Смешанный гибридный метод конечных элементов и метод декомпозиции области для вариационных неравенств второго порядка

Оглавление
Введение
1 Обзор известных результатов
1.1 Формулировка вариационного неравенства..................
1.2 Функциональные пространства.............................
1.3 Примеры вариационных неравенств.........................
1.4 Теоремы существования, единственности и гладкости . . .
1.5 Задача Стефана..........................................
1.6 Монотонные операторы и выпуклые функции.................
1.7 Аппроксимации вариационных неравенств ..................
1.7.1 Аппроксимация задачи о препятствии...............
1.7.2 Аппроксимация задачи Синьорини...................
1.7.3 Аппроксимация контактной задачи..................
1.7.4 Алгебраические формулировки сеточных вариационных неравенств...............................
1.7.5 Аппроксимация задачи Стефана.....................
1.8 Некоторые итерационные методы...........................
1.8.1 Метод верхней релаксации ........................
1.8.2 Методы расщепления ..............................
1.9 Задача с седловым оператором для
вариационных неравенств................................
Смешанные гибридные методы для
эллиптических вариационных неравенств 55
2.1 Смешанная гибридная схема
для задачи Сипьорини..................................... 55
2.1.1 Постановка задачи................................. 56
2.1.2 Смешанная гибридная постановка.................... 57
2.1.3 Аппроксимация..................................... 62
2.1.4 Итерационный метод................................ 65
2.1.5 Численные результаты.............................. 69
2.1.6 Метод решения конечноэлементной схемы
для задачи Синьорини............................... 73
2.1.7 Численные результаты.............................. 77
2.2 Задача с ограничениями во внутренних точках области . . 79
2.2.1 Смешанная гибридная постановка.................... 79
2.2.2 Аппроксимация..................................... 81
2.2.3 Численные результаты.............................. 84
Метод декомпозиции области для задачи о препятствии 85
3.1 Постановка задачи....................................... 85
3.2 Эквивалентная задача с суммой двух
максимально монотонных операторов........................ 86
3.2.1 Аппроксимация..................................... 87
3.2.2 Метод расщепления................................. 89
3.3 Метод декомпозиции области с использованием
функции Лагранжа ........................................ 93
3.3.1 Аппроксимация..................................... 95
3.3.2 Метод расщепления................................. 99
3.3.3 Другие варианты выбора прсдобусловливателя ... 102
3.4 Численные результаты....................................103
4 Решение задачи Стефана с предписанной конвекцией 114
4.1 Смешанная гибридная схема...............................114
4.1.1 Математическая модель.............................114
4.1.2 Смешанная гибридная формулировка задачи .... 115
4.1.3 Аппроксимация.....................................119
4.1.4 Численные результаты..............................121
ф 4.2 Декомпозиция области в задаче Стефана....................124
4.2.1 Схемы предиктор-корректор.........................124
4.2.2 Численные результаты..............................128
«
4
*
Обозначения
R" — евклидово пространство n-мерных ВвЩеСТВСННЫХ векторов
Г2 — область, т. е. открытое подмножество в Rn
сК2 — граница области Г2
Ск{ П) — множество к раз дифференцируемых в Q функций
^(0) — пространство бесконечно дифференцируемых финитных в
области Q функций
^ Ьр(О) — пространство Лебега вещественных измеримых функций,
интегрируемых с р-й степенью в области Q
W™(Q) — пространство Соболева таких функций, что все их обоб-
щенные производные до порядка т включительно принадлежат Lp
Ят(0) = W2m(f2)
Я0ЧП) ={чеН'(П)| гх[^ = 0}
#
mes (Г2) — мера Лебега области Г2
int Q — множество внутренних точек £2
S2 — замыкание Г2
D(A) — область определения оператора А : V —> V*,
D(A) = {х € V| Ах ф 0}
Л(А) — область значений оператора А : V —* V* >
R(A) = {у Є V*\ 3 х € D(A) :уЄАх}
graph А — график оператора А : V —► V*,
graph А = {(х,у) Є V х V*[ х Є О(А), у Є Ах}
£(у>) — эффективная область функционала р : V —► М U {+оо},
D(y>) = {х Є V\ р(х) < +оо}
Ік — индикаторная функция множества К
dp — субдифференциал (множество субградиентов) выпуклого
полунепрерывного снизу функционала р
Кег А — ядро матрицы А, Кег А = {х : Ах = 0}
Im А — образ матрицы A, Im А = {у : 3 х такой, что t/ = Ах}
Е — единичная матрица
п. в. — почти всюду, почти все
пн. сн. — полунепрерывный снизу
6
Введение
Теория вариационных неравенств является интенсивно развивающейся областью нелинейного анализа, сформировавшейся к настоящему времени как самостоятельная дисциплина и занимающей важное место в математике и механике. В виде вариационных неравенств формулируются задачи математической физики со свободными границами, описывающие, например, фильтрацию жидкости в пористой среде, пластические и вязко-пластические деформации, контакт упругих тел, фазовые переходы.
