Геометрии выпуклых и конечных множеств геодезического пространства

Оглавление
Введение 4
1 Выпуклые и конечные множества в геодезическом пространстве 21
1.1 Внутренняя метрика Хаусдорфа............................. 23
1.2 Пространство всех А-сетей и симметризованная степень порядка N метрического пространства ........................ 36
1.3 Выпуклые множества в обобщенном хордовом пространстве 63
1.4 Одулярные структуры геометрии Гильберта и прямою С-пространства Буземана....................................... 78
2 Аппроксимативные свойства множеств в геодезическом пространстве 90
2.1 Относительные чебышевский центр и чебышевский радиус ограниченного множества метрического пространства 93
2.2 Относительный чебышевский центр конечного множества геодезического пространства.................................100
2.3 Достаточные условия существования и единственности че-бышевского центра непустого ограниченного множества геодезического пространства.................................111
2.4 Обобщение некоторых теорем Б. Секефальви-Надь, С. Б. Стечкина и Н. В. Ефимова....................................116
2.5 Непрерывность и связность метрической
(5-проекции в геодезическом пространстве................130
2
2.6 Непрерывность метрической ^-проекции на выпуклое множество в геодезическом пространстве......................142
2.7 Наилучшие Лг-сети ограниченных замкнутых выпуклых множеств в геодезическом пространстве....................152
2.8 Наилучшая ЛГ-сеть и наилучшее сечение ограниченного множества в бесконечномерном пространстве Лобачевского 159
2.9 Наилучшее приближение выпуклого компакта геодезического пространства шаром.................................166
2.10 Касательное пространство но Буземану в точке геодезического пространства ................................... 185
Специальные отображения метрических пространств 198
3.1 Метрическое пространство слабо ограниченных отображений метрических пространств............................200
3.2 Геодезические отображения специальных геодезических пространств..............................................207
3.3 Полнота и собственность некоторых пространств отображений с метрикой Буземана................................214
3.4 Пространство всех подобий метрического пространства с метрикой Буземана........................................221
3.5 Два аналога слабой сходимости в специальном метрическом пространстве........................................231
Список публикаций автора по теме диссертации и литература 246
Введение
Объектом исследования настоящей-работы являются проблемы геометрии выпуклых (конечных) множеств геодезическою пространства. Актуальность. Метрическая геометрия возникла в 20-30-е годы,двадцатого века в работах К. Менгера, П. С. Урысона, А. Вальда, С. Э. Кон-Фоссена, К. Куратовского, Ф. Хаусдорфа, И. Шёнберга и других математиков. В этот начальный период метрическая геометрия еще не приобрела известность, а сам термин «метрическая геометрия» имел более узкий смысл. В 40-60-е годы были созданы основы метрической геометрии в фундаментальных работах Г. Буземана, А. Д. Александрова, В. А. Ефремовича, Л. М. Блюменталя, В. А. Залгаллера, Ю. Г. Решетника, Ю. Д. Бураго и их учеников. С 70х годов начался современный этап развития метрической геометрии, достижения которого отражены в монографиях Г. Буземана [26]; Г. Буземана, В. В'. РЬабке [27]; М. Л. Громова-[41]; А. В. Погорелова [69]; \У. ВаИтапп [9]; А. РараёороиЬэ [67]; М. ВпсЬоп, А. НаеАНбег [22]; С. В. Буяло, В. Шрёдер [34]; М. М. Деза, М. Лоран [44]; в первом учебнике на русском языке 10. Д. Бураго, Д. Ю. Бураго, С. В. Иванова [28]; в обзорах Ю. Г. Решетияка [71]; В. Н. Берестовского, И. Г. Николаева [16] и некоторых других обзорах и монографиях. Кроме того, большое количество новых результатов пока не описано в обзорах, монографиях и учебниках, они содержатся лишь в научных статьях, число которых стабильно растет. В настоящее время установилось много взаимосвязей метрической геометрии с комбинаторной геометрией, геометрией близости [50], римаиовой геометрией «в целом» [30], теорией гиперболических групп, теорией фракталов, геометрической теорией меры [80], нелинейным функциональным анализом, субдифференциальным исчислением [51], выпуклым анализом [70, 68], теорией некорректных задач, теорией вероятностей, теорией графов [44], теорией приближений [77, 75] и другими разделами математики [45]. Эти взаимосвязи поддерживают актуальность метриче-
4
ской геометрии и постоянный, приток в нее новых задач. Кроме того;, развитие метрической* геометрии связано с важностью и распространенностью метрических свойств объектов; исследуемых в различных разделах математики и прикладных науках, а также с тем, что по мере накопления геометрических фактов, полученных другими методами (например, методами математическою анализа), проясняется метрическая природа многих из них..
