕМЕШИВАНИЯ. 212
4 1 Стохастическое конечно-разностное уравнение. Предел сильного
перемешивания.................................................214
4.2 Аналитическое выражение для максимального показателя Ляпунова в состоянии с полным фазовым перемешиванием..................226
4
4 3 Метод расчета многоточечных корреляционных функций в пределе сильного перемешивания.................................229
4.4 Стационарное решение стохастического уравнения в форме разложения ’’вблизи” состояния с полным перемешиванием фазы. . . 237
4.4.1 Построение формального разложения.....................238
4 4 2 Доказательство сходимости. Обсуждение роли ’’быстрых”
флуктуаций............................................242
4 5 Хаос с сильным перемешиванием в системе, описываемой трех-
мерным отображением.........................................248
4.6 Обсуждение результатов и выводы.............................254
ГЛАВА 5. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ФРАКТАЛЬНЫХ СТРУКТУР, АССОЦИИРОВАННЫХ С НЕЛИНЕЙНОЙ ДИНАМИКОЙ И ПРОЦЕССАМИ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ШУМА. 256
5 1 Инвариантные распределения диссипативных случайных отобра-
жений и интегралы по мультифракталам........................258
5.1.1 Определение интеграла по мультифракталу...............258
5.1.2 Преобразование смеси дихотомического и гауссова
’’шума” линейной системой.............................259
5.1.3 Преобразование гауссова ’’шума” системой, описываемой
отображением Икеды....................................260
5.2 Условия сходимости интегралов по мультифракталам............262
5 2.1 Интегралы 1-го рода...................................264
5.2.2 Интегралы 2-го рода...................................264
5.2.3 Пример расходящегося интеграла второго рода от равномерно непрерывной функции 266
5.3 Структура носителя при различных коэффициентах сжатия. . . . 267
5.4 Масштабирующее уравнение. Интегралы по мультифракталам и обобщенные функции..........................................270
5.5 Визуализация фрактальной структуры с помощью вейвлетов.. . . 273
5.6 Обсуждение результатов и выводы.............................282
ГЛАВА 6. КВАЗИСТАТИЧЕСКИЕ ДИССИПАТИВНЫЕ РЕЖИМЫ В КОМБИНАЦИОННО-АКТИВНЫХ СРЕДАХ. МОДЕЛИРОВАНИЕ
5
ДИНАМИКИ ЛОКАЛИЗОВАННЫХ СТРУКТУР С ПОМОЩЬЮ ДИНАМИЧЕСКИ АДАПТИВНОЙ ЧИСЛЕННОЙ СХЕМЫ. 284
6.1 Вынужденное комбинационное рассеяние света в квазжтатиче-ском режиме..........................................285
6.1.1 Вывод квазистатических уравнений движения, учитывающих динамику заселенностей. Эффект насыщения интенсивности.............................................286
6.1.2 Нелинейно-волновые образования при вынужденном рассеянии света.........................................290
6.2 Адаптивная численная схема для моделирования динамики локализованных структур на основе вейвлетных разложений..294
6.2.1 Представление функции и операторов в вейвлет - пространстве 296
6 2.2 Описание численной процедуры...................302
6.2.3 Моделирование динамики доменной стенки.........303
6 3 Обсуждение результатов и выводы......................312
ЗАКЛЮЧЕНИЕ. 314
СПИСОК АВТОРСКИХ ПУБЛИКАЦИЙ. 317
СПИСОК ЦИТИРУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ. 322
СПИСОК СОКРАЩЕНИЙ. 319
6
ВВЕДЕНИЕ.
Актуальность работы. Уровень развития микро- и нанотехнологии, достигнутый в настоящее время, делает возможным создание элементов электроники, функционирующих по законам квантовой микрофизики. В частности, проектируются и разрабатываются устройства, позволяющие формировать, преобразовывать и диагностировать квантовые состояния микрообъектов, осуществляя тем самым элементарные действия, требуемые для выполнения вычислении и передачи информации [1-10]. Уже существуют экспериментальные установки, дающие возможность управлять квантовыми состояниями одиночных атомов (ионов), удерживаемых в радиочастотных ловушках, и запутанными состояниями [2] атомных (ионных) цепочек; формировать кооперативные сверхизлучающие состояния и состояния с подавленным спонтанным распадом в атомных ансамблях [3-5] и молекулярных кристаллах [б]; создавать когерентные состояния ридберговских атомов [7] и высокоспиновых нанокластсров [б, 8]. Обсуждаются методы управления состояниями твердотельных мезоскопических систем (квантовых точек, нанокластеров и других наноструктур) (9, 10].
Фактором, стимулирующим усилия, направленные на дальнейшее развитие этого направления в наноэлектронике, стали результаты теоретических исследований в области квантовых вычислений, свидетельствующие о высокой эффективности квантовых алгоритмов в сравнении с классическими [11-13]. Для создания реальных устройств, осуществляющих квантовые вычисления, необходимо, однако, не только решить ряд трудных технологических проблем, но и достигнуть более глубокого понимания фундаментальных положений квантовой теории, и прежде всего - теории измерений. В центре внимания оказывается проблема корректного описания реальных измерении и учета механизмов декогерентизации, приводящих к изменению "измеряемого” квантового состояния вследствие взаимодействия с ”измерительным прибором” [14-17].
7
Задача об измерении квантового состояния в строгой постановке требует описания квантовой временной динамики двух взаимодействующих подсистем - объекта измерения 2, являющегося системой с небольшим числом степеней свободы, и системы С, играющей роль ’’измерительного прибора” - с переходом к классическому пределу для состояний системы С. Данная модель обладает большой общностью и применима во всех случаях, когда исследуется поведение микрообъектов и физическая информация переносится с квантового уровня на классиче( кий (макро) уровень. Возможная неоднозначность конечного результата теоретического анализа, основанного на использовании этой модели, может быть связана с выбором способа установления квантово-классического соответствия. По этой причине не теряет актуальности задача разработки расчетых методов для описания квантовой когерентного динамики, позволяющих осуществлять переход к классическому описанию. Особый интерес представляют методы, пригодные для описания мезоскопических систем, занимающих как бы промежуточное положение между классическими макросистемами и квантовыми микросистемами (одиночных высоковозбужденных атомов (1,7); макромолекул и нанокластеров [6,18], включающих в себя сравнительно небольшое число атомов, и др.).
