Глобальный численный анализ полудинамических систем седлового типа

I
Оглавление
Введение 4
Глава 1 Траекторный анализ 23
1.1 Инвариантные многообразия .................... 25
1.2 Окрестность стационарной точки................... 25
1.2.1 Устойчивое многообразие в окрестности гиперболической точки 32
1.2.2 Неустойчивое многообразие в окрестности гиперболической точки.............................. 35
1.2.3 Устойчивое многообразие в окрестности седло-
вой точки.................................. 41
1.2.4 Неустойчивое многообразие в окрестности сед-
ловой точки................................ 48
1.3 Окрестность нестационарной точки................. 54
1.3.1 Устойчивое многообразие ................... 56
1.3.2 Неустойчивое многообразие.................. 71
Глава 2 Глобальный анализ 82
2.1 Аттрактор........................................ 83
2.1.1 Полугруппы АК-класса....................... 85
2.2 Устойчивость..................................... 92
2
»
2.2.1 Полу непрерывность сверху .................... 94
2.2.2 Критерий полной непрерывности................. 96
2.2.3 Полунепрерывность аттрактора для модифицированных уравнений Навье-Стокса.....................102
2.2.4 Время притяжения..............................112
Глава 3 Численные алгоритмы 119
3.1 Проектирование на устойчивое многообразие............120
3.1.1 Классификация методов для неподвижной точки 121
3.1.2 Общий случай допустимых смещений..............137
3.1.3 Методы проектирования для нестационарной точки .................................................143
3.1.4 Реализация для неподвижной точки..............145
3.1.5 Реализация для нестационарной точки...........149
3.2 Проектирование на неустойчивое многообразие 154
3.2.1 Методы для неподвижной точки..................154
3.2.2 Методы для нестационарной точки...............158
3.2.3 Практическая реализация.......................160
3.3 Аппроксимация глобального аттрактора.................161
Глава 4 Результаты расчетов 165
4.1 Устойчивое многообразие. Неподвижная точка .... 167
4.2 Нестационарная точка.................................189
4.3 Неустойчивое многообразие. Неподвижная точка . . . 208
4.4 Аппроксимация аттрактора.............................213
Заключение 215
Библиографический список 217
3
»
Введение
Глобальное численное исследование нелинейного нестационарного процесса (полудинамической системы) предполагает изучение эволюции системы с конкретными начальными условиями (и близкими к ним), а также описание качественного поведения системы для некоторого достаточно широкого множества начальных условий. Эффективное решение данных задач имеет важное теоретическое и прикладное значение, так как позволяет не только анализировать и предсказывать динамику конкретной траектории, но и управлять динамикой, а также моделировать качественные глобальные изменения в случае возмущения оператора эволюции. Работа направлена на разработку теоретических и прикладных методов решения данных задач.