Г. Буземан метризовал группу всех движений метрического-пространства и доказал, что в случае конечной компактности метрического пространства (сейчас чаще употребляются термины: собственное метрическое пространство [22, с. 2] или ограниченно-компактное метрическое пространство [28, с. 17]) эта группа является конечно-компактным-; метрическим пространством г [25, с.- 30, 32]: В. Н. Берестовским было доказано, что метрическая топология Буземана в группе всех движений конечно-компактного метрического пространства эквивалентна.ее компактно-открытой топологии и группа всех движений однородного (^-пространства Буземана является группой Ли [15, 14]. Для группы подобий аналогичные исследования проведены в.[в2], [19] и [42].
Известно, что одним из условий в определениях С-пространства Буземана [25, с. 54] и хордовою пространства [27, с. 23] является условие конечной^ компактности метрического пространства. Актуальной задачей- является ослабление условия конечной компактности метрического пространства, поскольку оно исключает из исследования многие геометрические объекты гильбертовых многообразий (в частности, гильбертовых пространств) и бесконечномерных банаховых многообразий, а также ограничивает общность исследования наилучших аппроксимирующих множеств (например, чсбышевских центров или наилучших ТУ-сетей) ограниченных множеств, возникающих при решении геомегрических задач или задач теории приближений. На этом пути были исследованы некоторые свойства выпуклых множеств в обобщенно хордовом пространстве (обобщенном 6т-пространстве Буземана) [б4,
.5
s6], обобщающие соответствующие свойства выпуклых множеств в хордовом пространстве (G'-пространстве Буземана) [27, с. 65. 74, 75, 79, 80-82), [25, с. 154, 157, 160]. В более общей ситуации (то есть при отсутствии собственности метрического пространства) были использованы условие неположительности кривизны по Буземану и понятие дифференцируемого пространства по Буземану в точке, что позволило обобщить и начать исследование касательного пространства по Буземану в точке геодезического пространства [sl8). Другие подходы проработаны более глубоко и основаны на понятиях конуса над пространством направлений [2], касательного конуса по Громову-Хаусдорфу [28, с. 328] и их модификаций с использованием дифферецируемости в метрическом пространстве, ультрасходимости метрических пространств и отображений [60]. Известно, что некоторые метрические свойства (например, аппроксимативные свойства) множеств в равномерно выпуклом банаховом пространстве связаны со свойствами метрической или обобщенной-метрической проекции на эти множества. Эти свойства исследовались Б. Секефальви-Надь [23, теорема 3.35], Ю. А. Б рудным, Е. А. Горином [23), С. Б. Стечкиным, Н. В. Ефимовым, Л. П. Власовым (см. обзор [37]), А. В. Мариновым [61, 62, 63], I. Singer [76] и другими математиками. Обобщенная метрическая проекция имеет также важное значение для исследования е-квазирешений и квазирешений операторных уравнений первого рода [61, 58, 59]. Оказалось, что многие из таких свойств допускают обобщение на геодезические пространства, удовлетворяющие дополнительным условиям, обеспечивающим в совокупности аналог свойства равномерной выпуклости банахова пространства [s7, sl2, sl3]. Аналог равномерной выпуклости в геодезическом пространстве дает возможность получить достаточные условия существования и единственности чебышевского центра ограниченного множества и исследовать геометрические свойства наилучших ./V-сетей ограниченных множеств. В банаховых и гильбертовых пространствах свойства чебышевских центров и наилучших JV-сетей ограниченных мио-
6
t
I
I
i
жеств исследовали A. Jl. Гаркави [39, 40], ГР. К. Белобров [11, 12], D. Amir, J. Mach, K. Saatkamp [3, 4], L. Vesely [36], A. Wisnicki и J. Wosko [79], В. C. Балаганский [10]. В метрическом пространстве свойства че-бышевского центра ограниченною множества исследовались при более сильных ограничениях на пространство [65, 35], [9, с. 26]. Аналогично ситуации с чебышевским центром, некоторые результаты С. И. Дудо-ва и И. В. Златорунской [46, 47] о наилучшем приближении в метрике Хаусдорфа выпуклого компакта банахова пространства шаром допускают обобщение на случай специального геодезического пространства неположительной кривизны по Буземану [sl7].
