Содержание
Введение 4
1 Костистые аттракторы 13
1.1 Введение 13
1.2 Определения и обозначения % 15
1.2.1 Устойчивость неподвижных точек и инвариантных множеств 15
1.2.2 Атграктор динамической системы. Определения и примеры 17
1.2.2.1 Максимальный аттрактор 18
1.2.2.2 Апрактор Мил нора 19
1.2.3 Сдвиг Бернулли и сдвиг Маркова 19
1.2.4 Косые произведения 22
1.2.4.1 Определение косого произведения 22
1.2.4.2 Пример?,I косых произведений 23
1.2.4.3 Ступенчатые и мягкие косые произведения 24
1.2.4.4 Обозначения 25
1.2.5 Хаусдорфова размерность и лемма Фальконера 26
1.3 Описание стратегии Городецкого-Ильяшснко-Негута 27
1.3.1 От случайных систем к ступенчатым косым произведениям 28
1.3.2 Гладкая реализация 29
1.3.2.1 Подкова Смейла 29
1.3.2.2 Отображение соленоида 30
1.3.2.3 Диффеоморфизм Аносова 32
1.3.3 Возмущения: от косых произведений к
диффеоморфизмам общего вида 33
1.3.4 Краткое описание стратегии 35
1.4 Краткий обзор результатов, полученных при помощи стратегии 36
1.5 Пример в классе ступенчатых косых произведений 37
1.5.1 Определение костистого аттрактора для косых произведений 37
1.5.2 Пример 38
1.5.3 Наличие костей 38
1.5.4 Хаусдорфова размерность и мера 39
2
1.5.5 Плотность графика 41
1.5.6 Совпадение аттракторов 41
1.6 Возмущения в классе ступенчатых косых произведений 42
1.6.1 Открытое множество примеров 43
1.6.2 Наличие костей 44
1.6.3 Хаусдорфова размерность и мера 44
1.6.4 Отсутствие полых костей 46
1.7 Пример в классе гладких отображений 46
1.8 Возмущение в классе мягких косых произведений 48
1.8.1 Технические леммы 50
1.8.2 Наличие костей 57
1.8.3 Хаусдорфова размерность и мера 57
1.8.4 11лотность графика 59
1.8.5 Совпадение аттракторов 60
1.9 Открытое множество примеров в классе диффеоморфизмов 61
1.9.1 От отрезка к окружности 65
2 Бильярды 67
2.1 Введение 67
2.1.1 Основные результаты 67
2.1.2 От гипотезы Вейля к гипотезе Иврия 68
2.2 Сведение к аналитическому случаю 70
2.2.1 Идея доказательства 70
2.2.2 Формальное доказательство теоремы 2.1.3 71
2.3 Аналитический случай 72
2.3.1 Основные обозначения 72
2.3.2 Доказательство теоремы 2.1.4 73
2.3.3 Существование пределов 79
2.3.4 Случай двух особых точек 84
2.3.5 Случай касания 85
2.3.6 Совпадение пределов 91
2.4 Случай произвольного числа вершин 97
2.4.1 Пятиугольные орбиты 98
3
Введение
Диссертация посвящена изучению динамических систем. Динамические системы возникают естественным образом как математические модели процессов, происходящих в реальном мире. Различают два вида динамических систем: динамические системы с непрерывным временем, задающиеся дифференциальными уравнениями, и динамические системы с дискретным временем:, которые задаются отображением перехода от состояния системы в настоящий момент времени к её состоянию через фиксированный период времени.
Для системы с непрерывным временем можно рассмотреть семейство отображений срп переводящих состояние системы в настоящий момент в её состояние через г секунд, а для системы с дискретным временем, заданной о тображением Р, — семейство отображений Рг.
В некоторых особенно простых случаях уравнения, описывающие динамическую систему, удаётся решить в явном виде, то есть получить явную формулу для (р, или Р1. В этом случае свойства решений можно изучать, исходя из полученных формул.