Наиболее известные квазиклассичсскис методы, вошедшие в учебную литературу метод ВКБ [19], метод функции Вигнера [20], метод полевых когерентных состояний [21] - не решают проблему исчерпывающим образом. Более глубокое понимание закономерностей квантово-классического соответствия достигается в работах, посвященных исследованию динамических симметрий и построению обобщенных когерентных состояний [22-24], где показано наличие глубокой связи между типом алгебры наблюдаемых (динамической алгебры) и характером квазиклассического поведения. Алгебраический подход к анализу квантовых систем позволил получить ряд важных результатов, среди которых: классификация адронов по мультиплетам групп 8ЩЗ) и 811(6) [25], описание атома водорода на языке представлений группы 0(4,2) [26], введение обобщенных когерентных состояний в пространствах представлений различных динамических групп [23-24], описание явления кооперативного спонтанного излучения (сверхизлучения) с помощью когерентных состояний групп 811(2) [27, 28] и 8и(п) [29, А2], и др. Его применение к системам со сложной иерархической структурой алгебры наблюдаемых (с включением в рассмотрение вопро-
8
сов формирования режима когерентной динамики в микро- и мезоскопических системах, декогерентизации и квантово-классического соответствия) можно отнести к актуальным и перспективным теоретическим подходам в физике наносистем и наноэлектрониых устройств.
Протекание процесса декогерентизации в нелинейных квантовых системах, находящихся в состояниях, близких к состояниям классического движения, существенным образом зависит от характера когерентной динамики. В том случае, если движение в классическом пределе является сильно неустойчивым, происходит экспоненциальное нарастание флуктуаций, ведущее к быстрой потере когерентности. Моделируя динамику квантовой системы, находящейся в состоянии, близком к классическому, динамикой некоторой классической системы, возмущенной флуктуациями, можно воспользоваться методами теории динамического хаоса. Хаотизация движения в системах с детерминистическим движением в настоящее время изучена достаточно полно и глубоко [30-35]. Описание явления динамического хаоса в системах, для которых (вследствие классических флуктуации или квантового принципа неопределенности) само понятие фазовой траектории не имеет смысла, является, однако, несравненно более трудной задачей. В то же время следует отмстить, что учет факторов любой природы, нарушающих детерминистичность движения, имеет принципиально важное значение, поскольку в системах с экспоненциальной неустойчивостью никакие возмущающие воздействия не могут считаться пренебрежимо малыми. Эта задача фактически эквивалентна задаче о преобразовании стохастического процесса нелинейной системой в самой общей постановке. Теория, описывающая общие закономерности таких преобразований, в настоящее время отсутствует. Традиционно в центре внимания находятся вопросы динамического обоснования статистической механики [36]. Результаты, полученные в этой области, и различные результаты для частных модельных систем не исчерпывают, однако, проблемы, оставляя широкое поле для дальнейших исследований.
В последние десятилетия компьютерные методы заняли ведущее положение среди различных методов изучения нелинейных явлений. Стремление к повышению эффективности исследований (проводимых обычно в условиях дефицита вычислительных ресурсов) породило методологию, в соответствии с которой всестороннему анализу подвергаются специально отобранные ”базо-
9
вые модели”, обладающие относительной простотой и при этом верно отражающие основные особенности реальных физических систем. Наибольшей ценностью обладают модели, анализ которых хотя бы частично может быть выполнен посредством аналитических методов. Формулирование таких моделей, а также выявление присущих им общих черт и поиск универсальных закономерностей - важные этапы работы, отвечающие современному подходу, при котором научно-исследовательская деятельность направлена на решение конкретных инженерно-конструкторских задач.
Цель работы. Диссертация посвящена теоретическому изучению нелинейных когерентных явлений, происходящих при взаимодействии излучения с веществом, с помощью аналитических и численных методов, включая анализ статистики квантовых флуктуаций и выяснение закономерностей динамики систем с неустойчивым движением при наличии флуктуаций. В работе преследовались две основные цели
- Первая цель состояла в том, чтобы путем дальнейшего развития метода когерентных состояний создать формализм, позволяющий корректно описывать когерентную динамику атома (системы атомов), выполнять переход к классическому пределу и находить статистические характеристики квантовых флуктуаций для состояний, близких к классическим. Поставленная задача решалась для двух модельных систем - атома водорода и ансамбля многоуровневых молекул - посредством разложения пространств состояний по мульти-плетам динамических групп, введения обобщенных когерентных состояний и применения метода асимптотических оценок (метода перевала).
- Вторая цель - развить теорию динамического хаоса применительно к системам, допускающим переход к пределу сильного перемешивания, и дать строгое обоснование возможности введения для таких систем статистического описания. На различных этапах решения этой задачи: рассматривались конкретные физические системы с нелинейностью, обусловленной зависимостью параметра вращения от состояния; сформулирована ’’базовая модель” и строго показано существование предела сильного перемешивания; выяснена роль флуктуаций и рассмотрен (в модельном приближении) вопрос о преобразовании статистических свойств случайного процесса; изучены фрактальные свойства возникающих вероятностных распределений и соответствующие законы самоподобия.
10
Сформулированные цели приводят к задачам, которые тесно связаны друг с другом, являясь различными аспектами единой актуальной проблемы формирования когерентности и декогерентизации при взаимодействии излучения с веществом. В частности, вывод о гауссовом характере квантовых флуктуаций играет фундаментальную роль при рассмотрении вопроса о пределе сильного перемешивания. Нелинейные системы, рассматриваемые в диссертационной работе, относятся к единому классу систем, в которых временные изменения происходят как обычные или обобщенные вращения (групповые преобразования). Таким образом, одна из целей, преследуемых в работе, состоит в разработке новых методов аналитического описания и численного анализа нелинейной динамики физических моделей, специфичных для спинтроники и оптроники.
Научная новизна диссертационной работы определяется перечисленными ниже оригинальными результатами, которые выносятся на защиту.
- Предложена конструктивная процедура, которая позволяет вводить различные полные наборы квазиклассических когерентных состояний атома водорода, соответствующие определенным схемам сужения на подгруппу динамической группы, путем осуществления последовательности групповых преобразований (обобщенных ’’вращений”) основного состояния или преобразований более общего типа Дана корректная формулировка правила перехода к классическому пределу. Найдены гауссовы асимптотические аппроксимации для волновых функций когерентных состояний, близких к классическим состояниям.
- Впервые определены и изучены когерентные состояния унитарных групп, получаемые посредством унитарных ’’вращений”. С их помощью развит формальный аппарат, позволяющий при квантовомеханическом описании /V-частичного ансамбля многоуровневых молекул переходить к ’’классическому” пределу N -» оо и строить разложения по N~l при N 1. Даны теоретикогрупповая интерпретация и статистическое описание процесса спонтанного распада кооперативных состояний, ассоциированного с нелинейной релаксацией классического многомерного (’’унитарного”) дипольного момента. Показано, что при N > 1 статистика квантовых флуктуаций является гауссовой.
- Выявлена глубокая общность, существующая между математическими моделями, описывающими динамику световой волны в кольцевом резонаторе, од-
11
нородную диссипативную прецессию электронной и ядерной намагниченности в магнетиких и динамику коллективных колебаний в системе спиновых волн. Показано, что в условиях многоимпульсного возбуждения регулярные и хаотические колебания в этих системах могут быть описаны с помощью отображений с параметром вращения, зависящим от состояния (обобщенных отображений Икеды). Продемонстрирована эффективность применения метода отображений при численном моделировании на больших временных интервалах.