Изучение системы с известным оператором эволюции 5(£, •) для конкретных начальных данных ао заключается в построении траектории = 5(й,ао) требуемой длины I € [О,Г]. Будем считать, что рассматриваемый процесс точно определяется оператором £(£, •), т.е. найденное значение а£ точно соответствует состоянию системы в момент времени Ь. В этом случае появляется возможность не только предсказывать эволюцию системы для имеющегося начального условия ао, но и пытаться за счет некоторого изменения ао обеспечить
4
требуемую динамику. Формально это означает, что для оператора 5, действующего в пространстве Н и задающего некоторый эволюционный процесс, требуется построить по заданным начальным условиям ао и 20 такую поправку / Е £ С Я, что траектория 5(£ ао+/) сближается с траекторией 5(£, 2о) при 0 < Ь < Т. По сути постановка задачи означает, что эволюционный процесс с начальным условием 2о предпочтительнее, чем с имеющимся условием ао- Мы хотим изменить ао и обеспечить требуемую динамику. Конечномерное подпространство £ задает вид допустимых смещений при изменении начальной точки ао- Если (20 — ао) € £, то можно выбрать и = ао + / = 2о- В этом случае — 5(£, 2 о) = 0. Будем считать, что (20 — ао) £. Наличие
подпространства допустимых смещений £ означает, что изменять начальные данные разрешается только в определенных пределах. Например, если ао является функцией, определенной в области ГУ то подпространство £ может состоять из финитных функций, отличных от нуля в некоторой подобласти ГУ С П. В этом случае исходные данные ао будут изменяться только в ГУ. Если же (20 - ао) 6 £, но норма (20-ао) недопустимо велика, то, возможно, существенно меньшими по норме изменениями I можно достичь требуемой сходимости траекторий за счет внутренней устойчивости оператора задачи. Дело в том, что обычно неустойчивость оператора 5 сосредоточена на некотором конечномерном подпространстве пространства Я. Поэтому в имеющейся погрешности (20 —ао) достаточно исключить только неустойчивую составляющую. Убывание погрешности в устойчивом подпространстве обеспечивается разрешающим оператором 5 задачи. В некотором смысле, мы хотим достичь требуемого сближения траекторий, выбрав подходящие начальные данные с учетом внутренней структуры близких траекторий. Отметим, что метод асимптотической стабилизации по краевым условиям для нестационарных уравнений математической физики требует решения подобного рода задач. К такого рода задачам также относится инженерная про-
5
блема скорейшего вывода системы на требуемый режим (например, предварительный прогрев точного прибора), а также удержание механической системы в окрестности точки условно устойчивого равновесия. Конечномерность подпространства С не означает конечности числа его элементов, поэтому значение I даже теоретически невозможно найти полным перебором.
В работе (см. [55]-[58]) решение задачи строится на основе известных результатов теории устойчивых и неустойчивых многообразий, разработанных для динамических систем гиперболического типа. Если траектория 5(£,£о) является гиперболической (т.е. близкие к 5(£,2о) траектории качественно ведут себя как в окрестности седловой точки), то 5(£, 2о) и £■(£, ао) для почти всех ао локально расходятся. Однако, согласно обобщенной теореме Адамара-Перрона [1, 79, 88], при выполнении условий частичной гиперболичности в окрестности Охо существует так называемое локальное устойчивое многообразие Н?_(го,/), задаваемое некоторой функцией /. Траектория каждой точки устойчивого многообразия сближается с траекторией точки 2о ПРИ всех t > 0. Поэтому решение рассматриваемой задачи можно сформулировать как приближенное проектирование на многообразие Н^го,/). Точность проектирования будет определять гарантированное время [О, Г] сближения траекторий. При этом для точек хмногообразия УУ_(,£о,/) значение Т может быть выбрано сколь угодно большим.
Теорема Адамара-Перрона также утверждает, что в окрестности Ого существует локальное неустойчивое многообразие УУ+(го,р)- Все точки и из окрестности притягиваются под действием оператора 5(£, и) к £(<, УУ+(г(ь0))* Таким образом данное множество определяет качественную картину динамики на больших временах для близких к 2о) траекторий. Более того, в терминах неустойчивых многообразий удается определить глобальный аттрактор М полуди-намической системы {£(£, •),#}. Множество М равномерно притя-
6
»
гивает с течением времени все траектории с начальными данными из произвольного ограниченного подмножества Ва С Я.
Устойчивые и неустойчивые многообразия называют [68] "усами Адамара". Множества \У± локально определяют [79, 1, 64, 85] качественную картину динамики, то есть поведение траекторий вида {5(^11)} для £ > 0 пока д?(£,г/) С г* = 5(£,го). Многообразие И>-(го>/) играет существенную роль в теории устойчивости Ляпунова [79], общей теории динамических систем [1], задачах асимптотической стабилизации неустойчивого [98] решения, в том числе для уравнений математической физики. Так как устойчивое многообразие составляют те точки и окрестности для которых Б(^и) С Огг при всех £ > 0, то процесс стабилизации по своей сути заключается в некотором проектировании начальных данных на
В терминах многообразия УУ”(0, /) и "правильности по Ляпунову" [79] решается, например, вопрос об условной устойчивости тривиального решения х{£) = 0 системы дифференциальных уравнений С£ж
— = А(£)ж + .Р(£, ж), где ж, F - векторы, а А(£) - матрица, равномер-
Г\
но ограниченная и равномерно непрерывная. Отметим также, что многообразие >У" играет существенную роль в классической теории У-систем [1] и различных к ней дополнениях [86, 87, 88].