Таким образом, важность установления новых связей метрической геометрии с теорией приближений, выпуклым анализом и- функциональным анализом делает тему диссертации актуальной. Кроме того, есть много внутренних нерешенных проблем метрической геометрии. Например, проблема Буземана о том, является ли G-пространство Бу-земана 'топологическим многообразием [25, с. 69]. Г. Буземан [24], В. Krakus [56] и P. Thurston [78] доказали, что G-пространство Буземана является топологическим многообразием в размерностях 2, 3 и 4 соответственно. В. Н. Берестовский установил некоторые достаточные условия конечномерности G-пространства Буземана [13]. В общем случае проблема остается открытой.
В данной работе при исследовании геометрических свойств пространств выпуклых (конечных) множеств метрического пространства используются в основном прямые, синтетические методы Буземана [25, 26, 27, 55, 67, 18, 14, 17, 6, 7, 8, 5], сгандартпые методы теории метрических пространств [57, 64] и методы теории приближений [77, 23, 37, 39, 46, 61, 62, 63]. Треугольники сравнения и верхние углы по А. Д. Александрову [16] используются для исследования одного метрического аналога слабой сходимости последовательности в вещественном гильбертовом пространстве.
Целью настоящей работы является исследование геометрии выпук-
7
лых (конечных) множеств геодезического пространства.
Научная новизна. Все основные результаты, представленные в настоящей работе и выносимые на защиту, являются новыми. Перечислим эти результаты.
1. Найдены необходимые и достаточные условия, при которых пространства (Ху,ар), (£2р0,а) являются пространствами с внутренней метрикой, а также метрически выпуклыми (выпуклыми но Менге-ру, собственными, геодезическими) пространствами. Получены достаточные условия, при которых пространство (Хдг, ар) является геодезическим пространством (удовлетворяет локальному условию неположительности кривизны по Буземану). Найдены необходимые и достаточные условия, при которых пространство (Е^(Х), ар,я) является пространством с внутренней метрикой, а также собственным (собственным метрически выпуклым, собственным выпуклым по Мепгеру, собственным геодезическим) пространством.
2. Установлено, что одулярные структуры прямого С-пространства Бу-земана и геометрии Гильберта являются топологическими одулярны-ми структурами. Исследованы геометрические свойства выпуклых 17-множеств обобщенного хордового пространства.
3. Получены оценки изменения относительного чебышевского радиуса Яцг(М) при изменении непустых ограниченных множеств М, ГГ метрического пространства. Найдены замыкание и внутренность множества всех У-сетей, каждая из которых обладает принадлежащим ей единственным относительным чебышевским центром, в множестве всех М-сетей специального геодезического пространства относительно метрики Хаусдорфа. Получены достаточные условия существования и единственности чебышевского центра, а также принадлежности чебышевского центра замыканию выпуклой оболочки непустого ограниченного множества специального геодезического пространства.
4. Теоремы Б. Секефальви - Надь, С. Б. Стечкипа и Н. В. Ефимова об аппроксимативных свойствах множеств, а также теоремы Л. П.