- Развит приближенный аналитический подход, который позволяет описывать тонкую структуру хаотических аттракторов, являющихся инвариантными множествами обобщенных отображений Икеды. Показано, что при определенных условиях многомерные отображения можно аппроксимировать одномерными. С помощью последних объяснен механизм бифуркаций ”хаос-хаос”
- Построена теория преобразования случайного процесса в системе с нелинейностью, описываемой отображением Икеды, и запаздыванием. Строго доказано существование динамического режима с сильным перемешиванием. Для случая сильного перемешивания развит метод расчета многоточечных корреляционных функций, описывающих результирующий случайный процесс. Исследован механизм флуктуационного ” размытия” тонкой структуры хаотического аттрактора, ответственный за превращение детерминистического движения в ’’огрубленное” стохастическое.
- Обнаружены и изучены фрактальные закономерности в структуре стационарных (инвариантных) плотностей распределения, описывающих стохастический процесс в системе с запаздыванием и нелинейностью Икеды. Установлено, что плотности распределения могут быть представлены с помощью мультифрактальных интегралов. Показано, что наличие фрактальных и скей-линговых закономерностей в строении вероятностных распределений находит отражение в том, что характеристические функции удовлетворяют масштабирующему уравнению.
- Определены мультифрактальные интегралы 1-го и 2-го рода. Найдены условия их существования. Установлено наличие связи между интегралами по мультифракталам, обобщенными функциями специального вида и интегралами дробной кратности.
- Рассмотрена уточненная теоретическая модель вынужденного рассеяния света в квазистатическом режиме, в которой учтено выравнивание заселенно-
12
стей уровней активной среды. Найдено точное решение нелинейных уравнений, позволившее объяснить явление насыщения вынужденного рассеяния, наблюдаемое экспериментально.
- Реализована динамическая адаптивная численная схема, основанная на использовании вейвлет-разложении, которая обеспечивает высокую эффективность при численном моделировании динамики хорошо локализованных объектов в нелинейных средах.
Практическая значимость работы. Различные формулировки квантовой механики, основанные на использовании с-числовых функций на фазовом пространстве (метод функций Вигнера, метод полевых и обобщенных когерентных состояний), находят широкое применение при рассмотрении вопросов квантово-классического соответствия. Новые типы когерентных состоянии, введенные в диссертационной работе, позволяют существенно расширить сферу практического применения этих методов. Создан вычислительный аппарат, базирующийся на применении асимптотических методов в теории представлений групп, который дает возможность находить физические величины в виде разложений по параметру близости к классическому состоянию (учет квантовых "поправок” в наинизшем порядке ведет к представлению о классическом движениии, возмущенном квантовыми флуктуациями). Область применения новых расчетных методов - это физика электронных устройств, основанных на использовании высоковозбужденных атомов и когерентно возбуждаемых сред. Данный подход может быть также распространен на другие мезоскопические наносистемы, и прежде всего на те из них, которые допускают теоретико-групповую трактовку.
Теоретические модели нелинейных систем с неустойчивым движением, рассмотренные в диссертационной работе (кольцевой резонатор, электронная и ядерная намагниченность в магнетиках), имеют реальные прототипы в спин-тронике и оптронике. Такие методы теоретического анализа, как переход к рассмотрению динамики отображений, аналитическое описание аттрактора, приближение многомерного аттрактора одномерным, анализ фрактальных свойств вероятностных распределений, являются практически полезными средствами интерпретации экспериментальных данных, обеспечивающими возможность количественного описания и качественного понимания наблюдаемых явлений. Из сделанных оценок следует, что режим сильного перемешивания,
13
возмущенный флуктуациями, может наблюдаться в эксперименте; некоторые результаты такого эксперимента позволяет предсказать развитая в работе статистическая теория.
Результаты, относящиеся к распределенным системам, ориентированы непосредственно на проведение экспериментальных исследований и численного моделирование. Дано объяснение экспериментально наблюдаемому явлению насыщения вынужденного рассеяния света. Создана и протестирована программа, практически реализующая адаптивную численную схему, базирующуюся на использовании вейвлетных преобразования; продемонстрирована ее эффективность при моделировании динамики локализованных объектов.
Краткий обзор содержания диссертации. В первой главе (авторские работы [А6-А8, А14, АЗб, А38, А40, А41, А45]) сформулированы общие принципы построения квазиклассических когерентных состояний и реализация подхода в случае атома водорода - системы с известной динамической симметрией, являющейся к тому же точно решаемой моделью атомной физики. Раздел 1.1 является обзорным и содержит сведения, относящиеся к методу бозонных подстановок [37], методу функций на фазовом пространстве [38, 39] и методу когерентных состояний [21, 23, 24], которые используются в первой и второй главах. В разделе 1.2 определены обобщенные гипергеометриче-ские когерентные состояния, образующие класс квазиклассических состоянии, включающий состояния Персломова, Барута-Джирарделло [24] как подклассы. Подробно рассмотрены предельные процедуры, соответствующие переходу к классическому пределу, и асимптотические формы представления состояний, близких к классическим. В разделе 1.3 описана структура динамической алгебры атома водорода [26] и сформулированы процедуры введения функций на фазовом пространстве, базирующиеся на бозонных подстановки. Для случая больших значений квантовых чисел найдены различные асимптотические формулы. В разделе 1.4 определен широкий класс когерентных состояний атома водорода, отвечающих различным схемам сужения на подгруппы динамической группы. Когерентность движения проявляет себя как определенность положения плоскости эллиптической орбиты электрона, ориентации осей эллипса, положения электрона на орбите (когерентность в последнем смысле теряется со временем из-за расплывания волнового пакета). Найдены точные выражения для волновых функций когерентных состояний, а также гауссовы
14
асимптотические оценки волновых функций для состояний, близких к классическим. Квадраты модуля таких функций являются хорошо локализованными волновыми пакетами, движущимися по классическим орбитам.
