Связности на оснащенных многомерных поверхностях в конформном пространстве

ОГЛАВЛЕНИЕ
ВВЕДЕНИЕ.........................................................5
1. Исторический обзор....................................5
2. Общая характеристика диссертации......................9
1. Постановка вопроса и актуальность темы................9
2. Цель работы..........................................10
3. Методы исследования..................................10
4. Научная новизна .....................................11
5. Теоретическая и практическая значимость..............12
6. Апробация............................................12
7. Публикации...........................................12
8. Вклад автора в разработку избранных проблем..........12
9. Структура и объём работы.............................13
10. Некоторые замечания.................................13
3. Содержание диссертации...............................14
Глава I ЛИНЕЙНЫЕ СВЯЗНОСТИ НА ГИПЕРПОВЕРХНО-
СТИ Уп_{ В ПРОСТРАНСТВЕ КОНФОРМНОЙ СВЯЗНОСТИ Спи...........................................22
§1. Конформное пространство Сп...........................22
§2. Пространство конформной связности Сп п...............30
§3. Гиперповерхность Кя__, в пространстве конформной связности Спп................................................37
я»«
1. Дифференциальные уравнения гиперповерхности [^пространства конформной связности Сп п.....................37
2. Внутренние оснащения гиперповерхности Уп_} в С„ „....39
§4. Пространства аффинной связности на оснащенной ги-
перповерхности Уп_{ пространства конформной связности
С 43
п,п................................................
1. Теорема Картана - Лаптева............................43
2. Аффинные связности на гиперповерхности Уп_1 а Сп п 44
§5. Конформные связности на гиперповерхности в пространстве конформной связности Сп п......................49
§6. Нормальные связности на гиперповерхности У/1_1 аС„„56
о
Глава И АФФИННЫЕ СВЯЗНОСТИ НА МНОГОМЕРНОЙ ПОВЕРХНОСТИ Ут В КОНФОРМНОМ ПРОСТРАНСТВЕ Сп (т < л -1) И ИХ ПРИЛОЖЕНИЯ К ТЕОРИИ СЕТЕЙ.........................................................62
§1. Поверхность Ут в конформном пространстве С„............62
1. Дифференциальные уравнения многомерной поверхности Ут в конформном пространстве Сп..............................62
2. Г’иперполоса Нт, ассоциированная с многомерной поверхностью Ут в конформном пространстве Сп......................64
3. Частичные и полные оснащения поверхности Ут в С„ 67
§2. Аффинные связности, индуцируемые нормальным оснащением поверхности Ут в конформном пространстве С„......................................................72
§3. Приложение аффинной связности к изучению внутренней геометрии сетей на многомерной поверхности Ут сСп..77
1. Дифференциальные уравнения сети на поверхности Ут в Сп........................................................77
2. т -сопряжённая система в конформном пространстве
С,....................................................81
3. Сеть линий кривизны на поверхности Ут с С„.............84
4. Чебышсвские и геодезические сети на многомерной поверхности Ут в конформном пространстве Сп.....................86
5. Ортогональная сопряженная чебышевская сеть на поверхности У„, с С„..............................................88
Глава 111 КОНФОРМНЫЕ И НОРМАЛЬНЫЕ СВЯЗНОСТИ НА МНОГОМЕРНОЙ ПОВЕРХНОСТИ Ум В КОНФОРМНОМ ПРОСТРАНСТВЕ Сп...............................................92
§1. Конформные связности на вполне оснащенной поверхности Ут конформного пространства Сп.........................92
1. Пространство конформной связности СттУ индуцируемое
касательным оснащением многомерной поверхности Ут<=Сл................................................92
2. Нормализованное пространство конформной связности С 9^
^ т,т................*................................
I
3. Пространство конформной связности Ст,т, индуцируемое полным оснащением поверхности Ут в Сп.....................96
3
т
§2. Нормальные связности на оснащенной поверхности У1 конформного пространства С„, т<п-\..........................99
1. Нормальная связность Vі, индуцируемая нормальным оснащением поверхности Ут в С„...............................99
і ,
2. Нормальная связность V“ на нормально оснащенной поверхности Ут конформного пространства Сп..................104
2
3. Нормальная связностьVх, индуцируемая полным оснащением поверхности Ущ конформного пространства Сп.............105
§3. Параллельные перенесения инвариантных полей пучков гиперсфер в нормальных связностях на поверхности
V а С ................................................108
ІП п .....
1. Инвариантные прямые на регулярной квадратичной гиперпо-лосе Нт а Р„+,............................................108
2. Поля направлений, параллельно переносимые в нормальных
связностях Vх, Vх и Vх................................109
ЛИТЕРАТУРА..........................................................ИЗ
4
ВВЕДЕНИЕ
1. Исторический обзор
Конформным /7-мерным пространством Сп называется /7-мерное евклидово пространство Еп, дополненное одной бесконечно удаленной точкой, в котором группа £ конформных преобразований является фундаментальной. Образующими элементами конформного пространства являются гиперсферы евклидова пространства Еп, в частности, точки как гиперсферы нулевого радиуса и гиперплоскости как гиперсферы, проходящие через несобственную точку.