В терминах многообразия строятся так называемые [68] гло-бально устойчивые аппроксимации - позволяющие получать обоснованные численные результаты при расчетах на формально бесконечном интервале времени. Сходимость в этом случае понимается в смысле близости аттракторов дифференциальной М и разностной Мь задач. Напомним, что глобальный аттрактор по сути представляет собой (см. [61|-[76]. [3]-[6], [95]) некоторое предельное множество решений, реализуемых в системе при £ —► оо с начальными данными из достаточно большого шара Ва■ В рамках такого подхода основное
7
внимание уделяется изучению структуры глобального аттрактора задачи, в том числе (см. [3]) его аппроксимации (см. [36], [37, 38, 39]) с требуемой точностью. Известно [4], что глобальный аттрактор представляет собой неустойчивое многообразие для окрестности Ва. Поэтому возможность нахождения с известной точностью точек W+ позволяет решить задач}-' аппроксимации нетривиальных траекторий глобального аттрактора с требуемой точностью. Это имеет важное практическое значение для обоснования (см. [45, 46, 50]) численных расчетов сильно неустойчивых нестационарных задач на больших интервалах времени. Например, при численном моделировании [14]-[18] климатической изменчивости.
Теория локальных устойчивых и неустойчивых многообразий для систем гиперболического тина активно развивается с 1960-х годов и на данный момент считается построенной. Имеется цикл работ отечественных и зарубежных авторов, где получены законченные результаты о существовании многообразий, выяснены их свойства, описана, общая картина динамики отдельных траекторий. Основы данной теории в конечномерных пространствах были заложены в работах А.М. Ляпунова, А. Пуанкаре, Г. Дарбу, Ж. Адамара, О. Перрона (см. §1 и библиографию в [1]). Ключевое место принадлежит работам Д.В. Аносова [1]. Несколько позже соответствующие результаты были получены для банаховых пространств. Так в работах Юдовича обоснован (см. [104]) принцип линеаризации для уравнений Навье-Стокса. Отметим работу [64) O.A. Ладыженской и В.А. Солонникова, где соответствующая задача была решена для уравнений магнитной гидродинамики (предложенная в [64] техника активно применялась в дайной работе.)
Далее, в цикле работ Я.Б. Песина (см. [85]-[89]) результаты теории гиперболических систем были обобщены на частично неравномерно гиперболические системы (случай нестационарной траектории нами исследовался (см. [55]-[58]) на основе результатов Я.Б. Песина).
8
»
В данной работе получено обобщение соответствующих результатов теории устойчивых и неустойчивых многообразий на траектории седлового типа. В окрестности седловой траектории локальное поведение качественно напоминает динамику гиперболической системы, но формально траектория не является ни гиперболической, ни частично гиперболической. Показано, что условие гиперболичности можно ослабить. Для существования достаточно, чтобы в окрестности стационарной точки (траектории) исходное пространство разлагалось в прямую сумму двух подпространств таких, что на одном подпространстве оператор задачи является слабо растягивающим, а на другом не растягивающим. При этом соответствующие условия проверяются для точек специального вида.