В силу теоремы существования и единственности решения задачи Коши, решение дифференциального уравнения существует и единственно и для более сложных систем. Однако, для этого решения почти никогда не существует-явной формулы — выражения, содержащего только элементарные функции и
знаки интеграла. Один из первых подобных примеров привел Лиувилль: рсшс-
2
ния уравнения х = х— ^ нельзя записать в явном виде.
Но даже если нельзя выписать формулу для решения уравнения, можно выяснить некоторые свойства динамической системы — это и есть задача качественной теории динамических систем.
Вот несколько вопросов, касающихся динамических систем, па которые иногда получается ответить, не зная решений соответствующего уравнения.
• Сколько у системы положений равновесия и периодических орбит?
• Для каких подмножеств фазового пространства множество точек, притягивающихся к этому подмножеству, достаточно велико?
4
• Что произойдет с траекторией динамической системы, если слегка изменить начальные условия?
• Что произойдет с фазовым портретом динамической сис гемы (то есть с разбиением фазового пространства на траектории системы), если немного изменить законы движения системы?
Диссертация состоит из двух частей. Первая часть диссертации (глава 1 «Костистые аттракторы») касается аттракторов динамических систем. Рассмотрим динамическую систему с дискретным временем, заданную отображени ем Р: X X. Неформально говоря, замкнутое подмножество фазового пространства Л С X называется аттрактором динамической системы, если
• образы достаточно большого подмножества фазового пространства под действием итеративных степеней Рх отображения Г стремятся к Л, когда п стремится к бесконечности;
• Л — наименьшее по включению инвариантное множество, к которому притягивается это подмножество фазового пространства.
Есть несколько формализаций понятия аттрактора. Некоторые из них приведены в пункте 1.2.2 «Аттрактор динамической системы. Определения и .. .».
Какой может быть геометрическая структура аттрактора динам и чес кой системы? В самых простых случаях аттрактор является дискретным множеством (или даже одной точкой — например, для отображения лс н» х/2). Хорошо известны примеры, когда атграктор локально представляет собой гладкое многообразие (например, для прямого произведения диффеморфизма Аносова и сжимающего отображения), канторово множество (например, соленоид Смсй-ла - Вильямса) или кангорову книжку (например, аттрактор Лоренца).
Мы построим открытое множество диффеоморфизмов Р: Т3 -» Т3 трехмерного тора Т3 в себя, обладающих следующими свойствами. Прежде всего, каждый диффеоморфизм Р из этого множества обладает инвариантным слоением фазового пространства Т3 на окружности. Далее, Римеет единственный аттрактор, и этот аттрактор пересекает большинство слоев по одной точке (эту
5
часть аттрактора мы будем называть графиком), а остальные слои — но кривой (но кости). В этих свойствах пока что не содержится ничего нового. Более интересное свойство этого аттрактора состоит- в том, что множество костей довольно велико, но не слишком велико. Точнее, выполнены следующие условия1.
• И график, и объединение костей плотны в аттракторе.
• Множество костей несчётно.
• Мера аттрактора равна нулю (а значит, множество костей не слишком большое).
Опишем пример динамической системы, имеющей костлявый аттрактор. Фазовое пространство этой системы будет не многообразием, а прямым произведением двух канторовых множеств С и отрезка I = [О, П.
Формально говоря, динамическая система на С X С X У не может иметь костлявого аттрактора в смысле того определения, которое мы привели выше. Однако, наше отображение будет- сохранять разбиение фазового пространства на отрезки {ptj} х {pt2} х / и будет удовлет ворять определению костлявого аттрактора, если в этом определении заменить инвариантное слоение тора слоением {ptj} X {pt2} X /.
Рассмотрим пространство L3 двусторонних последовательностей символов 0, 1,2:
а) = є {0, 1,2}.