Конформно-дифференциальная геометрия трехмерного пространства зародилась внутри классической дифференциальной геометрии в конце XIX века в работах Дарбу, Рибокура и других геометров. В начале XX века появился ряд работ, в которых рассматривался вопрос о том, как преобразуются важнейшие дифференциальные инварианты и инвариантные квадратичные формы при конформных преобразованиях пространства. К работам этого направления относятся исследования Фосса, Роте, Огура, Фубини и других геометров. Обзор работ этого направления содержится в статье Бер-вальда [94] в математической энциклопедии (1927 г.).
В отличие от аффинной и проективной дифференциальных геометрий конформная дифференциальная геометрия несколько отстала в своем развитии. Это объясняется тем, что в работах по аффинной и проективной диффсренциа!ьным геометриям с самого начала использовались естественные для этих геометрий координаты - аффинные и проективные, а при изучении вопросов конформной дифференциальной геометрии исследования велись в прямоугольной декартовой системе координат.
В 1924 г. появляется работа Томсена [109], в которой для изучения конформно-дифференциальной геометрии поверхностей применяются пен-тасферические координаты и тензорное исчисление; к этому направлению относится также работа Вессио [110]. В 1929 г. выходит книга Бляшке [95], написанная им совместно с Томсеном, в которой дифференциальная геометрия трехмерного конформного пространства рассматривается одновременно с дифференциальной геометрией пространства Лагерра и пространства, фундаментальной группой которого служит группа сферических преобразований С. Ли. К этому направлению исследований относятся также работы Т. Такасу; свои результаты в области дифференциальной геометрии сфер Такасу изложил в трехтомной монографии, первый том которой, вышедший в 1938 г. [108], посвящен конформной геометрии.
В работе [98] Э. Картан вводит понятие «-мерного пространства конформной связности. В это же время теория многомерных пространств кон-
5
формной связности разрабатывается в работах Т. И. Томаса, И. М. Томаса и ряда других геометров. В работах С. Сасаки [106], [107] в 1939-40 гг. развивается теория кривых и гиперповерхностей в пространстве конформной связности.
К. Яно в работах [112], [113] изучает конформную геометрию т-мерной поверхности в п-мерном римановом пространстве, строит инвариантные тензоры, связанные с ее окрестностью второго порядка. А. Фиал-ков [103] в 1944 г. построил полную систему конформно-инвариантных тензоров т -мерной поверхности и -мерного риманова пространства.
Однако в большинстве перечисленных работ конформнодифференциальная геометрия многомерных поверхностей строится средствами евклидовой и римановой геометрий. Это сильно осложняет геометрическое истолкование полученных результатов.
Новый этап в развитии конформно-дифференциальной геометрии с вяза}! с работами отечественных геометров. Здесь можно выделить три основных направления. Первое из них связано с применением к конформной геометрии общей теории образов симметрии в однородных пространствах, развитой Б. А. Розенфельдом в работах [66], [67], второе - с применением к конформной геометрии общей теории нормализованных поверхностей, развитой А. Г1. Норденом в работах [55]—[59], третье — с применением к конформной геометрии общей теории многообразий в однородных пространствах и в пространствах со связностями, развитой Г. Ф. Лаптевым в работах [40], [42].
Метод Г. Ф. Лаптева был применен М. А. Акивисом [1], [2], [93] к построению основ инвариантной теории гиперповерхностей, от-мерных поверхностей /7-мерного конформного и псевдоконформного пространств.
В работах [55], [56], [58], [59], а также в совместной с Г. В. Бушмановой работе [8] А. П. Норденом получены существенные результаты по конформно-дифференциальной геометрии различных подмногообразий.
В работах А. В. Столярова [70], [72], [73], [75]—[31], научные результаты в которых вошли в его монографии [71], [74], изучается внутренняя геометрия ряда подмногообразий конформного пространства С„ и пространства конформной СВЯЗНОСТИ Сил, оснащенных в том или ином смысле.
В работе [84] В. Д. Третьяков в псевдоконформном пространстве ,Сп рассматривает поверхность V,,,, нормализованную гармонически (по
А. П. Нордену [55]); приводятся деривационные уравнения для этой поверхности, изучаются частные типы таких поверхностей.
И. В. Парнасский [62] в полуконформном пространстве [68] рассматривает /л-мерную поверхность V,,,; показано, что при соответствующем оснащении на поверхности V,,, индуцируется полуконформная связность в смысле [61].