Во второй главе диссертации развиты с-числовые методы описания систем с унитарной динамической симметрией [А1-А5, А9, А10]. Особо обсуждается случай неприводимых пространств, имеющих большие (стремящиеся к бесконечности) размерности, который может трактоваться как квазикласси-ческий. С помощью аппарата бозонных подстановок [37], функций на фазовом пространстве [38, 39] и операторов проектирования на неприводимые подпространства состояний в разделе 2.1 найдены дифференциальные реализации алгебры генераторов унитарной группы, позволяющие эффективным образом рассматривать вопросы квазиклассической асимптотики. В разделе 2.2 определены и изучены когерентные состояния унитарных групп. Показано, что формализм, связанный с применением этих состояний, совпадает с одной из форм метода функций на фазовом пространстве. Новые с-числовые процедуры применены в разделе 2.3 для расчета статистических характеристик поля кооперативного спонтанного излучения, порождаемого ІУ-частичньїм ансамблем многоуровневых молекул. Эта система в классическом пределе Лг оо описывается многомерным ("унитарным”) дипольным моментом, движущимся когерентно; то, что N конечно, проявляет себя при N > 1 как дополнительный "квантовый шум”. Кинетика спонтанного распада при N > 1 описывается уравнением фоккер-планковского типа, полученным в разделе 2.4. Для начального состояния молекул, близкого к полной инверсии заселенностей, в разделе 2.5 показано, что "квантовый шум" имеет нормальное распределение (квантовая центральная предельная теорема). Квазиклассическое поведение коэффициентов векторного сложения, записанных в базисе когерентных состояний, кратко обсуждаются в разделе 2.6.
Третья, четвертая и пятая главы посвящены теоретическому исследованию нелинейных радиофизических систем, в которых декогерентизация обусловлена неустойчивым характером динамики и наличием флуктуаций. Поле и поляризация среды считаются при этом классическими (с-числовыми) величинами; принимается, как некоторое приближение, что для учета проявлений квантового принципа неопределенностей достаточно учесть флуктуации. Поскольку процесс декогерентизации в системах с неустойчивой динамикой тесно
15
связан с динамической стохастизацией (хаотизацией) движения, в этой части диссертации широко применяются методы и понятия теории динамического хаоса.
В третьей главе рассмотрены конкретные системы и выявлены случаи, когда физически обоснованным образом может быть произведен переход от непрерывной динамики к динамике отбражений [А13, А16-А20, А22-А29]. Различные проявления эффекта хаотизации изучаются численными и аналитическими методами, преимущественно в рамках динамики отображений. Обзорный раздел 3.1 содержит различные сведения из нелинейной динамики [30-35], используемые далее в третьей, четвертой и пятой главах. В разделе 3.2 сформулированы теоретические модели, описывающие динамику света в кольцевом резонаторе с нелинейным элементом [40], отвечающие различным предположениям и приближениям; найдены соответствующие динамические отображения. Развит приближенный аналитический подход, позволяющий описывать форму хаотического аттрактора и сводить отображение к одномерному. Численно исследованы бифуркационные явления, связанные с перестройками многокомпонентных хаотических аттракторов, и предсказана возможность возникновения автоволны перехода "хаос-хаос”. Показано, что внешний "шум” может существенным образом изменять характер хаотического движения. В разделе 3.3 рассматривается хаотизация пространственного движения ядерной намагниченности в магнитоупорядоченном кристалле [41]; предполагается наличие блоховской релаксации и динамического сдвига частоты, порожденного сул-накамуровским взаимодействие. Далее, в разделе 3.4, обсуждается простая модель, описывающая хаотизацию коллективных колебаний в системе параметрически возбужденных спиновых волн в магнетиках [42]. Важный вывод, следующий из результатов, полученных в разделах 3.2-4, состоит в том, что динамические отображения, описывающие далекие по своей природе физические явления, относятся к единому классу нелинейных отображении - отображениям с параметром вращения, зависящим от состояния (обобщенным отображениям Иксды). Выбирая одно из таких отображений в качестве "базовой модели”, мы разовьем на его основе статистическую теорию хаоса в системе с флуктуациями (главы 4,5). В разделе 3.5 изучается динамика однородной намагниченности в анизотропном ферромагнетике, описываемая уравнением Ландау - Лифшица [43]. В такой системе диссипация является нелинейной; соответ-
16
ствующее динамическое отображение, не входящее в класс отображений типа Икеды, представляет из себя их дальнейшее обобщение Путем выполнения численного анализа установлены некоторые бифуркационные процессы, ведущие к хаотизации движения; в частности, найдены условия реализации сценария Фейгенбаума.
Типичный фазовый портрет нелинейной системы с диссипацией, отвечающий хаотическому режиму движения, является сложным структурным образованием, состоящим из самоподобных аттракторов (репеллеров), устойчивых и неустойчивых периодических (квазипериодических) траекторий и других элементов. Малые флуктуации превращают детерминистический процесс в случайный и ’’размывают” тонкую структуру самоподобных множеств; при этом основные черты турбулентного движения, наблюдаемые на макроуровне, могут оставаться неизменными. Численное моделирование, однако, показывает, что при определенных условиях случайное возмущение способно полностью разрушить сложную структуру хаоса, порождая движение, допускающее простое статистическое описание. Такое поведение характерно для систем с сильным (быстрым) перемешиванием; к ним, в частности, относятся отображения типа Икеды при некоторых значениях управляющих параметров. В четвертой главе, посвященной изучению режима движения с сильным перемешиванием, рассмотрена (в качестве ’’базовой модели”) простая система с запаздывающей обратной связью, описываемая отображением Икеды [А18-А21, А23, А25, А32-А34, А43]. В разделе 4.1 представлена статистическая теория для случая флуктуаций, имеющих время корелляции, существенно меньшее времени запаздывания. Дан детальный анализ механизма ’’огрубления” картины движения ’’шумом”. Найдены различные выражения, описывающие стационарное (инвариантное) распределение в фазовом пространстве, соответствующее пределу сильного перемешивания. В разделе 4.2 получено аналитическое выражение для максимального показателя Ляпунова при сильном перемешивании. В разделе 4.3 статистическая теория обобщена для случая флуктуаций с произвольным временем корреляции. Для двух моделей статистики флуктуаций, возмущающих хаотическое движение - гауссовского марковского стационарного случайного процесса (процесса Орнштейна - Уленбека) [44] и обобщенного телеграфного марковского случайного процесса (процесса Кубо- Андерсена) [45] - найдены выражения для произвольных многоточечных характеристических
17
и моментных функций, описывающих результирующий случайный процесс при сильном перемешивании. В разделе 4.4 найдено стационарное решение точного конечно-разностного стохастического уравнения в форме разложения по степеням параметра, имеющего смысл меры уклонения от состояния с полным перемешиванием фазы. Дано доказательство сходимости, чем строго обосновано приближение сильного перемешивания. Сформулирована процедура перехода к недетерминистическому описанию, состоящая во введении малого случайного (гауссова) возмущения с амплитудой, устремляемой к нулю после предела сильного перемешивания. Отмечено, что эта процедура формально аналогична процедуре отбора запаздывающих решений, производимого путем введения добавок, нарушающих временную симметрию, и устремления их к нулю после термодинамического предела В разделе 4.5 рассмотрен хаос с сильным перемешиванием, возникающий при движении ядерных спинов, которое описывается трехмерным отображением (см. раздел 3.3).