8
Власова и А. В. Маринова о непрерывности и связности метрической ^-проекции в равномерно выпуклом банаховом пространстве обобщены на случай специального геодезического пространства. В специальном метрическом пространстве получены обобщения теорем П. К. Белоброва и А. Л. Гаркави о наилучших У-сетях непустых ограниченных замкнутых выпуклых множеств в гильбертовом и в специальном банаховом пространствах. Для каждого непустого ограниченного множества бесконечномерного пространства Лобачевского доказано существование наилучшей УУ-сети и наилучшего У-сечения, а также установлена сильная устойчивость чебышевского центра.
5. Получена оценка сверху для расстояния Хаусдорфа от непустого ограни чей нот множества до множества всех замкнутых шаров специального геодезического пространства X неположительной кривизны по Буземаиу. Доказано, что множество всех центров х{М) замкнутых шаров, наилучшим образом приближающих в метрике Хаусдорфа выпуклый компакт М С X, непустое и принадлежит М.
6. Установлено, что метрика на касательном пространстве в произвольной точке пространства неположительной кривизны по Буземаиу (дифференцируемого по Буземану метрического пространства) внутренняя. Доказано, что касательное пространство в произвольной точке локально полного дифференцируемого по Буземану метрического пространства является полным пространством^ а также, что касательное пространство в произвольной точке локально компактного пространства неположительной кривизны по Буземану является собственным геодезическим пространством.
7. Доказано, что пространство всех слабо ограниченных гомеоморфизмов с метрикой Куратовского, каждый из которых равномерно непрерывен на произвольном замкнутом шаре с центром в фиксированной точке метрического пространства вместе со своим обратным гомеоморфизмом, является наратопологической группой (топологической группой при связности произвольного замкнутого шара с центром в данной
9
фиксированной точке), непрерывно действующей на метрическом пространстве X. Теорема Банаха об обратном операторе и принцип равностепенной непрерывности для ^-пространств* обобщены на случай специального геодезического отображения специальных геодезических пространств.
8. Доказано, что пространство (Нв{Х, У, а), 5Р) всех отображений из метрического пространства X в метрическое пространство У, удовлетворяющих равномерному условию Гельдера с фиксированными покат зателем и коэффициентом, является полным (собственным) метрическим пространством, если У — полное метрическое пространство (X, У — собственные метрические пространства). Установлено, что если X — собственное метрическое пространство, то топология пространства (Нв(Х,У, а), 6Р) совпадает как с топологией поточечной сходимости, так и с компактно-открытой топологией. В специальном метрическом пространстве введены два аналога слабой сходимости последовательности в вещественном гильбертовом пространстве и исследованы их геометрические свойства.
9. Доказано, что:
- если X, У — полные (собственные) метрические пространства, то пространство 8гт(Х,У) и Сопз^Х,У)у состоящее из всех подобий и всех постоянных отображений из X в У, с метрикой Буземана 6Р является полным (собственным);
- если X — собственное метрическое пространство, то топология пространства (5гт(Х, У) и Соп8Ь(Х> У), 5Р) совпадает как с топологией поточечной сходимости, так и с компактно-открытой топологией;
(Бт(Х), 5Р) — топологическая группа, действующая непрерывно на пространстве Х\
- группы подобий вгт^Х) и изометрий 1зо{Х) с метрикой Куратов-ского 5 являются топологическими группами, непрерывно действующими на пространстве X. Найдено замыкание группы подобий полного метрического пространства в объемлющем пространстве отображений
10
Ф(А, X) с метрикой Буземана 8Р.
Методы исследования. Основными методами исследования, применяемыми в настоящей работе, являются:
- синтетические, прямые методы Буземана;
- стандартные методы из теории метрических пространств;
- методы теории приближений.
Достоверность полученных в диссертации результатов обусловлена тем, что:
- применяются проверенные, точные и строго обоснованные методы исследования;
- многие результаты диссертации являются обобщением полученных ранее результатов и совпадают с этими результатами в частных случаях;
- все основные результаты диссертации доказаны и опубликованы.
Апробация. Основные результаты, изложенные в диссертации, опубликованы в 21 публикации.