Начало теоретическому исследованию вариационных неравенств положили работы G. Fichera [51], J.-L. Lions и G. Spampaccia [58], H. Brézis [36]. Подробное изложение теории вариационных неравенств и ее применения к решению различных прикладных задач можно найти в книгах Ж.-Л. Лионса [18], Г. Дюво и Ж.-Л. Лионса [7], А. Фридмана [29], Д. Киндерлерера и Г. Стампаккьи [13].
Одним из наиболее широко используемых методов решения задач маг тематической физики является метод конечных элементов (МКЭ). Теория МКЭ изложена, например, в работах О. К. Зенкевича [8], Г. Стренга и Дж. Фикса [26], Ф. Сьярле [27]. Несмотря на то, что этот метод в достаточной степени теоретически разработан, остается много проблем его эффективного использования при решении прикладных задач, в особенности, задач большой размерности, нелинейных задач и т. д.
Основными проблемами при использовании МКЭ являются пробле-
мы повышения точности численного решения и эффективности реализации построенных сеточных схем. Смешанные и смешанные гибридные МКЭ позволяют повысить точность нахождения градиентов решения.
В диссертации рассмотрены смешанные формулировки некоторых вариационных неравенств, которые отличаются от исходных тем, что содержат две неизвестные функции — вводится новая переменная, являющаяся градиентом решения задачи. Гибридная постановка основана на разбиении области, в которой отыскивается решение, на некоторые подобласти, после чего задача формулируется относительно следующих двух неизвестных: значений искомой функции во внутренних точках элементов и ее значений на границах элементов. Таким образом, по своей идее гибридный метод близок методу декомпозиции области, про который будет сказано ниже. Смешанная гибридная формулировка основана на объединении двух упомянутых подходов.
Смешанные и смешанные гибридные формулировки краевых задач позволяют применять МКЭ с одновременной аппроксимацией искомой функции и ее градиента. Это позволяет находить градиент решения более точно по сравнению с приемом численного дифференцирования уже найденного решения задачи. Следовательно, в прикладных задачах, где интерес представляют также градиенты решения, смешанные МКЭ являются важным инструментом численного решения.
Теория смешанных и гибридных МКЭ достаточно полно развита для линейных краевых задач (см. монографии F. Brezzi и М. Fortin [38), J. Е. Roberts и J. М. Thomas [83] и библиографии в них). Существенные результаты по сходимости и точности схем таких конечных элементов получены для нелинейных эллиптических уравнений в работах F. A. Milner [71], F. A. Milner и E.-J. Park [72], E.-J. Park [79], M. Lee и F. A. Milner [65], F. A. Milner и M. Suri [73), M. Farhloul [49], Z. Chen [40] и других.
Смешанные и гибридные МКЭ для задачи Синьорини и контактных задач исследованы J. Haslinger и I. HlaväEek [52], Р. Coorevits, Р. Hild и J.-P. Pelle [42], Р. Coorevits, Р. Hild, K. Lhalouani и Т. Sassi [74], L. Baillet и Т. Sassi [32], В. F. Belgacem и Y. Renard [35], R. Hassani, Р. Hild,
I. R. Ionescu и N.-D. Sakki [75]. В перечисленных работах исследована точность методов при наличии предположений о регулярности решений. Получены априорные и апостериорные оценки погрешности решения и проведены численные исследования.
Результаты, касающиеся смешанных гибридных методов для вариаг ционных задач, рассматриваемых в диссертации, являются новыми.
В результате аппроксимации вариационных неравенств, как в классической, так и в смешанной гибридной постановке, получаются, как правило, сеточные вариационные неравенства большой размерности и возникает проблема, связанная с необходимостью построения эффективных итерационных методов их решения.
Построение быстрых итерационных методов численной реализации схем МКЭ для линейных уравнений большей частью основывается на построении “хороших” предобусловливателей для матриц соответствующих сеточных схем. Предобусловливание может быть как явное, когда строятся спектрально эквивалентные матрицы для матрицы сеточной схемы, допускающие эффективное обращение, так и неявное. К последнему классу относятся многосеточные методы и методы декомпозиции области.
В работе Ю. А. Кузнецова [60] построен спектрально эквивалентный предобусловливатель для матрицы уравнения, к которому сводится решение смешанной гибридной аппроксимации линейного эллиптического уравнения при применении элементов первого порядка. В качестве пре-добусловливателя выступает сеточный оператор Лапласа на более мелкой сетке. В настоящей работе построены смешанные гибридные схемы
первого порядка для эллиптических вариационных неравенств с ограничениями на искомую функцию на границе (например, задача Синьори-ни) или внутри области (задача о препятствии), предложен и исследован итерационный метод их решения.