Отметим, что вопрос об устойчивости движений в негиперболическом случае рассматривался в диссертации и последующих работах А.М. Ляпунова [79], где были, в том числе, предложены методы решения данной задачи для некоторых систем подобного типа. Однако, применяемая техника функционально-аналитических рядов в этом случае требует исключительно кропотливого исследования. Дальнейшие исследования, проводимые различными авторами [94, 28, 36, 97, 5, 26], значительно расширили круг решенных задач, в том числе о существований W* для уравнений в частных производных. Нетривиальные результаты получены в работах А.И. Рей-зинь, С. Coleman, С.Ю. Пилюгина, И.Н. Костина (см. [92, 20, 91, 40]). Однако, рассматриваемые схемы доказательства существенно опирались либо на особенности конкретной задачи, либо на одномерность негиперболического подпространства разрешающего оператора.
В данной работе предложен общий метод исследования в окрестности седловой траектории. При этом сформулированные условия позволяют рассматривать задачи, для которых строго гиперболические подпространства отсутствуют, а главные члены оператора динамической системы имеют, например, следующий вид S±(to,u) =
9
Р±{и ± Ски2к+1 + ...)• Соответствующие результаты получены на основе известного метода сжимающих (экспоненциально) отображений, и его обобщении на случай слабо сжимающих (полиномиально) отображений. Отметим, что полиномиальный закон сжатия является известным, однако возможность его применения для решения данной задачи не является очевидной. Существование многообразий в седловом случае заложено в определении, поэтому проблема состояла в конструктивном описании соответствующего типа отображений. Полученные результаты асимптотически неулучшаемы, однако проверка требуемых условий для конкретных задач может оказаться отдельной проблемой.
Теоретические результаты о существовании локального устойчивого и неустойчивого многообразий в окрестности Охо изолированной неподвижной иегиперболической точки го, а также в окрестности траектории седлового типа изложены в первом разделе работы. Предварительно приводятся известные результаты для гиперболической точки. На основе изложенных методов в третьем разделе строятся численные алгоритмы.
Теоретические результаты и практические алгоритмы для неустойчивого многообразия УУ"1" не являются переформулировкой соответствующих теорем, полученных для многообразия УУ~, хотя известно, что при формальном обращении времени устойчивое и неустойчивое многообразие меняются местами. Данный прием неприменим в случае полудинамических систем, т.к. оператор 5 не имеет обратного, а также для седловых систем. Отметим, что эффективность численных алгоритмов также существенно зависит от реализации, так как практическое обращение оператора 5 может оказаться исключительно трудоемкой, либо некорректной вычислительной задачей. Полученные результаты для локально неустойчивых многообразий применяются во втором разделе, а также при построении численных алгоритмов.
10
I
Если основная задача первого раздела по сути сводится к исследованию устойчивости отдельной траектории, то во втором разделе рассматривается вопрос об устойчивости предельного (по времени) множества всех траекторий. Дело в том, что при решении практических задач исходный оператор 5 (£, •) и начальные данные ао заменяются па приближенные 5л(^, •) и Параметр Л отвечает за точность приближения. Более того, обычно приходится рассматривать и новое приближенное пространство состояний Н\. В результате моделируемая а* = 5л(£,ао) и истинная аг = 5(£,ао) траектории начинают с течением времени расходиться. При этом стандартная оценка локальной скорости расхождения имеет экспоненциальный вид: ||а*—а* || < Слеа£, а > 0, а коэффициент С\ стремится к нулю при повышении точности аппроксимаций оператора и начальных данных. Это приводит к тому, что точность моделирования ||а£—а*|| < е можно гарантировать на некотором конечном отрезке времени (0,Г(с)].
Для многих реальных процессов суммарная погрешность модели, аппроксимации начальных данных, форсинга имеет практически неустранимый характер. В итоге время моделирования Т{е) с гарантированной точностью оказывается много меньше интересующего. Это верно, например, при моделировании неустойчивых течений жидкости, газа, в общей теории климата. Однако, для подобных задач наибольший интерес представляет не поведение конкретной траектории, а некоторое типичное состояние, которое может наблюдаться в системе. Строгое определение типичности зависит от задачи. В связи с этим возникает проблема описания всех возможных предельных состояний Му которые реализуются в системе при больших временах. Отметим, что данная постановка разумна только для систем с компактным множеством М. Для задач математической физики, описывающих различные физические процессы и действующих в некомпактных пространствах, существование М и, тем более, его компактность неочевидны.