При движении с сильным перемешиванием фрактальная структура хаотического аттрактора оказывается разрушенной. Тем не менее обнаруживается, что стационарные плотности распределения, возникающие в этом случае, некоторым образом связаны с распределениями на фрактальных носителях - мультифракталами [46]. Механизм формирования самоподобных структур, реализующийся в данной ситуации, коренным образом отличается от того, который ответственен за фрактальную структуру хаотических аттракторов. Будучи никак не связанным с деформациями типа отображения Смеила и гомокли-ническими структурами, он обусловлен исключительно наличием диссипации и запаздывания. Фрактальные объекты нового типа и методы их описания изучены в пятой главе [АЗО, А31, А35, А37, А39]. В разделе 5.1 определены интегралы по мультифракталам и выявлена их связь с инвариантными распрсделениямии диссипативных случайных отображений. Показана необходимость выхода за пределы обычного класса вероятностных мультифракталь-ных мер; в связи с этим определены мультифрактальные интегралы 1-го и 2-го рода. В разделе 5.2 найдены условия существования интегралов обоих типов. В разделе 5.3 рассмотрены особенности структуры фрактальных носителей при различных значениях параметра диссипации. В разделе 5.4 показано, что стационарные плотности распределений, возникающие в случае движения с сильным перемешиванием, удовлетворяют двухмасштабному разност-
18
ному уравнению (уравнению дилации). Последнее аналогично уравнению, вводимому в кратномасштабном (всйвлетном) анализе [47]. Также показано, что интегралы по мультифракталам связаны с финитными сингулярными обобщенными функциями специального вида и с процедурой дробного интегрирования. В разделе 5.5 обсуждаются вопросы визуализации фрактальной структуры с помощью веивлетограмм.
Шестая глава диссертации посвящена вопросам моделирования нелинейной динамики локализованных образований в когерентных средах с диссипацией, взаимодействующих с внешними полями [All, А12, А15, А42, А44]. В разделе 6.1 представлена теория вынужденного комбинационного рассеяния в квазистатическом режиме [48], учитывающая изменение разностей заселенностей уровней молекул. Рассмотрен метод решения уравнений движения с помощью линеаризующей замены переменных, а также решения в виде уединенных волн, получаемые с помощью автомодельной замены. В разделе 6.2 сформулирована динамическая адаптивная численная схема, основанная на использовании вейвлет-разложений [47] и позволяющая осуществлять компьютерное моделирование динамики уединенных (локализованных) объектов. Приведены результаты решения тестовой задачи, свидетельствующие об эффективности данного метода.
Апробация работы. Основные материалы диссертации докладывались и обсуждались на следующих конференциях, совещаниях, школах и семинарах: X Уральском совещании по спектроскопии (Свердловск, 1980); II Семинаре по математическим методам в нелинейной оптике (Красноярск, 1983); III Всесоюзном симпозиуме по световому эхо и когерентной спектроскопии (Харьков, 1984); I Всесоюзном семинаре ’’Сильные оптические нелинейности” (МГУ, Москва, 1988); II и III Всесоюзных и IV Международной школах ’’Стохастические колебания в радиофизике и электронике” (Саратов, 1988, 1991, 1994); XX Всесоюзном семинаре по спиновым волнам (Ленинград, 1990); XIX Всесоюзной конференции по физике магнитных явлений (Ташкент, 1991); XXVII Конгрессе AMPERE ’’Магнитный резонанс и связанные с ним явления” (Казань, 1994); Международной конференции по магнетизму ЮМ (Польша, Варшава, 1994); Семинаре ’’Синергетика” (МГУ, Москва, 1995); Международной конференции ’’Критерии самоорганизации в физических, химических и биологических системах” (Москва-Суздаль, 1995); Между народ-
19
ной конференции по нелинейности, бифуркациям и хаосу: Двери в будущее (Польша, Лодзь, 1996); VIII Международном симпозиуме по нелинейным электромагнитным системам (Германия, Брауншвейг, 1997); XX Международной конференции ШРАР по статистической физике БТАТРНУЭ 20 (Франция, Париж, 1998); Международном Евро-Азиатском симпозиуме по магнетизму ЕА5ТМАС-2001 (Екатеринбург, 2001); VI Международной школе по хаотическим осцилляциям и структурообразованию (Саратов, 2001); XXIX Международной зимней школе физиков-теоретиков ”Коуровка-2002” (Екатеринбург-Пермь-Кунгур, 2002); Международной конференции по теоретической физике (ТН-2002) (Франция, Париж, 2002); V Международном конгрессе по математическому моделированию (V 1СММ) (Дубна, 2002); V международной конференции ’’Симметрия в нелинейной математической физике” (Украина, Киев, 2003); семинарах в Физическом институте РАН (Москва), Институте физики АН Украины (Киев), Казанском физико-техническом институте РАН (Казань), Московском государственном университете (Москва), Институте радиотехники и электроники РАН (Москва), Институте физики металлов УрО РАН (Екатеринбург).
Публикации. По теме диссертации опубликовано 45 работ. Основные результаты изложены в 25 статьях, опубликованных в рецензируемых периодических изданиях и трудах конференций.
Достоверность результатов, полученных в диссертационной работе, обеспечивается использованием твердо установленных физических уравнений, строгим обоснованием математических процедур, используемых при их решении, сравнением результатов, полученных аналитическими и численными методами, анализом предельных случаев и асимптотик.
Личный вклад автора. Часть результатов вошла в кандидатскую диссертацию Б. Я. Рубинштейна, научными руководителями которой являлись автор данной диссертационной работы и В. В. Дякин. Работы, посвященные динамическим явлениям при вынужденном рассеянии света, были выполнены совместно с группой сотрудников Оптической лаборатории Физического института РАН (рук. группы А. И. Соколовская); автором диссертации создана теоретическая модель, объяснившая явление насыщения. Компьютерная программа на базе вейвлет-алгоритмов была реализована и протестирована студентами УГТУ-УПИ Р. Н. Ахмадуллиным, Э. М. Вазиевым, работавшими под
20
руководством автора. Во всех работах, выполненных в соавторстве, автор участвовал в постановке задач, проводил теоретические и численные расчеты, обсуждал и излагал результаты исследований.
Работа выполнялась в Уральском государственном техническом университете (УПИ), при частичной поддержке грантами РФФИ (93-02-2011 и 97-02-26727) и грантом Конкурсного центра фундаментального естествознания при СПбГУ (95-0-8 3-14).
Структура и объем работы. Диссертационная работа состоит из введения, шести глав, заключения и библиографического списка из 394 наименований Полный текст диссертации составляет 349 страниц, включая 53 рисунка и 3 таблицы.
21
ГЛАВА 1
ОБОБЩЕННЫЕ ГИПЕРГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ КОГЕРЕНТНЫЕ СОСТОЯНИЯ.
КОГЕРЕНТНЫЕ СОСТОЯНИЯ АТОМА ВОДОРОДА И КВАЗИКЛАССИЧЕСКИЕ ЛОКАЛИЗОВАННЫЕ ВОЛНОВЫЕ ПАКЕТЫ ЭЛЕКТРОНА В РИДБЕРГОВСКОМ АТОМЕ.
