Оглавление
Введение.................................................... 4
1 Асимптотическое решение сингулярно возмущенных линейно - квадратичных задач оптимального управления с разрывными коэффициентами 23
1.1 Постановка задачи...........................................23
1.2 Условия оптимальности управления и разрешимость задачи Р£ . 25
1.3 Вспомогательные утверждения.................................28
1.4 Формализм построения нулевого и первого порядков асимптотики решения задачи Рг 43
1.5 Приближения высших порядков.................................58
1.6 Оценки приближенного решения................................80
1.7 Иллюстративный пример.......................................88
2 Асимптотика оптимального управления в форме обратной связи для сингулярно возмущенной линейно — квадратичной задачи с разрывными коэффициентами 97
2.1 Постановка задачи...........................................98
2.2 Оптимальное управление в форме обратной связи.........99
2.3 Асимптотика решения........................................101
2.4 Оценки асимптотического решения............................111
2
Иллюстративный пример Литература...........
Введение
• Разрывные системы часто используются для моделирования сложных систем управления. Условия оптимальности управления для различных классов таких систем получены, например в работах [2, 10, И, 14]. Полученные условия применялись для решения многих содержательных инженерно - технических задач, формулируемых в терминах разрывных систем.
В течение второй половины прошлого века не ослабевает интерес математиков, занимающихся асимптотическими методами, к дифференциальным уравнениям, содержащим малый параметр при старшей производной, так называемым сингулярно возмущенным уравнениям. Этот интерес вызван потребностями практики, где возникают подобного рода уравнения. Основополагающие результаты для таких уравнений были получены А. Н. Тихоновым и А. Б. Васильевой (см., например, [4, 20]).
Методы теории сингулярно возмущенных уравнений естественным образом используются для сингулярно возмущенных задач оптимального управления путем асимптотического анализа краевых задач, вытекающих из условий оптимальности управления (см., например, обзоры [5, 9, 13, 26, 28]).
Для построения первого приближения в задаче управления нелинейными слабоуправляемыми системами при наличии ограничений на управление типа замкнутых неравенств Черноусько Ф. Л. (см., например, [24] ) использовал непосредственную подстановку в условия задачи постулируемого асимптотического разложения решения. Этот подход получил развитие в работах Белокопытова С. В. и Дмитриева М. Г. (см. [3, 25]), посвященных исследованию сингулярно возмущенных непрерывных задач оптимального управления в случае отсутствия ограничений на управление, и был назван ими прямой
4
схемой. При таком подходе учитывается вариационная природа исходной задачи. Существенным преимуществом является также возможность доказать невозрастание значений минимизируемого функционала при использовании нового приближения оптимального управления и использовать пакеты программ для решения задач оптимального управления, чтобы найти члены асимптотического разложения. Обзор работ, посвященных применению прямой схемы в различных задачах, приведен в статье [9]).
Для построения асимптотики решения сингулярно возмущенной линейно - квадратичной задачи управления без ограничений на управление может быть использован вид оптимального управления в форме обратной связи и асимптотика решения матричного дифференциального уравнения Риккати, с помощью которого строится оптимальное управление в форме обратной связи. При этом нет необходимости решать двухточечные краевые задачи (см. например, работы [6, 27, 29]).
Целью диссертационной работы является построение асимптотики решений сингулярно возмущенных линейно - квадратичных задач оптимального управления с разрывными коэффициентами двумя способами: используя прямую схему и вид оптимального управления в форме обратной связи.
Отметим, что асимптотика решений сингулярно возмущенных обыкновенных дифференциальных уравнений в случае, когда вырожденное уравнение имеет разрывное решение, была построена в [12, 18, 16].
Ранее сингулярно возмущенные линейно - квадратичные задачи исследовались только в случае непрерывных коэффициентов. При наших условиях на внеинтегральный член в критерии качества поведение при стремлении малого параметра к нулю решения задачи Коши для сингулярно возмущенного матричного дифференциального уравнения Риккати, возникающего при
5
построении оптимального управления в форме обратной связи, изучалось в [27]. Общая форма внеинтегрального члена приводит к более сложной зависимости от малого параметра решения задачи Коши для рассматриваемого уравнения Риккати (см., например, |6]).
Диссертация состоит из введения, двух глав и списка цитируемой литературы из 35 наименований. Общий объем диссертации - 125 стр. Изложение проиллюстрировано компьютерной графикой (9 рисунков), выполненной при помощи вычислительно - программного комплекса Maple.
Во введении представлен краткий обзор работ, относящихся к теме диссертации, и дано краткое описание диссертации но главам.