Введём на пространстве 1? р-адическую топологию: последовательност и со и р будем считать близкими, если они совпадают на отрезке [-л, п] для большого п, то есть для большого значения п равенство со{ = >/, выполнено для всех /, |/| ^ п. Несложно проверить, что пространство Z3 есть прямое произведение двух канторовых множеств: множестваZ3 всех правых хвостовщ(о^...соп... и множества Е3 всех левых хвостов ...со_п...со_2со_\.
В нашем примере фазовым пространст вом является прямое произведение 1? X /, а отображение задано следующим образом:
1 Подробнее см. определение 1.1.1 на странице 13.
6
F: Z3 x / -> Z3 x У, (со, x) »-» (<m>, fWo(x)),
где cr: Z3 -> Z3 — сдвиг Бернулли, (до)/ = cvj+{, а отображения /,: I -» У, i = 0, 1,2 задаются формулами
/о(*) = у. /.(*) = ^^, /2W = ^arctan(10x-5) + I. (1)
Графики отображений /,• изображены на рисунке 1 (а). Атграктор соответствующей динамической системы приближенно изображен на рисунке 1 (Ь). Второй рисунок получен с иомощыо скрипта на языке программирования Ruby, который вычислил образы фазового пространства под действием отображения У . На втором рисунке горизонтальная ось соответствует пространству Z^ всевозможных последовательностей бесконечных влево,
а вертикальная ось соответствует отрезку У. На рисунке не изображена еще одна координата, параметризующая всевозможные значения последовательности со0,со 1,бесконечной вправо; дело в том, что пересечение аттрактора со слоем (со) х У не зависит от coh /' ^ 0. Таким образом, аттрактор — это прямое произведение нашего рисунка на канторовское множество.
Чтобы наглядно показать разни ну между костлявыми и некостлявыми аттракторами, на рисунке 1 (с) мы приближенно изобразили аттрактор (вернее, снова фактор-множество аттрактора но пространству Zj) другой динамической системы, построенной по отображениям /() и f] таким же образом, как отображение У7было построено по отображениям /(), /| и /2 (см. (1)).
В главе 1 доказано, чт о приведенное отображение F имеет костлявый аттрактор2. Далее мы действуем в соответствии со стратегией, предложенной Ю.
С. Ильяшенко и А. С. Городецким [19 и 20] и развитой Ю. С. Ильяшеико и А. Негугом [9], и получаем открытое множество С2 гладких диффеоморфизмов гора Т3, имеющих костлявый аттрактор.
Доказательст во основано на двух важных наблюдениях.
Формальное определение костлявого аттрактора для таких отображений можно найти в парафа-фе 1.5 «Пример в классе ступенчатых косых произведений».
7
(а) Графики отображений
/о» /1 и /2
(Ь) Костлявый аттрактор ДС, построенной по отображениям
(с) Нскостлявый апрактор ДС, построенной по отображениям
/о и /|
J0’ /| и /2
Рисунок 1 Графики отображений (1), костлявый аттрактор и (тонкий) некостлявый агграктор
• Марковское разбиение для диффеоморфизмов Аносова двумерного гора
О * Is 1
!г позволяет переходить от автоморфизмов пространства Z х 5 к диффеоморфизмам тора Т определенного типа («косые произведения», см. пун кг 1.2.4).
• Стратегия Городецкого-Ильяшенко-Негута позволяет переходить от косых произведений к открытым множествам в пространстве С2-гладких диффеоморфизмов. Эта стратегия основана на теореме М. W. Hirsch, С. С. Pugh и М. Shub [6, Теорема 6.8] и усиленных вариан тах этой теоремы, полученных А. Городецким, Ю. С. Ильяшенко и А. Негутом [9 и 20J.
В главе 2 «Бильярды» мы изучаем периодические орбиты в плоских бильярдах.
Математический бильярд — это математическая модель, описывающая движение частицы (идеального шара нулевого радиуса) на бильярдном столе; при этом граница бильярдного стола не обязательно должна быть многоугольником. Шар движется с постоянной скоростью внутри бильярдного стола, и отражается от границ бильярдного стола по обычному правилу (угол падения равен углу отражения).
8
- Київ+380960830922