6
Л. Ф. Филоненко в своих работах [85], [86], исходя из геометрии квадратичной гипсрполосы в «-мерном проективном пространстве Р„, рассматривает распределение ш-мерных линейных элементов в (п-1 )-мерном конформном пространстве, используя, в основном, его проективную интерпретацию. Значительное внимание уделяется возникающим при этом связностям.
Исследования А. Н. Михайловой [53], [54] посвящены изучению некоторых вопросов линейных связностей на оснащенной гиперполосе конформного пространства.
Т. 11. Глухова (Андреева) [14]-[21], [71, гл. IV] рассматривает линейные связности (аффинные, конформные, норхмальные), индуцируемые различными оснащениями гиперповерхности в конформном пространстве, а также находит приложение аффинных связностей к изучению сетей на гиперповерхности в конформном пространстве.
В работах [49], [50] А. М. Матвеевой вводится понятие сферического распределения М гиперплоскостиьтх элементов (Л0,£п_,) в конформном пространстве С„. Статьи [47],[51] А. М. Матвеевой посвящены изучению пространств Апп^А)иХ аффинных связностей, индуцируемых полным оснащением соответственно распределений М гиперплоскостных элементов
и УГодномерных линейных элементов, ортогональных Ь„ |. В работах [48], [52] разработаны основы теории гиперполосного распределения /«-мерных линейных элементов (то есть неголономной гиперполосы) в конформнохм пространстве С„ и указаны пути ее приложения.
В статье М.А. Акивиса [5] приведен обстоятельный обзор большого числа работ по конформно-дифференциальной геометрии различных подмногообразий, вышедших в свет до 1964 г. В 1996 г. в США вышла монография М.А. Акивиса и В.В. Гольдберга «Конформно-дифференциальная геометрия и ее обобщения» [93], где приводится систематическое изложение вопросов дифференциальной геометрии различных подмногообразий в конформных и псевдоконформных пространствах, дифференцируемых многообразий конформной структуры и т.д.; по этой теме в хмонографии приведена обширная библиография.
В 2008 г. А. В. Столяров в работе [82] приводит обзор материалов, освещенных в РЖМат за 40 лет (1969-2008 гг.) и относящихся к теории подмногообразий в конформном пространстве С„ (псевдоконформном 1С„ индекса 1 & 0 или собственно конформном, / = 0).
В дифференциальной геометрии важное место занимает теория связностей в расслоенных пространствах, а также ее применение при исследовании оснащенных подмногообразий, погруженных в различные пространства.
История теории связностей начинается с 1917 г. с работы Т. Леви-Чивпта [105] о параллельном перенесении вектора в римановой геометрии.
7
1
В 1918 г. Г. Вейль [111] для построения единой теории поля ввел понятие пространства аффинной связности. Дальнейшее обобщение дал в 1920 г. Р. Кэииг [104], рассматривая линейную связность в векторном расслоении над областью числового пространства.
Новый этап в развитии теории связностей открыли работы Э. Картана [39] в 20-х годах XX века, в которых касательные векторные иространегва заменялись аффинными, проективными или конформными пространствами.
Следующий этап в развитии теории связностей начался в 1950 г., когда
В. В. Вагнер [10], [11] и Ш. Эресман [101] независимо друг от друга ввели общее понятие связности в расслоенном пространстве. Изложение Вагнера является локальным и выполнено классическими методами. Обзор дальнейшего развития теории связностей излагается в работе Ю. Г. Лумисте
[43].
Для изучения геометрии многомерных поверхностей проективного пространства и других однородных пространств, фундаментальная группа которых является подгруппой проективной группы, А. П. Норден разработал метод нормализации[55]. [56], [58], [59]. Метод нормализации позволил в касательных расслоениях подмногообразий проективного пространства индуцировать аффинные связности без кручения. II. Л. Широков и А. П. Широков исследовали локальное строение подмногообразия в аффинном пространстве с помощью аффинной связности в касательном расслоении [92].
Новый инвариантный аналитический метод дифференциально-геометрических исследований многообразий, вложенных в однородные пространства и в пространства с фундаментально-групповой связностью, был развит Г. Ф. Лаптевым [40]. При этом задача сводится к изучению геометрии подмногообразия посредством исследования дифференциально-геометрических структур, индуцированных полями фундаментальных, охваченных и оснащающих объектов подмногообразия. Г. Ф. Лаптев [40], следуя идеям Э. Картана [39], линейные связности определяет как множества отображений бесконечно близких слоев расслоения, соответствующих касательным векторам базисного многообразия; эти отображения должны быть согласованы с действием структурной группы на расслоении (теорема Картана - Лаптева).