Когерентные состояния (КС), появившиеся впервые в работах Шредин-гера и фон Неймана, нашли широкое применение в квантовой и статистической оптике, а также при описании систем, имеющих алгебру наблюдаемых, сводимую к алгебре бозонных операторов. Были предложены различные процедуры построения обобщенных КС, предназначенных для описания квантовомеханических систем специального вида. В частности, были сформулированы общие подходы, позволяющие формировать наборы КС, ассоциированные с группами динамической симметрии. Метод КС особенно эффективен при изучении систем в квазиклассических состояниях, когда классическое описание является хорошим ’’нулевым” приближением, но необходимо учитывать (малые) квантовые эффекты (влияние ’’квантовых флуктуаций”). Используя базис КС, можно записывать квантово-механические уравнения в такой форме, чтобы они переходили в классические в классическом пределе. Среди прочих важных областей приложения аппарата КС отметим континуальное интегрирование и теорию квантового хаоса.
В этой главе определены и изучены обобщенные гипергеометрические когерентные состояния (ОГКС), а также сформулированы общие принципы построения КС атома водорода и рассмотрены частные виды таких состояний.
22
Предлагаемый подход б существенной мере основан на результатах, полученных в авторской работе [А8], в которой впервые были построены КС атома водорода, ассоциированные с хорошо локализованными волновыми пакетами и обеспечивающие переход к классическому пределу. Отметим, что интерес к состояниям такого типа существенно возрос в последние годы в связи с необходимостью моделирования волновых пакетов в ридберговских атомах. Глава состоит из пяти разделов. Разделы 1.1 и 1 3.1 являются обзорными. В них приводятся различные сведения, относящиеся к методу бозонных подстановок, методу функций на фазовых пространствах, методу КС и алгебраическому подходу к описанию атома водорода. В разделе 1.2 определены ОГКС, выведено соотношение полноты и построен производящий экспоненциальный оператор для этих состояний. Показано, что для различных подклассов ОГКС переход к классическому пределу реализуется посредством различных предельных процедур. Получены асимптотические оценки скалярных произведений различных КС. В разделе 1.3 найдены новые типы бозонных подстановок для операторов динамической алгебры атома водорода. На этой основе создан расчетный аппарат, позволяющий для функций на фазовом пространстве, представляющих операторы, получать разложения в асимптотические ряды по отрицательным степеням (больших) квантовых чисел. В разделе 1.4 даны схемы построения КС атома водорода, соответствующие схемам сужения на подгруппу динамической группы. Сформулированы условия, необходимые для получения КС, обеспечивающих установление квантово-классического соответствия. Найдены гауссовы асимптотические оценки квазиклассичсских волновых функций, представляющих КС. В разделе 1.5 кратко сформулированы выводы. Настоящая глава основана на результатах, опубликованных в авторских работах [А6-А8, А14, АЗб, А38, А40, А41, А45].
23
1.1 Формулировки квантовой механики, использующие коммутативные функции.
1.1.1 Бозонные подстановки для алгебр некоммутирующих операторов.
Операторы рождения а+ и уничтожения а бозонного типа, вместе с единичным оператором /, удовлетворяют коммутационным соотношениям
[«+,«]=/, [а+,/] = [а,/] = 0 (1.1)
и образуют алгебру генераторов нильпотентной группы Гейзенберга-Вейля [24, 49], которую мы обозначим Сгв. Простейшее нсунитарное конечномерное представление группы СГв в множестве верхних треугольных матриц можно получить, реализуя алгебру генераторов в виде трехмерных матриц:
а+<=>(е 12 + *е2з)/\/2, а <=> (еп - ге23)/\/2, / ге13 (1.2)
(знаком <=> обозначается соответствие между абстрактным оператором и его реализацией в конкретном представлении; матрица е|; имеет единичный элемент в ьои строке и уом столбце и прочие элементы, равные нулю: (е,;)*/ = й/ь^/)* Более важным для физических приложений является бесконечномерное унитарное представление группы бгв, обычно называемое представлением чисел заполнения. Чтобы построить это представление, следует реализовать алгебру генераторов рассматриваемой группы в пространстве функций ^ (г) = {г | ц>) комплексной переменной 2, используя оператор дифференцирования (представление Фока [24]):
а+ <=> 2, а /<=>1. (1.3)
аг
Отыскивая базисные векторы пространства представления в виде собственных векторов квадратичного оператора
а+а |и) = п |п) <=> | г(г \ п) = 0 (1.4)
и требуя, чтобы существовал “вакуумный” вектор, обращаемый в ноль действием оператора уничтожении: а |0) =0, мы получим счетное множество векторов, совпадающих (с точностью до нормировочного множителя) с целыми
24
степенями переменной г Определяя норму в пространстве функций выражением
гв 1М12 = (* I *) = / |{* I ^)|2ехр (- |г|2) (1 5)
гСС
и полагая, что базисные векторы нормированы на единицу: {п | п) = 1, можно найти представляющие их функции
{г | п) = гп/\/тт\ (1.6)
а также матричные элементы операторов рождения и уничтожения
а* |п) = у/п + 1 \п + 1), â\n) = \/п \п - I). (1.7)
Бозонные операторы и представление чисел заполнения находят применение при решении целого ряда фундаментальных задач квантовой механики. Нас, однако, будут интересовать в большей степени формальные аспекты применения бозонного исчисления. Будучи в некотором роде наиболее элементарной, алгебра бозонных операторов может быть использована для построения реализаций других алгебр Ли и отыскания неприводимых представления (НП) соответствующих групп Ли.