Результаты докладывались
- ежегодно на научных семинарах кафедры геометрии Казанского государственного университета в 1993-2009 г.г.;
- на итоговых научных конференциях Казанского педагогическою университета в 1994-2000 г.г.;
- на итоговых научных конференциях Казанского государственного университета в 2001-2009 г.г.;
- на научных семинарах НИИ математики и механики им. Н. Г. Чеботарева (Казань, 2001-2007 г.г.);
- на международном геометрическом семинаре имени Н. И. Лобачевского «Современная геометрия и теория физических полей» (Казань, 4-6 февраля 1997 г.);
- на международной научной конференции «Актуальные проблемы математики и механики» в НИИ математики и механики им. Н. Г. Чеботарева (Казань, 1-3 октября 2000 г.);
11
- на международной научной конференции «Topology, Analysis and Related Topics», посвященной шестидесяти л етию А. С. Мищенко (Московский гос. ун-т, 29-31 августа.2001 г.);
- на международной научной конференции «Геометрия «в целом», топология и их приложения», посвященной девяностолетию со дня рождения А. В. Погорелова (Харьковский национальный ун-т, 22-27 июня 2009 г.);
- на Восьмой научной школе-конференции «Лобачевские чтения 2009» (Казань, 1-6 ноября 2009 г.);
- на научном^ семинаре кафедры.дифференциальной геометрии и приложений Московского государственного университета (Москва, 14 декабря 2009 г.);
- на геометрическом семинаре им. А. Д. Александрова Санкт-Петср-бур1чжого отделения Математическою' института им. В. А. Стеклова РАН' (Санкт-Петербург, 4 марта 2010 г.).
Краткое описание содержания работы по главам. Диссертация состоит из введения, трех глав и списка использованной литературы.
В первой главе диссертации исследуются геометрические свойства выпуклых и конечных множеств в геодезическом пространстве.
В параграфе 1.1 рассматривается внутренняя метрика Хаусдорфа. Доказано, что метрика Хаусдорфа на множестве всех непустых замкнутых ограниченных подмножеств метрического пространства (X, р) является внутренней метрикой тогда и только тогда, когда метрика р
- внутренняя (теорема 1.1.1). Установлено, что пространство (А,р)
- метрически выпукло тогда и только тогда, когда для любых двух ограниченных множеств существования пространства X найдется середина этих множеств относительно метрики Хаусдорфа. Указано, как построить такую середину в метрически выпуклом пространстве (теорема 1.1.2). В метрическом пространстве с внутренней метрикой получена верхняя оценка для хаусдорфова расстояния между обобщенными
12
шарами (лемма 1.1.2).
В параграфе 1.2 при заданном метрическом пространстве (X, р) рассматриваются множество всех N-сетей Едг(Х) пространства X, его подмножество ЕдГ(Х), элементами которого служат произвольные ТУ-сети мощности /V, сим метризованная степень Хм порядка N пространства X, отождествленная с множеством всех ТУ-сетей с повторениями, и его подмножество равномощное множеству Е*у(Х). Множество Хм наделим метрикой ар :
ор(К®ь • ■ ■ >**/)]. Кг/ь ■ • • > илг)]) =
шт{рм,р((а;1,... ,хц), (гцц,.. • ,2/<г(Л))) ■ £ 5(Л/)},
где 5(АГ) — группа всех подстановок множества из N > 1 элементов,
Рлг,р((жь...,Хм), (2/1, ■ • • ,2/л/)) = (1*12/11Р + • • • + \хмУ^рУ/р при р £ [1, оо) И
PNtoo
((хи ■ • •.*//), (г/1. ■ • • .г/л/)) = тах{|*12/1|,..., |*я2/л'|}
при р = оо. Рассмотрим на множестве Хм следующее отношение эквивалентности Я:
[(хь--..*лг)]Д[(2/ь---.2/лО]. если {жь.-.,*м} = {Уu■■■,УN}■
Множество Ед/(Х) отождествим с фактор-пространством Хм/Я и наделим его фактор-метрикой аРгп или метрикой Хаусдорфа а.