11
I
За последние три десятилетия в теории динамических систем и дифференциальных уравнений были получены многочисленные факты, показывающие, что многие физические (химические, биологические, социальные) процессы являются диссипативными - все множество возможных событий (начальных данных) с течением времени сжимается к множеству реализуемых событий, которое составляет крохотную часть всего пространства событий. При этом предельное множество реализуемых событий компактно и, как следствие, может быть аппроксимировано с любой требуемой точностью конечным числом элементов. Такое предельное множество получило название глобальный аттрактор. Также стоит отметить цикл монографий И. Пригожина, где строится концепция физического понятия "стрелы времени". В данной теории показывается, что каждый нестационарный физический процесс эволюционирует к некоторому множеству предельных состояний.
К концу 40-х годов в основном была построена общая теория предельных множеств для полудинамических систем (ПДС) в локально компактных пространствах. Суть данной теории заключается в изучении минимальных множеств, притягивающих с течением времени ту или иную часть фазового пространства задачи. Первые результаты для ПДС, действующих в нелокально компактных пространствах, были получены в работах Дж. Хейла и его коллег [24, 25] при исследовании обыкновенных дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом. Приблизительно в это же время O.A. Ладыженская (см. |63|) для двумерных уравнений Навье-Стокса построила множество М) равномерно притягивающее произвольное ограниченное подмножество В исходного пространства Я. Была доказана минимальность данного множества среди всех, обладающих этим свойством, строгая инвариантность относительно разрешающего оператора задачи. Среди всех строго инвариантных подмножеств пространства множество М является максимальным. Само М ком-
12
I
пактно и связно. На нем исходная полугруппа. S(t, •) продолжается до непрерывной группы. Каждая полная траектория из М определяется ее ортопроекцией на некоторое фиксированное конечномерное подпространство. Построенное множество было названо минимальным глобальным ß-аттрактором ПДС. В настоящий момент М, обычно называют [95] глобальным аттрактором.
Значение работы [63] стало понятно, когда в рамках предложенного подхода удалось исследовать класс компактных (/С-класс) по-лудинамических систем и обобщить его на асимптотически компактные [AIС-класс) задачи. Г1о рассмотренной схеме подробно исследованы уравнения Навье-Стокса, полулинейные параболические уравнения, уравнение Шредингера, волновое уравнение. При этом выяснилось, что AIC-класс охватывает, в некотором смысле, все задачи с компактным глобальным аттрактором. Теория аттракторов эволюционных уравнений (теория глобальной устойчивости) формировалась в работах A.B. Бабина, М.И. Вишика [4], O.A. Ладыженской [68],[72], Р. Темама [95], Дж. Хейла [26] и других исследователей. Полученные к настоящему моменту результаты охватывают весьма широкий класс задач математической физики. Несколько иной подход [5] к решению данной задачи позволяет также построить общую теорию для уравнений с неединственными решениями и правой частью, зависящей от времени.
Таким образом, с течением времени остаются только точки глобального аттрактора (и близкие к ним). Так как динамика на аттракторе в общем случае продолжает оставаться сильно хаотичной, и мы не можем достаточно долго отслеживать отдельную траекторию движения, то естественно ограничиться изучением общего поведения динамической системы на аттракторе. В рамках данного подхода при моделировании нестационарных процессов выделяются несколько отдельных задач.
Существование М позволяет сформулировать условие близости
13
I
исходной и возмущенной задач на бесконечном интервале времени в терминах близости аттракторов соответствующих задач. Если при малых возмущениях аттрактор М\ приближенной задачи находится в малой окрестности М > то множество М полунепрерывно сверху зависит от параметра Л. Такого рода аппроксимации O.A. Ладыженская предложила называть [68] глобально устойчивыми. В данном случае приближенная траектория всегда будет оставаться в некоторой малой окрестности предельного множества М. При этом, возможно, не существует точной траектории которая близка к моделируемой при всех t > 0. При этом считается, что разрешающий оператор возмущенной задачи аппроксимирует исходный оператор в стандартном смысле.