Рассмотрим простой, но важный для приложений, пример компактной группы SU(2), локально-изоморфной группе трехмерных вращений SO(3); теория представлений этих групп является основой теории углового момента в квантовой механике. Группа SU(2) унитарных матриц второго порядка с единичным определителем имеет счетное множество конечномерных НП. Каждое такое представление может быть реализовано как линейное преобразование в (2; + 1)-мерном пространстве полиномов степени < 2j, в соответствии с выражением
Ы / (z) = (9nz + 9nŸJ J [(дм - д\2)/(дl2z + д'п)), (1.8)
где g € SU(2), так что \дп\2 + |^i2|2 = 1, и j = 0, % 1,3/2... (индекс НП j введен
так, как это принято в теории углового момента). Базисное представление
генераторов группы SU(2), удовлетворяющих коммутационным соотношениям
[Kltk2]=ik3, [кък3]=гки [&,&] = »&, (1.9)
25
мы определим обычным образом, используя матрицы Паули: у (71 1 / 0 1 \ - 02 1 / о -г \ у о3 1/10
к'“7 = 2(, о)'к’°Т‘2(о
(1 10)
Подставляя в (1.8) на место д матрицы инфинитоземальных преобразований однонараметрических подгрупп д\ = ехр(т7|/2) а / Ч- гтсг//2,1 = 1,2,3, и линеаризуя функцию в правой части по малому параметру т, мы найдем реализацию генераторов группы в виде дифференциальных операторов
+ К2<*-1]г+1-( 1 + г2)^, К3 -] + 2^. (1.11)
Базисные векторы пространства представления могут быть найдены теперь как собственные векторы оператора К3 и представлены в пространстве функций в виде одночленов:
(г^-;-7п) (г | би(^т) = 0. (1.12)
Вводя дополнительно определение нормы в пространстве функций:
зи(а. = Ег±1 у |(2 | *)|» (1 + \г\2)-2]-2сРг, (1.13)
г€С
мы найдем базисные функции, каждая из которых нормирована на единицу:
(г | *Щ2)рп) = \/(2)У./{] - т)!(_/ + т)! г1+т (1.14)
и матричные элементы генераторов
± гК^ |зи(2);гп) = у/і? Т т)(] ± т + 1) |$и(2)у т ± 1),
1<гГ7)зт) = тГ2)дт). (1.15)
Чтобы соотнести найденные представления группы 811(2) с представлением
чисел заполнения, выполним замену переменных г = и/и и, умножая базис-
ные функции (1.14) на и2;, найдем новый базис, представленный однородными многочленами от двух переменных:
(и,ц 15и(г,;ш) = \/(2])\/(] - т)1() + т)! и]+ти]~т. (146)
26
Новая реализация генераторов, соответствующая этому базису, имеет вид:
1 ( д д\ г> г ( д д\ г> \ ( д д\
(1.17)
В этом нетрудно убедиться, выполнив обратную замену переменных (и, у) -> (г,и) при условии, что ] фиксировано; выражения (1.17) перейдут в этом случае в (1.11). С другой стороны, сравнивая (1.3) и (1.17), мы видим возможность реализации алгебры генераторов группы Би(2) в виде комбинаций операторов рождения и уничтожения бозонного типа:
к, <=Л (йь++ а+ь), к? «■ ~ (аь+ - а+ь), к3 о 1- (а+а - ь+ь). (1.18)
Операторы, стоящие в (1.18) правее знаков <=>, действуют в пространстве состояний, являющимся прямым произведением двух пространств чисел заполнения и одновременно - прямой суммой пространств НП группы Би(2). Связь между базисными векторами, записанными в дираковской форме, имеет вид:
\ЪЩ2)Э, т) = |(а); + ш) - ш). (1.19)
Очевидно, что реализация (1.6) для векторов чисел заполнения соответствует (с точностью до нормировки) реализации (1.16) для базисных элементов пространств НП группы 811(2).
В качестве еще одного примера рассмотрим бозонную реализацию алгебры генераторов некомпактной группы 811(1,1), локально-изоморфной группе 80(2,1) (трехмерной группе Лоренца), описывающей движения в трехмерном вещественном пространстве, сохраняющие квадратичную форму ^ “ £з (различные сведения, касающиеся группы 811(1,1) и ее представлений, можно найти в [24, 50-52]). Базисное представление для генераторов группы 811(1,1), удовлетворяющих коммутационным соотношениям
1<и1Ц = -,Кз, [к2, К3] = 1Ки [л'з, Ц = гк2, (1.20)
может быть о предке но выражениями
К\ & гсг\/2, Кг <=> гсг2/2, А'з <=> а3/2, (1-21)
где 01 - матрицы Паули, определенные в (1.10). Ограничимся рассмотрением НП дискретной серии, каждое из которых реализуется в бесконечномерном
27
пространстве полиномов согласно формуле:
М(,Д,7*ШМ = ^ + йГЛ/(Ыг + Й2)/ОГ12*+Л)), (1 22)
где $€811(1,1), так что \уи\?- \дп\2 = 1, и к = 1,3/г,2,5/г> - -Тем же путем, что и в случае группы Би(2), найдем дифференциальную реализацию для алгебры генераторов:
Кх о -хкг + 1- (1 - г2) & о кг - 1- (1 + г2) К3&к + г^ (1.23)
и одночлены, которые определены при выполнении условий: т > к, т - к -целое число, и представляют собственные векторы оператора К$, являющиеся базисными векторами в пространствах ЫП:
(г | ,и<1,117, то) = \/[к + тп - 1)!/(2А: - 1)!(—А; + то)! 2-*+т, (1.24)
Коэффициент нормировки в (1.24) выбран таким образом, что функции оказываются нормированными на единицу относительно нормы
ЗД,,М1! = ^ / К* I 0>|2 (1 - Иа)“"*Л, (1.25)
N<1
Матричные элементы генераторов при таком выборе нормировки принимают вид:
(а±*АГ2) Г,,"*,т) = т» ^(т ± *)(т т А ±1) Г“-4*,т ±1),
к3 Г0"1»*, т) = то Г“-"*, т). (1.26)
Бозонная реализация алгебры генераторов группы 511(1,1), следующая из (1.23), может быть задана формулами:
К\ & ^ ^аЬ - а+Ь*^ , Кч <=* — + а+Ь+^ , ^а+о + ЬЬ+^ . (1.27)
Операторы, стоящие в (1.27) справа от знаков соответствия, действуют в пространстве, являющимся прямой суммой пространств НП дискретной серии группы 811(1,1) и имеющим базис, состоящий из векторов
|зи(|,1)Л,т) = |<в>го - к) |(6)т + к- 1) (1 28)
28
Как и в случае группы 511(2), соотношению (1.28), связывающему векторы, записанные в обобщенной дираковской форме, можно поставить в соответствие эквивалентное соотношение для одночленов (1.6) и (1.24).
Отметим одно важное различие между группами 511(2) и 811(1,1). В случае 511(2) базисное представление группы в пространстве двумерных спиноров является одним из унитарных представлений и получается из (1.8) при ] = */2. В случае 511(1,1) двумерное базисное представление не унитарно (матрицы, определяющие реализацию (1.10), не эрмитовы); все унитарные представления этой группы - бесконечномерные. Группа 511(1,1) помимо представлений дискретной серии имеет представления основной (непрерывной) и дополнительной серий, которые не могут быть описаны с помощью представления чисел заполнения; их мы рассматривать не будем. Реализации алгебр Ли (1.18) и (1.27) мы используем в разделе 1.4 при построении бозонных реализаций алгебры генераторов группы динамической 0(4,2) симметрии атома водорода.