Доказано, что пространства (Хм, аР), (Ер/Х), а) являются пространствами с внутренней метрикой или метрически выпуклыми (выпуклыми но Менгеру, собственными, геодезическими) пространствами тогда и только тогда, когда сответствующими свойствами обладает пространство (X, р) (теорема 1.2.1, следствие 1.2.1). Получены достаточные условия, при которых пространство (Хм,ар) является геодезическим пространством или удовлетворяет локальному условию неположительности кривизны по Буземану (теорема 1.2.2). Доказано, что
13
пространство (Е^(.Х), аР1ц) является пространством-с внутренней метрикой или собственным (собственным метрически выпуклым, собственным выпуклым по Менгеру, собственным геодезическим) пространством тогда и только тогда, когда соответствующими свойствами обладает пространство (Х,р) (теорема 1.2.3). Для собственного геодезического пространства (X, р) получены достаточные условия, при которых произвольные две Л^-сети пространства (Елг(/[),а:) могут быть соединены сегментом (следствие 1.2.4). В метрически выпуклом пространстве, удовлетворяющем глобальному условию неположительности кривизны по Буземану, найдены геометрическое свойство отображения, сопоставляющее произвольному сегменту его середину (лемма 1.2.1), и некоторые геометрические свойства пространства (Ез(Х),а), связанные в основном со свойством метрической выпуклости этого пространства (лемма 1.2.2).
В параграфе 1.3 исследуются геометрические свойства выпуклых множеств в обобщенном хордовом пространстве. Введено понятие обобщенного хордового пространства (обобщенного С-пространства Бузе-мана). Получены достаточные условия выпуклости замыкания (внутренности) выпуклого (/-множества обобщенного хордового пространства, а также совпадения замыкания (внутренности) выпуклого (/-множества с замыканием внутренности (внутренностью замыкания внутренности) этого множества (теорема 1.3.1). Найдены условия, эквивалентные условию выпуклости всех замкнутых шаров в обобщенном хордовом пространстве, являющимся (/-множеством, а также в обобщенном (/-пространстве Буземана (теоремы 1.3.2, 1.3.3). Установлены достаточные условия, при которых обобщенное хордовое пространство является обобщенным.(/-пространством Буземана (теорема 1.3.4). Геометрически охарактеризовано множество всех точек на всех опорных (полукасательных) хордах в произвольной граничной точке выпуклого множества из открытого шара обобщенного хордового пространства (теорема 1.3.5). Получены геометрические характеристики для транс-
14
версалей произвольной прямой обобщенного прямого хордового пространства, все открытые шары которого выпуклы (теорема 1.3.6).
В параграфе 1.4 исследуются одулярные структуры геометрии Гильберта и прямого (^-пространства Буземана. 1 Голучены достаточные условия, при которых одулярная структура геодезического пространства, через каждые две различные точки которого можно провести единственную прямую, является топологической одулярной структурой (лемма 1.4.1). Установлено, что одулярные структуры прямого (7-проегранства Буземана и геометрии Гильберта являются топологическими, одуляр-ными структурами (теоремы 1.4.17, 1.4.3). Доказано, что метрика геометрии Гильберта в открытом шаре В строго выпуклого банахова пространства топологически эквивалентна индуцированной метрике в В банахова пространства, а также, что эти метрики линшицево экви-валентены на каждом замкнутом шаре, содержащимся в В (теорема 1.4.2). Получен явный вид для основных операций одулярной структуры геомегрии Гильберта (лемма 1.4.2). Вычислены некоторые пределы функций, связанных с основными операциями одулярной структуры геометрии Лобачевского (теорема 1.4.4).
Основные результаты по перечисленным темам опубликованы в статьях автора [бЗ, б4, б6, 811, б14, б16, б20].
Во второй главе диссертации исследуются аппроксимативные свойства множеств в геодезическом пространстве.