Диссертация посвящена асимптотическому решению задачи Р£} заключающейся в минимизации функционала
Jc(u) = 1-№{Т,е),¥(е№(Т,е))+
+ е)’W(t,e) ^ £)>к(*.е)w{t,£))) dt
на траекториях системы
E(£)(z\t,s) = A(t,£)bz\t,e)+ B(t,e)u(t,e), te[tj-i,tj], 7 = 1,2, (2)
(z(0, e) = z°, {z(ti, e) = s). (3)
Здесь 0 = t0 < t\ < £2 = значения tj(j = 0,1,2) фиксированы; E(ê:) = diag(L el)y I - единичная матрица, 2: = (x\ y')\ штрих означает транспонирование, rc = я (£,e) e Rn, = y\t,e) € Rm, г? = (u{t,e) 6 Rr\ угловые
скобки означают скалярное произведение в соответствующих пространствах,
е > 0 - малый параметр, точка сверху означает дифференцирование по t,
/ х ч О'Ь U). U)
соответствующих размеров матрицы F(£), W{tye), R[tye)y AВ (t,e) являются достаточно гладкими при всех t £ \tj-\,tj] и e > 0, матрицы F(s),
б ,
W(i,£) и R(t,e) симметричны, F(e) = \ I > 0 при достаточ-
\eF2(e)' sF3(e)
U) O')
но малых e, W(t, 0) > 0, R (t, 0) > 0 при всех t G [tj-utj], j = 1,2.
В качестве допустимых управлений u(t,e) выбираются кусочно - непрерывные функции, состоящие из непрерывных функций it(t,e), t G Ml], (2)
и u(t,e), t G При этом для e > 0 рассматривается непрерывная со-
ответствующая траектория z(t,£), составленная из непрерывных функций У(£,е), У(£,е), которые являются решением задачи (2), (3).
Если положить в уравнении состояния значение параметра равным нулю, то порядок уравнения понижается и решение упрощенного таким образом уравнения не может удовлетворить всем дополнительным условиям, поставленным для исходного уравнения. Кроме этого, быстрая составляющая траектории состояния вырожденного уравнения является в общем случае разрывной функцией, хотя траектории состояния возмущенной задачи непрерывны.
Далее через Dk(t) будем обозначать коэффициент при £к в разложении некоторой матрицы D(t,£) по степеням е, а через с - не зависящую от положительную постоянную.
(U) . О) . Л
О) ч O') . I Ai(t,e) Ai{t,e)
Представим Л(£,е), В(£>£) соответственно в виде ,.х
\Аг&е) A*(t,e);
(Ь)
0)/ч (Л /ч
^ I. Обозначим через Л *•(£) собственные значения матриц Aaq\P)-B2{t,£)
В первой главе предполагается, что выполнено условие:
U)
1°. Г1еА;(£) < 0, г = 1,т, £ G j = 1,2.
Для упрощения доказательства оценок близости приближенного асимптотического решения к точному решению в этой главе предполагается также,
7
что выполнено условие
2°. т = 1; Л4о(0> #зо(0 7^ ИЛю(0> 3 = 1,2,- постоянные величины.
Во второй главе предполагается, что выполнено одно из следующих двух условий:
3°. Пары ( Л4о(£)? £?2о(0)> * £ К?-ъ^']> 3 — 1,2, полностью управляемы.
0) 0)
4°. Вго(0 = 0, матрицы Л40М устойчивы, I € 3 ~ I?2-
В первой главе для построения асимптотики решения задачи (1) - (3) при = 0 используется прямая схема.
Приведены следующие Утверждения, касающиеся условий оптимальности управления и однозначной разрешимости задачи Р£ и четырех задач, возникающих при построении методом прямой схемы асимптотики решения задачи Рс
Утверждение 1. Для того, чтобы при достаточно малых г > 0 управление и* е), составленное из функций и*(*, е), j = 1,2, было оптимальным для задачи Ре, необходимо и достаточно, чтобы функции г£(*,е) имели следующий вид:
j = 1,2, (4)
0)
где С(*>^) " решение задачи
Е(е/С^е) = Ш(^е)(1!(*,е) - ^ [^-1,^], 3 = 1,2, (5)
(2) (1) (2)
<(Г,е)=0, С(*1,е)“С(*1,е), (6)
2* (♦,£■) - траектория системы (2), (3), соответствующая гх = и* (£, с). /7рт достаточно малых £ > 0 задача Р£ однозначно разрешима.
