Содержание
Введение
Глава 1. Приближенно келеровы сфукгуры
1.1. Поч Iи эрмитовы структуры
1.2. Сфумурные уравнения почт эрмиювой сфук|уры
1.3. Приближенно келеровы многообразия
Глава 2. Тензор конгармонической кривизны приближенно
ксл еро в ы х м ногообраз и й
Глава 3. К-постоянство типа Д'/С-многообразия
Глава 4. Приближенно келеровы многообразия постоянной гол оморфной конгармонической к р и в и з н ы
Глава 5 Ковариашный дифференциал тензора кошармонической кривизны приближенно кслерова многообразия С п и с о к л и терату ры
Введение
Понятие А'-пространства, i.e. почти эрмитова многообразия, фундаментальная форма которого является формой Киллинга, является одним из наиболее интересных обобщений понятия келерова многообразия. Оно сравнительно недавно вошло в сферу
геометрических исследований и довольно быстро привлекло внимание ряда ведущих геометров, чем объясняется неустоявшаяся терминология: наряду с термином 4‘К-пространство", используемым в работах С.'Гатибанм, И.Ватанабэ, К.Такамацу, И.Сато и др., используются синонимы: ‘"почти (nearly) келерово многообразие" (А.Грей, Дж.Вольф и др.), а также “почти татибаново пространство” (К.Яно, С.Ямагуши, М. М а пум OIO и др.). Следует отметить также, что термины “nearly Kahler manifold' и "almosl Kühler manifold' несмотря на идентичность русского перевода, обозначают различные геометрические объекты [1].
Интерес к понятию К-пространства пробудился после того, как в 1955 году А.Фрелихер доказал в [2] существование канонической почти эрмитовой структуры на шестимерной сфере 5>\ вложенной в алгебру октав О в качестве вполне омбилического подмногообразия многообразия tfs=0, а Т.Фуками и С.Исихара в [3] доказали, что фундаментальная форма этой структуры является формой Киллинга (т.е. ее ковариантный дифференциал является дифференциальной формой), что, очевидно, равносильно приближенной келеровости этой структуры. В 1959 году вышла работа С.Татибаны [4], в которой /f-пространство
•ч
о
лыс і у мас і уже как самое іояіслмімй геомсірический обьекі. Среди более по шпик работ, посвященных исследованию А7'-прост ранет в следует выделить работы Д.Грея, в особенности, (5), [6] и [7] написанную совмссшо с Дж Вольфом, в коюрых получено большое число относящихся к )той области результатов и поставлен ряд задач
Одним из факюров, обуславливающих итерес к /<-прост рапсі вам, являемся их близоаь к кслеровым многообразиям, богатство геометрических свойств которых хорошо известно. Возникает есгеавенный вопрос, какие из зі их свойсів доиускаюі зксіраполяцию на обласіь /Г-просірансів, причем оівет на эі о і вопрос ірсбуег болес глубокого понимания природы этих свойств. Один из способов подхода к зі ому вопросу сосіояі в нахождении определенных юждесів, коюрым уцовлеї ворясі оиераюр кривизны Ачіросірансіва и коюрыс аналогичны соответствует тождествам, известным для келеровых многообразий. Это позволяет перенести доказательства ряда свойсів келеровых миоюобразий на случай Допрос і ране і в с пекоюрыми изменениями. Такой способ со всеми его достоинствами и недостатками был широко использован А.Греем в [5] и рядом других автров.
Другой і и и сюящих в зюй области задач состой і в исследовании свойств априорно определенных видов К-пространств (например, конформно-плоских Допрос трансі в, А'-просірансів постоянной голоморфной секционной кривизны и і п ) и, как завершающая фаза такого исследования, классификации К-пространств зтих видов. Задачи іакою іипа рассма і риваются, например, в (5], [6], [8], и др.
4
В настоящее время исследования приближенно келеровых многообразий связаны с именами А.Грея [5], [9], В.Ф.Кириченко [10], [11], [12], Ватанабе и Такамацу [13], [14], Ванхекке [15], и многих других.
Конформная геометрия является одним из наиболее важных разделов дифференциальной геометрии, берущим начало от работ Л.Эйлера и интенсивно изучаемым и в настоящее время с самых различных точек зрения. 13 настоящее время этот раздел геометрии находит важные приложения в теории калибровочных полей в связи с извссп 1 ы м и резул ьтатом Пен роуза-Атьи-Х итч и иа-С и н гера,
утверждающим, что твисторное пространство над 4-мерным римаиовым многообразием М несет каноническую комплексную структуру тогда и только тогда, когда М конформно полуплоско [16]. Рядом авторов была получена классификация 4-мерных конформно-полуплоских римановых многообразий при дополнительных предположениях их келеровости и некоторых других. С другой стороны, геометрия келеровых многообразий является комплексным аналогом римановой геометрии: многие важнейшие понятия римановой геометрии, такие как секционная кривизна, пространственные формы, аксиомы подмногообразий и многие другие имеют своего комплексного “двойника”, имеющего весьма нетривиальный смысл в геометрии келеровых и, более общего, почти эрмитовых многообразий.
К числу таких понятий относятся тензоры: Вейля конформной кривизны, Вейля проективной кривизны, конциркулярной кривизны и
5
к он гар м омической кривизны. И зу че н и е кон фор м но - и н ва ри а н т н ы х свойств римановыч многообразий, в том числе и наделенных дополнительной структурой, является одной из наиболее актуальных задач современной дифференциальной геометрии. В частности, сюда относится изучение конформно-инвариантных свойств почти эрмитовых многообразий. Значительный интерес представляет специальный тип конформні,їх преобразований - конгармоиическис преобразования, т.е. конформные преобразования, сохраняющие свойство гармоничности гладких функций. Эго| тип преобразований был введен в рассмотрение Ищи 1171 в 1957 юлу и в настоящее время изучается с различных точек зрения. Известно, что такие преобразования имеют тензорный инвариант - гак называемый тензор коніармонической кривизны. Этот іензор является алгебраическим тензором кривизны, т.е. он обладает классическими свойствами симметрии тензора римановой кривизны.
Геометрию этого тензора в случае когда риманова структура дополнена до почти копт ак той метрической структуры, в частности, до еасакиевой и К-котактной структур изучали ряд авторов [18], [19], и др. Изучению геометрии іензора коніармонической кривизны почти эрмитовых структур уделялось очень мало внимания.
Пополнение римановой структуры до почти эрмитовой структуры позволяет выделиіь еще несколько конгармонических инвариантов -элементов спектра тензора коигармоничсской кривизны, а также дополнительные свойства симметрии тензора коніармонической кривизны.
6
- Київ+380960830922