В параграфе 2.1 рассматриваются относительные чебышевский центр, чебышевский радиус и множество всех диаметральных точек ограниченного множества метрического пространства. Получены оценки изменения относительного чебышевского радиуса Н\\/(М) при изменении непустых ограниченных множеств М, \¥ метрического пространства (теорема 2.1.1). Доказано, что из всякой последовательности компакте пых множеств метрического пространства, сходящейся относительно метрики Хаусдорфа к некоторому компактному множеству М, можно выбрать подпоследовательность, для которой последовательность
15
{
< множеств всех относительных чебышевских центров (всех диаметраль-
ных точек) ее элементов сходится'относительно отклонения Хаусдорфа к множеству всех относительных чебышевских центров (всех диаметральных точек) множества М (теорема 2.1.2).
В параграфе 2.2 найдены замыкание и внутренность множества всех /У-сетей, каждая из которых обладает принадлежащим ей единственным относительным чебышевским центром, в множестве всех ТУ-сетей специального геодезического пространства относительно метрики Хаусдорфа (теорема 2.2.1). Доказано, что относительно метрики Хаусдорфа при N > 2 граница множества всех А-сегей, каждая из которых обладает не более, чем N — 2 принадлежащими ей относительными че-бышевскими центрами, совпадает с множеством всех диаметральных ./У-сетей в множестве всех Лг-сетей специального геодезического пространства (следствие 2.2.1).
В параграфе 2.3 получены достаточные условия существования- и единственности чебышевского центра непустого ограниченного множества геодезического пространства (теорема 2.3.1, следсгвие 2.3.1).
В параграфе 2.4 теоремы Б. Секефальви - Надь [23, теорема 3.35], С. Б. Стечкина и Н. В. Ефимова [37, теоремы 1.1 и 1.2] об аппроксимативных свойствах множеств в равномерно выпуклом банаховом.пространстве обобщены на случай специального геодезического пространства (теоремы 2.4.1, 2.4.2, 2.4.3).
В параграфе 2.5 теоремы Л. П. Власова [38. 37] и А. В. Маринова [62] о непрерывности и связности метрической (5-проекции в равномерно выпуклом банаховом пространстве обобщены на случай специального геодезического пространства (теоремы 2.5.1 - 2.5.4). Одним из простых следствий такого обобщения является справедливость аналогичных результатов в пространствах Лобачевского (включая бесконечномерные).
В параграфе 2.6 доказано, что теоремы А. В. Маринова из [61, 63] о непрерывности метрической (5-проекции на выпуклое множество в линейном нормированном пространстве остаются верными в специальном
16
метрическом пространстве (теоремы 2:6.1, 2.6.2).
В параграфе 2.7 в специальном метрическом пространстве получены обобщения некоторых результатов П. К. Белоброва [11, 12] и А. Л. Гаркави [40] о наилучших Х-сетях непустых ограниченных замкнутых выпуклых множеств в гильбертовом и в специальном банаховом пространствах (теоремы 2.7.1, следствие 2.7.2), а также о принадлежности чебьтшевского центра замыканию выпуклой оболочки данного множества (лемма 2.7.2).
В параграфе 2.8 доказано, что некоторые результаты А. Л. Гаркави [39, 40] и II. К. Белоброва [12, 11] о наилучшей сети, наилучшем сечении и чсбышевском центре ограниченного множества в специальном банаховом пространстве верны и в бесконечномерном пространстве Лобачевского. А именно, для каждого непустого ограниченного множества бесконечномерного пространства Лобачевского доказано существование наилучшей Дг-сети (теорема 2.8.1) и- паилучшего ЛГ-сечения (теорема 2.8.2), а также установлена сильная устойчивость чебышев-ского центра (теорема 2.8.3).
В параграфе 2.9 рассматривается наилучшее приближение выпуклого компакта геодезического пространства шаром. Получена оценка сверху для расстояния Хаусдорфа от непустого ограниченного множества до множества всех замкнутых шаров специального геодезического пространства X неположительной кривизны по Буземану (теорема
2.9.1). Доказано, что множество всех центров х(М) замкнутых шаров, наилучшим образом приближающих в метрике Хаусдорфа выпуклый компакт М С А, непустое и принадлежит М (теорема 2.9.2). Исследованы геометрические свойства множества х(М). Таким образом, теоремы С. И. Дудова и И. В. Златоруиской [46, 47] обобщены на случай специального геодезического пространства неположительной кривизны по Буземану.