Рассмотрим задачу Р, состоящую в минимизации функционала
Л^и) = ^У(£г),р1а1^ 4- 4- (Т), Ега^ 4-
тА Г1* (/и) 10) „ЛЯ 0>„.\ /0) 10) , лл о)„л\ „
4- 22 у (д 2 ’ 2^°( ) 2 + ^ (0 у 4- ^ а, -Ко СО ^ 4- У (£)у у с££ на траекториях системы
Е\ г = АоСО г + Во(^)^ + / (О» * ^ [^_1,^], з = 1,2, (7)
Р/^О) = ВЛ, Ях^) - ^О) = £?1й2> (8)
0) С?)
где а,-(г = 1,2,3), Ь*(г = 1,2) - заданные постоянные векторы, <7(-)- §(•)»
У)
/(•) - заданные непрерывные вектор - функции; 2: 6 Яп т, £х = сИад(1,0) € #п+т, / - единичный оператор, действующий в Рп.
Утверждение 2. Для того, чтобы управление а*(-), составленное из (функций ?£(•), 3 = 1,2, было оптимальным для задачи Р, необходимо и достаточно, чтобы функции ?£(•) имели следующий вид:
и, (г) = Ко(*)_1(во(<)'®(0 - $(*)) . 1 е в-ь ; = 1,2,
где $(•) - решение задачи
Е[ш(Ь) = Щ0^)Ьг1 - Ао (*)'<$ 4- я\$), £ € &-ь^], j = 1,2,
£5Й}(Т) = -Дха3, ^(^х) - $(*1)) = -Рх(а2 4- ах),
г!(-) - траектория системы (7), (8), соответствующая а? = а1(£). Задача Р однозначно разрешима.
Рассмотрим задачу П1Р, состоящую в минимизации функционала
(1) Г+°° //(1) 1(0 (1) (1) \
П1.7(Па) = у ^Пг,-Шо(0)П2 4-Пфо)у +
/(1) 1(1) (1) (1) \\
4- ( Па, -Ео(0)Па 4- П#(т0) Шт0
на траекториях системы
(1)
^ = ЫАо(0)Пг + Во(О)Пи) + П/Ы, т0 > 0, (9}
ато
ЕхПг(+оо) = 0, £2Пг(0) = Е2Ь3> (Ю)
где Е2 = сИад(0,1) £ Ел+т, I - единичный оператор, действующий в Ят,
(1) (0 (1)
Ьз - заданный вектор, П <?(•)> П/(*) - заданные непрерывные вектор -
функции, имеющие экспоненциально убывающие оценки.
(1)
Утверждение 3. Для того, чтобы управление П^*(-) было оптималь-пым для задачи П1Р, необходимо и достаточно, чтобы оно имело следующий вид:
/ ч (1) / х 1Л1) / ч,^» / ч (1) / Л
Пи.(т0) = Ко(0)_1( ВоФУ^ПЦц,) - Пд(т0)) , где ПЦ-) - решение задачи
(1пи (1) ,„,(!) (1) ,„Ч/Г^(Х) (!) , ч
= - Ао(0) £^Пи) + П<?(г0),
дтп
Пщ(+оо) = О,
(1) / ч ,ЛЧ / (1) {1) , ч
I !**(•) - траектория системы (9), (10), соответствующая \{и = Пи*(т0).
Задача П1Р однозначно разрешима.
Рассмотрим задачу ГОР, состоящую в минимизации функционала
(!) (2) /О) \ /(2) ч \
П2«/(<2и, Пи) = / <2г(0), Р2а4 ) + ( П*(0), Е2а5) +
Г° //(1) 1(1) (!) (!) \ /(!) 1(1) (1) (!) , \\
+ J [ ( Яг, ^Шо(к)Яг + д9(п) ) + (Яи,-Шо(Ь)Яи + Яд{п) ) Ытх+
/•+0°/7(2) 1 (2) (2) (2) \ /(2) 1(2) (2) (2) \\
+ у КП*,^о(*1)П* + П9(п)у + (Пи,-Ко(«1)Пи + П на траекториях системы
(1)
сЮг (О М (О С1) С1)
—— = Я2(Ао(*1)<22 + Шо{к)Яи) 4- Qf{т\), Т\ < 0,
<*П (11)
(2)
бт\г (2) (2) (2) (2) (2)
-Г- = Е2(Ао(Ь)Пг + Во(«1)Пи) + ПДп), п > 0, ат\
(1) (2) (1) (2)
Яг(—оо) = 0. ЕШД+оо) = 0, Е2{Яг(0) -П>(0)) = Е2Ь4, (12)
- Київ+380960830922