В результате так называемой процедуры конденсации (исключения из смешанной гибридной схемы двух неизвестных) соответствующие схемы МКЭ сводятся к сеточным вариационным неравенствам относительно вспомогательных переменных (по существу, множителей Лагранжа) с симметричной положительно определенной матрицей. В [60] показано, что эта матрица спектрально эквивалентна дополнению Шура сеточного оператора Лапласа на более мелкой сетке, что позволяет построить итерационные методы, где сеточный оператор Лапласа является предо-бусловливателем. Метод сходится со скоростью, не зависящей от шага сетки. Следует однако отметить, что реализация каждой итерации этого метода состоит в решении вариационного неравенства с сеточным оператором Лапласа и, тем самым, эффективность построенного метода зависит от способа двухступенчатой процедуры его реализации. Для решения уравнения с оператором Лапласа разработаны быстрые методы и имеется готовое программное обеспечение, в то время как для рассматриваемого случая вариационного неравенства этого сказать нельзя. В диссертации предложен эффективный итерационный метод решения классической (не смешанной) схемы МКЭ для задачи Синьорини, который в свою очередь применен для построения двухступенчатого итерационного метода решения смешанной гибридной схемы МКЭ для задачи Синьорини.
Методы декомпозиции области — это класс методов, основанных на разделении (декомпозиции) области, в которой нужно решить задачу, на подобласти. Особенностью метода является то, что он позволяет свести решение исходной сеточной задачи к решению подзадач, которые имеют
меньшую алгебраическую размерность и связаны между собой некоторыми условиями на линиях разрезов области. Таким образом, строится итерационный процесс, на одной итерации которого нужно решать задачи в подобластях. Методы декомпозиции области делятся на методы с налегающими подобластями и методы без налегания. В данной работе рассматриваются только методы с неналегающими подобластями.
Мотивацией применения декомпозиции области может быть сложная геометрия исходной области, использование различных математических моделей и аппроксимаций в подобластях, возможность использования прямых методов в подобластях. В последнее время метод декомпозиции области приобрел большую популярность в связи с развитием вычислительных систем с параллельной архитектурой. При реализации метода на многопроцессорных компьютерах итерации организуются таким образом, что решение задач в подобластях осуществляется параллельно, за счет чего достигается выигрыш во времени вычислений.
В настоящее время наибольшее развитие получили методы декомпозиции области для эллиптических уравнений второго порядка (см., например, работы В. И. Агошкова [1], A. Quarteroni [80], A. Quarterom, J. Periaux, Ю. Кузнецова и О. В. Widlund [45], В. Smith, Р. Bj0rstad и W. Gropp [87], Р. Le Tallec [66]).
Как уже было отмечено, использование явных предобусловливате-лей для вариационных неравенств, как правило, не приводит к желаемому результату эффективной численной реализации конечномерных вариационных неравенств, поскольку построенные с их помощью итерационные методы снова требуют решения некоторых вариационных неравенств на каждой итерации, а эта задача по трудоемкости решения может быть сравнима с исходной. В то же время, метод декомпозиции области для задач с ограничениями, как с налегающими, так и с неналегающими подобластями, может привести к эффективно реализуемым алгоритмам.
Дополнительным аргументом в пользу применения метода декомпозиции области в случае задач со свободными границами является следующий. Как правило, на основе некоторой априорной информации можно выделить подобласти, содержащие свободную границу, причем размеры этих подобластей могут быть достаточно малы по сравнению со всей областью, в которой отыскивается решение краевой задачи. При соответствующем разбиении области на подобласти мы приходим к необходимости решать в большой подобласти краевую задачу для уравнения и лишь в малой подобласти, содержащей свободную границу, — задачу с ограничениями. Коме того, в подобластях, содержащих свободную границу, можно применять сеточные аппроксимации на мелкой сетке, если особый интерес представляет положение свободной границы.
В диссертации на примере задачи о препятствии внутри области с известной локализацией свободной границы рассмотрены схемы декомпозиции области без налегания с несогласованными сетками, предложены некоторые подходы к их решению и проанализированы результаты вычислительных экспериментов.
Отдельная глава настоящей работы посвящена задаче Стефана с предписанной конвекцией в энтальпийной постановке, моделирующей процесс непрерывной выплавки металла.
Формулировка задачи Стефана (при отсутствии конвекции) с введением функции энтальпии и обоснование существования и единственности обобщенного решения исследовались, например, в работах О. А. Олейник [20], О. А. Ладыженской, В. А. Солонникова и Н. Н. Уральцевой [14], Е. Magenes [69] и А. М. Мейерманова [19]. Исследованию сходимости конечномерной аппроксимации задачи Стефана и точности сеточных схем посвящены работы Ф. П. Васильева [4], Б. М. Будака, Е. Н. Соловьевой и А. Б. Успенского [3], А. А. Самарского и Б. Д. Моисеенко [23], Р. П. Федоренко [28], Е. Magenes [69], R. Е. White [92], R. Н. Nochetto [76],