Проблема сходимости М\ к М исследовалась, начиная с работ [35, 3, 68], многими авторами. Были получены условия, при выполнении которых аттрактор исходной задачи полунепрерывно сверху зависит от возмущающего параметра в разрешающем операторе задачи. То есть аттракторы М\ семейства задач, аппроксимирующих данную, содержатся в ^-окрестности исходного аттрактора М. Основные результаты подытожены в монографии [4]. Позднее вопрос о близости аттракторов двух полудинамических систем при условии близости в некотором смысле их разрешающих операторов рассматривался в работах [71, 27, 8, 33, 36, 96, 97, 105]. При достаточно общих предположениях для асимптотически компактных полугрупп доказана полунепрерывность сверху (глобальная устойчивость). Полная непрерывность доказана [4, 36] для полугрупп, аттракторы которых компактны и представляют собой объединение неустойчивых многообразий конечного числа гиперболических стационарных точек по-лупотоков. При этом необходимо, чтобы полудинамическая система принадлежала указанному классу равномерно по параметру. В работе [71] проведен детальный анализ некоторых конечно-разностных аппроксимаций для полулинейных параболических уравнений. В ра-
14
к
ботах [73, 74, 75] аналогичные результаты получены для двумерных уравнений Навье-Стокса. Следует отметить, что в [75] были найдены новые априорные оценки, и дан принципиально новый метод их вывода. Дело в том, что существование компактного М (Л1а) обусловлено двумя свойствами задачи: наличием ограниченного поглощающего множества в фазовом пространстве Н и компактностью в Н разрешающих операторов задачи £(£, •) при £ > 0. Первое свойство без особого труда выводится из уравнения баланса энергии, второе же обычно получают из некоторого интегрального соотношения с помощью неравенства Солонникова-Каттабрига, которое справедливо для областей с достаточно гладкой границей, например д£1 С С2. В работах [73, 74] для уравнений Навье-Стокса свойство компактности разрешающего оператора получено для ограниченных областей П с Л2 с негладкой границей. Основное достоинство такого подхода состоит в том, что он непосредственно переносится не только на аппроксимации типа Ротэ и Фаэдо-Галеркина [73], использующие в качестве базисных функций собственные функции оператора Стокса и представляющие интерес с теоретической точки зрения, но и на метод конечных элементов и на большинство конечно-разностных схем. Аналогичные оценки [49] имеют место также и для модифицированных уравнений Навье-Стокса в смысле Ладыженской для трехмерного случая. Таким образом, в общем случае вопрос о полу-непрерывности глобального аттрактора сверху подробно исследован.
Более сложной оказывается проблема описания всей динамики на аттракторе. Данная задача соответствует построению аппроксимаций, для которых имеет место полная непрерывность (непрерывность сверху и снизу) аттрактора М по параметру аппроксимации, и нахождению е-сети для множества М. Отметим, что в общем случае данные задачи не эквивалентны.
Свойство компактности глобального аттрактора позволяет аппроксимировать его конечной е-сетыо с любой интересующей точ-
15
I
ностью. Имеется по крайней мере два подхода к построению такой аппроксимации. Первый подход [38] основан на свойстве равномерного притяжения к аттрактору поглощающего множества Ва) т.е. на формуле М = Dt>o[^’ -®a)]tf> второй — на возможности продолжить [97] на М исходную ПДС до непрерывной группы, т.е. на формуле М = W+(J5a).
Первая проблема, возникающая при этом, отмечалась еще в работе [63], где на простейшем примере было показано, что аттрактор конечного подмножества исходного пространства может существенно отличаться от глобального аттрактора задачи. Это означает, что полная непрерывность не достаточна для построения е-аппроксимации аттрактора. Далее, в большинстве случаев мы вынуждены заменять исходный оператор S(t} •) задачи на приближенный. Это приводит к тому, что в лучшем случае удается аппроксимировать аттрактор М\ возмущенной задачи.