Связность, определяемую в нормальном расслоении подмногообразия евклидова пространства пли пространства постоянной кривизны, ввел
Э. Картан в 1926-1927 гг. Подмногообразия с нулевым кручением (то есть с плоской нормальной связностью) исследовали почти одновременно Д. И. Перепелкин [63] и Фабрициус-Бьерре [102], а также Э. Картан в 1936 г. Нормальная связность привлекла внимание в связи с исследованиями подмногообразий с параллельным полем вектора средней кривизны в пространстве постоянной кривизны. Одним из дополнительных условий, которое часто ставили при этом, являлось условие, чтобы нормальная связность бы-
8
ла плоская. Получены далеко идущие результаты об изучаемых подмногообразиях. Обзор исследований этого направления дан в [44], [45].
Понятие нормальной связности нормализованного подмногообразия в проективном пространстве ввели А. П. Нордеи в работе [55] (внешняя связность) и А. В. Чакмазян [91]. Большой вклад в развитие теории нормальных связностей внес А. В. Чакмазян [88|; в указанной работе он изучает локальное строение подмногообразия в одном из классических однородных пространств (именно, в проективном, аффинном и проективно-метрическом пространствах) с привлечением связностей в нормальных расслоениях.
В отечественной и зарубежной математической литературе появилось много работ, в которых изучаются вопросы теории связностей в нормальных расслоениях подмногообразий в пространствах постоянной кривизны; обзор исследований подмногообразий с плоской нормальной связностью в пространствах постоянной кривизны дан в работах Чена [99] и Ю. Г. Лумисте
[44]. В работах [45], [46] дается сводное изложение результатов Ю. Г. Лумисте и А. В. Чакмазяна, относящихся к изучению строения подмногообразия пространства постоянной кривизны, допускающего поле нормальных />направлений, параллельное в нормальной связности подмногообразия. Чен и Яно [100] изучают подмногообразия Ут риманова пространства Уп с параллельным /7-мерным лодрасслоением нормального расслоения; М. А. Аки-вис и А. В. Чакмазян [4] исследуют геометрию Ут с плоской нормальной связностью в евклидовом пространстве Еп.
2. Общая характеристика диссертации
1. Постановка вопроса и актуальность темы. Дифференцируемое многообразие, погруженное в пространство с фундаментально-групповой связностью, называется оснащенным [40], если на нем определено поле
некоторого геометрического объекта (поле оснащающего объекта многообразия):
где со*1 - главные (первичные) формы, со*2 - вторичные формы Пфаффа на многообразии. Тип оснащения погруженного многообразия характеризуется строением основных функций определяющих оснащающий
объект в зависимости от их строения имеем различные оснащения многообразия. Заметим, что задание оснащения многообразия определяет на нем соответствующую дифференциально-геометрическую структуру.
Отметим, что задачи, возникающие при изучении оснащенных многообразий, в зависимости от типа оснащения, характера объемлющего про-
9
странства и исходного погруженного многообразия, оказываются весьма разнообразными, что, по-видимому, делает проблему построения дифференциальной геометрии оснащенных многообразий неисчерпаемой.
Объектом исследования настоящей работы являются гиперповерхность пространства конформной связности Спп и многомерная поверхность Ут, погруженная в конформное пространство С„ (псевдоконформное или собственно конформное), а также линейные связности (аффинные. нормальные, конформные), индуцируемые различными оснащениями (нормальным, касательным, полным) указанных поверхностей.
Теория конформного пространства Сп и вложенных в него поверхностей к настоящему времени разработана достаточно полно (см., например, работы [1], [2], [8], [14]-[21], [56], [58]). Однако, линейные связности, индуцируемые различными оснащениями многомерных поверхностей, до настоящего времени оставались слабо изученными; исключение составляют работы Т. Н. Глуховой [14]-[21] в пространстве Сп при т-п- \. Вопросы разработки теоретических и практических положений по изучению линейных связностей на оснащенной поверхности в конформном пространстве, а также гиперповерхности пространства конформной связности представляют большой научный интерес и являются актуальными в связи с возможными приложениями полученных результатов в математике, механике и физике.
2. Цель работы. Целью настоящего диссертационного исследования является инвариантное построение основ теории линейных связностей, индуцируемых различными оснащениями многомерной поверхности Ут, пофужен-иой в л-мериое конформное пространство Сп, а именно:
1) построение в разных дифференциальных окрестностях инвариантных внутренним образом определяехмых нормальных, касательных, полных оснащений поверхности Ут в конформном пространстве Сп, а также гиперповерхности У)}А пространства конформной связности Сп п;
2) разработка основ теории линейных связностей (аффинных, нормальных, конформных), определяемых различными оснащениями рассматриваемых поверхностей;
3) приложение аффинной связности, индуцируемой нормальным оснащением многомерной поверхности Ут в Сп, к изучению геометрии сетей на подмногообразии Ут.
3. Методы исследования. Теория оснащенных многомерных поверхностей развивается инвариантными методами дифференциалыю-геоме трических исследований, а именно, методом продолжений и охватов
10