Найденные выше бозонные реализации алгебр Ли групп 811(2) и 511(1,1) являются частными случаями (обобщенного) отображения Жордана-Шоингера [37, 53) (называемого также бозонной подстановкой), которое нетрудно определить для произвольной матричной алгебры. Пусть совокупность квадратных матриц X = {хг]} размера п х п задает некоторую исходную алгебру £ (возможно - алгебру генераторов некоторой группы Ли). Вводя операторы а,+, й, и / с правилами коммутации
[й+,а;| = /<гД;, [а,+1/] = (а„/] = 0, (1.29)
где <;,, принимают значения ±1, поставим в соответствие каждой из матриц квадратичный оператор по следующему правилу
п п
У: Х->Л = УУв,%а;. (1.30)
1 = 1 ;=1
Операторы-образы Лй также образующие некоторую алгебру £', действуют на векторы гильбертова пространства И, являющегося прямым произведением п пространств чисел заполнения. В том случае, если гильбертово пространство, в котором определено интересующее нас представление алгебры £', совпадает с Н или является неприводимым подпространством в И, все расчеты могут эффективно выполняться с использованием техники бозонного исчисле-
29
ния Отображение (1.27) линеино:
<*3х + РЛ = ЗаХ+0У\
(1.31)
в случае, когда все имеют значения +1, отображение сохраняет закон коммутации
Бозонная подстановка такого типа возникает, в частности, при вторичном квантовании, когда осуществляется переход от одночастичной реализации кинематической группы симметрии к ее реализации в пространстве состояний системы тождественных частиц В том случае, если с* имеют различные знаки, коммутационные соотношения для элементов алгебр С и £' различны, однако алгебру С можно выбрать таким образом, чтобы алгебра С обладала заданными свойствами.
Бозонные операторы в представлении Фока использовались Баргманом и Мошинским [54, 55] при теоретико-групповом анализе коллективных состояний в Аг-осцилляторной модели, Мошинским [56, 57] для построения НП и функций Вигнера группы 811(3), Баргманом [58] при изучении симметрийных свойств 3^— и 67-символов группы 811(2). Важной сферой приложения бозонного подхода является теория унитарной симметрии, играющая значительную роль в физике высоких энергий (схемы классификации элементарных частиц по унитарным мультиплетам) и атомной спектроскопии. Несомненная эффективность теоретико-групповых методов породила значительную исследовательскую активность в этой области, вследствие чего для многих групп задача построения IIП решена полностью [59-62]. Вместе с тем, форма представления результатов, принятая в математике, не всегда удобна для проведения физических расчетов. Один из путей, ведущих к созданию эффективных расчетных схем - использование бозонных подстановок. Детальное соотнесение бозонного подхода и подхода, использующего полиномиальные базисы, при построении пространств НП линейной СЬ(п) и унитарной и(п) групп проводилось в работе [63]. Бозонные реализации алгебры Ли динамической группы 0(4,2) атома водорода рассматривались в работах [А6, А7] (см. раздел 1.4). Бозонный метод и разложения по НП группы Щп) были использованы в [А2, А4, А9, А10] для описания сильно коррелированных (сверхизлучающих) состояний многоуровневых молекул (результаты представлены ниже в главе 2).
(1.32)
30
1.1.2 Обобщенное представление Вейля и метод фазового пространства.
Математический аппарат квантовой механики, базирующийся на использовании некоммутирующих операторов над гильбертовыми пространствами, коренным образом отличается от аппарата классической физики. Вследствие этого установление квантово-классического соответствия даже для простых модельных систем оказывается нетривиальной задачей. Между тем, рассматривая квантовую систему в состоянии, близком к классическому, часто хотелось бы видеть, как операторные уравнения движения переходят в уравнения классической физики в классическом пределе. Известный путь решения этой проблемы состоит в использовании одного из непрерывных (с-числовых) представлении квантовой механики, в котором операторы будут представлены обычными коммутативными функциями. Первым и наиболее известным представлением такого типа является представление Бейля [49, 64]; матрице плотности в этом представлении ставится в соответствие функция распределения в фазовом пространстве, называемая функцией Вигнера [20, 65]. Широкий класс с-числовых представлений, включающий вышеупомянутые в качестве частных случаев, был построен Вольфом и Агарвалом [38, 39], разработавшими для этого аппарат операторных преобразований Фурье с фильтрацией (аналогичный подход рассматривался в [66, 67]). Ниже приводятся справочные формулы и результаты, полученные в [38, 39], в объеме, требуемом для понимания последующих разделов диссертации.
(i) Пусть операторы Л, В и их коммутатор [Л, В\ удовлетворяют коммутационным соотношениям [Л, [Л, В]] = [В, [Л, В]] = 0 Тогда справедливы тождества:
ехр(Ш)Л ехр(-Ш) = Л - t[Ä, В], (1.33)
ехр(Л) exp(ß) = схр([Л, В}/2) ехр(Л + В). (1-34)
Равенство (1.33) можно доказать, представляя операторные экспоненты в виде exp(±tB) = lim (1 ± tB/n)n, преобразуя операторное выражение под знаком
П-+00
предела с помощью коммутационных соотношений и после выполняя предельный переход. Чтобы доказать тождество (1.34), достаточно продифференцировать оператор F(t) = exp(tA)exp(tB)exp{-t(A + В)} по привести производную к виду F(t) = t[A,B\F{t)i решить получившееся дифференциальное
31
уравнение и подставить в решение £ = 1.
(и) Определим семейство операторных экспонент, представляющих группу Гейзенберга-Вейля:
Равенство (1.37) является следст вием тождества (1.33) Равенство (1.38) можно доказать, представляя операторную функцию С1 (а, а+) в виде ряда и используя (1.37). Равенства (1.39), (1.40) следуют из (1.34).
(ш) В пространстве чисел заполнения (пространстве НИ группы Геизенберга-Вейля, см. раздел 1.1.1) могут быть определены суперпозиционныс состояния |о), а е С, называемые полевыми когерентными состояниями (КС) или когерентными состояниями квантового гармонического осциллятора [68-70], для которых выполняются следующие соотношения:
D (q) = схр (ст+ - а*а). Для них выполняются равенства:
(1.35)
/Г1 (а) = D+ (а) = D (-а),
Ь+ (а) aD (a) = a + ft, D+ (a) fi+D (ft) = a+ + ft* Z>+ (ft) G (a, a+) D(a) = G{a + a, a+ + a*),
(1.36)
(1.37)
(1.38)
b(a) = exp (- |o|2 /2) exp (oa+) exp(a*a) = (1.39)
= exp (|o|2/2) exp(ft’a) exp (fta+),
D (ft') D (a) = D (ft' + a) exp {(a'ft* - a'*a) /2} . (1.-10)
(1.41)
|a) = D (o) |0), a |ft) = ft |ft),
a+ (o) = (ft*/2 + d/da) |ft)
(1.42)
(1.43)
(1.44)
(1.45)
(1.46)
(a' | a) = exp (a'*ft - |ftf /2 - |ftf /2) , (ft I a) = 1, (1.47)
(a'| D (/?) |o) = (a' I o) exp {pa" - p'a - Щ2 /2). (1.48)
32