В работе [38] И.Н. Костина предлагалось аппроксимировать исходный аттрактор специально построепными множествами, сходящимися к исходному аттрактору в хаусдорфовой метрике. Однако в рамках предложенного подхода неясно как именно оценивать скорость сходимости и, следовательно, получаемую точность аппроксимации. В данной работе показано, что полная непрерывность аттрактора и задача построения е-аппроксимации, в некотором смысле [47] , равносильны нахождению функции Ф(t) скорости притяжения к аттрактору. Это позволяет описать класс возмущений, для которых имеет место полная непрерывность аттрактора исходных ПДС, предложить конструктивный алгоритм аппроксимации аттрактора с произвольной точностью и оценить (в терминах Ф(£)) его сходимость.
Существование Ф (£) следует из определения глобального аттрактора [68]. В терминах функции Ф^) естественно формулируются [68, 4, 14, 8] и доказываются базовые утверждения общей теории гло-
16
V
бальных аттракторов. Особое внимание развитию данного вопроса уделял в своих работах А.Н. Филатов [14].
Априорные оценки для Ф(£) удается построить [4, 40] на основе общей теории неустойчивых многообразий \У+ только для задач с хорошей функцией Ляпунова и конечным числом иегинерболиче-ских точек. Отметим, что конструктивные оценки для Ф(£) и случай существенно негиперболических отображений рассматриваются впервые. При этом результаты о полной непрерывности аттрактора для такого типа задач в случае гиперболических точек, а также для задачи Чафе-Инфанта с одномерным негиперболическим подпространством, хорошо известны.
Однако, хорошая функция Ляпунова известна только для отдельного класса задач (хотя, формально, Ф(£) можно считать хорошей функцией Ляпунова), поэтому представляет интерес конструктивный алгоритм определения скорости притяжения к аттрактору. В работе (см. |54]) для двумерных уравнений Навье-Стокса, задача о каверне, рассматривается вопрос о численном нахождении оценки для функции Ф(£). В рассмотренном диапазоне параметров, как показывают результаты численных экспериментов, разрешающий оператор задачи является сжимающим. В этом случае несложно доказать, что аттрактор представляет собой единственную неподвижную точку в пространстве решений, соответствующую стационарному решению, которая притягивает равномерно любое ограниченное подмножество начальных данных. Скорость притяжения к аттрактору определяется параметром сжатия отдельных траекторий.
В общем случае в окрестности точек аттрактора существуют как устойчивые так и неустойчивые слои. Это приводит к тому, что близкие траектории с течением времени начинают расходиться. В этом случае асимптотическая скорость притяжения малой окрестности вдоль произвольной траектории аттрактора определяется скоростью притяжения к неустойчивому слою, построенному вдоль рассматри-
17
ваемой траектории, т.е. глобальными показателями Ляпунова. Определяющее значение сходимости глобальных показателей Ляпунова по параметру дискретизации для глобальной устойчивости задач математической физики подчеркивалось в работах В.Г1. Дымникова, А.
С. Грипуна [15, 16]. Сходимость глобальных показателей Ляпунова в общем случае является необходимым условием глобальной устойчивости полудинамических систем.
Общая теория глобальной устойчивости полудинамических систем в локально некомпактных пространствах является одним из основных методов обоснования результатов численного моделирования нестационарных неустойчивых диссипативных процессов. Изложенная в цикле работ |90] точка зрения на физическую основу реальных динамических процессов позволяет надеяться на универсальность теории глобальных аттракторов и теории глобальной устойчивости.
Третий раздел содержит численные алгоритмы аппроксимации локальных инвариантных многообразий, а также метод аппроксимации глобального аттрактора и его нетривиальных траекторий. Наличие формальных теорем существования многообразий не обеспечивает решение задачи построения искомых множеств. Основное внимание в работе уделено разработке прикладных алгоритмов аппроксимации многообразий. При этом рассмотренные в работе методы, в том числе, могут применяться для конструктивного доказательства существования многообразий У\?± в окрестности траектории гиперболического типа.
Отметим, что теоремы существования многообразий обычно доказываются именно конструктивным образом. Так в методе функционально - аналитических рядов формулируется правило построения коэффициентов ряда, задающего искомое многообразие; в методе сжимающих отображений - выписывается итерационный процесс в пространстве функций, сходящийся к искомому многообра-
18
зию. Структура доказательства состовляет основу численных алгоритмов.
При численном решении задачи построения многообразий наибольшее развитие получил метод функционально-аналитических рядов, а также его некоторое обобщение [23]. Однако, реализация данных подходов для задач высокой размерности и, как следствие, для банаховых пространств затруднительна.
В данной работе за основу выбран метод сжимающих отображений. Показано, что многие известные методы решения данной задачи, в том числе и метод рядов, можно сформулировать как различные модификации итерационного процесса решения функционального уравнения, задающего многообразие. В рамках данного подхода удалось не только теоретически сравнить эффективность имеющихся алгоритмов, но также предложить новые методы решения рассмотренной задачи. Отметим, что наиболее универсальный и эффективный численный алгоритм построен на основе предложенного метода доказательства существования многообразий в седловом случае. Соответствующие алгоритмы могут быть реализованы в общем виде, в том числе [84] на слабо связанных вычислительных комплексах.
Если в случае неподвижной точки 2о = 5(£,2о) имеются [21, 81, 23] прикладные алгоритмы аппроксимации многообразий, то для траекторий данная задача рассматривается и решается, видимо, впервые. Дело в том, что соответствующий переход не является формальным техническим обобщением, хотя имеется [88] аккуратное конструктивное доказательство существования устойчивого многообразия методом рядов. Дело в том, что, как известно [1, 79, 88], устойчивое многообразие зависит от свойств оператора 5 вдоль всей по-лутраектории 5(^,2о), £ > 0. Это затрудняет применение имеющихся теоретических результатов о существовании устойчивого многообразия при практических расчетах. Отметим, однако, что рассматрива-
19
I
емый в данной работе подход для решения задачи проектирования в окрестности траектории весьма идейно близок к известному методу преобразования графика, изложенном}', например, в работе [2].
Формулировка задачи проектирования на устойчивое многообразие вдоль подпространства £, а также теоретическое обоснование ее корректности имеется в работах A.B. Фурсикова [98], [991. Численное решение соответствующей задачи для нестационарных уравнений математической физики методом "нулевого приближения" (а также численное решение задачи асимптотической стабилизации но краевым условиям) подробно исследовано и изложено в работах Е.В. Чижонкова [101, 102, 103].
Численные алгоритмы аппроксимации устойчивых многообразий рассматривались в работах Гукенхемера и Владимирского [23]. Однако, применение данных результатов для пространств высокой размерности и, в том числе, для уравнений математической физики, весьма проблематично. Также, видимо, остается открытым вопрос о строгом обосновании сходимости соответствующих алгоритмов.
В работе предлагается итерационный метод построения искомой проекции и = ао + /, обосновывается сходимость, проверяется эффективность для системы Лоренца, одно- и двумерного уравнения Чафе-Инфанта, одного уравнения и системы двух уравнений типа Бюргерса в одно- и двумерном случае, системы уравнений типа Навье-Стокса в двумерном случае. Широкий спектр рассматриваемых задач показал эффективность предложенных алгоритмов, а также позволил оценить область применимости разработанного подхода.
Отдельно рассматривается задача численного проектирования на неустойчивое многообразие. Предложенные алгоритмы позволяют построить искомую проекцию в том числе для уравнений в частных производных, что позволяет аппроксимировать с гарантированной точностью нетривиальные траектории глобального аттрактора
20