В параграфе 2.10 исследуются метрические свойства касательного пространства для метрического пространства более общего, чем диф-
17
ференцируемое С-прострапство Вуземаиа. Установлено, что метрика на касательном пространстве в произвольной точке пространства неположительной кривизны-по Буземану (дифференцируемогопо Буземану метрического пространства) внутренняя. Доказано, что касательное пространство в произвольной точке локально полного дифференцируемого по Буземану метрического пространства является полным пространством, а также, что касательное пространство в произвольной точке локально компактного пространства неположительной кривизны по Буземану является собственным геодезическим пространством (теоремы 2.10.1, 2.10.2).
Основные результаты по перечисленным темам этой главы опубликованы в статьях автора [э7, 88, б9, б12, Б13, 814, к1Т, 818, 819, з21].
В третьей главе исследуются специальные отображения метрических пространств.
В параграфе 3.1 рассматривается метрическое пространство слабо ограниченных отображений метрических пространств с метрикой Ку-ратовского $. Доказано, что пространство всех слабо ограниченных гомеоморфизмов (НВ(Х),6), каждый из которых равномерно непрерывен на произвольном замкнутом шаре с центром в фиксированной точке метрического пространства X вместе со своим обратным гомеоморфизмом, является паратопологичёской группой, непрерывно действующей на пространстве X. Установлено, что (НВ(Х), <5) является топологической группой при связности произвольного замкнутого шара с центром в фиксированной точке метрического пространства X (теорема 3.1.2).
В параграфе 3.2 рассматриваются геодезические отображения специальных геодезических пространств. Исследованы некоторые геометрические свойства таких отображений. Теорема Банаха об обратном операторе и принцип равностепенной непрерывности для F-пpocтpaнcтв [74, с. 99, 104] обобщены на случай специальных геодезических отображений специальных геодезических пространств (теоремы 3.2.1 - 3.2.5).
В параграфе 3.3 метрика Буземана 5Р распространяется на множе-
18
ство Ф(Х, У) всех непрерывных отображений удовлетворяющих сле/*ующему условию: для любых х, у <Е X
< в,е'Ч
где Ву — неотрицательная константа. Доказано, что пространство (#в(Х, У, а),<у всех отображений из метрического пространства X в метрическое пространство У, удовлетворяющих равномерному условию Гельдера с фиксированными показателем а € (0,1] и коэффициентом В € К+, является полным (собственным) метрическим пространством, если У — полное метрическое пространство (X, У — собственные мет-рические пространства) (теоремы 3.3.1, 3.3.3). Установлено, что если X — собственное метрическое пространство, то топология пространства (##(Х, У, а), <У совпадает как с топологией поточечной сходимости, так и с компактно-открытой топологией (теорема 3.3.2).
В параграфе 3.4 рассматривается метрическое пространство всех подобий (Вгт(Х} У), 6Р) из метрического пространства X на метрическое пространство У с метрикой Вуземана 6Р. Доказано, что:
- если группа всех подобий действует транзитивно на полном метрическом пространстве, то и группа изометрий-действует на нем транзитивно (лемма 3.4.1);
- если X, У полные (собственные) метрические пространства, то пространство (5гт(Х, У) и СолвЬ^Х. У), 6Р) — полное (собственное), где Соп8Ь(Х)У) —* множество всех постоянных отображений из X в У (теоремы 3.4.1, 3.4.3);
- если X — собственное метрическое пространство, то топология пространства (5гт(Х, У)иСопз1(Х, У), 6Р) совпадает как с топологией поточечной сходимости, так и с компактно-открытой топологией (теорема
3.4.2);
- (5гггг(Х), 5Р) — топологическая группа, действующая непрерывно на пространстве X (теорема 3.4.4);
19
- группы подобий 8гт(Х) и изометрий 1зо{Х) с метрикой Кура-товского <5 являются топологическими группами, непрерывно действующими на пространстве X.
Найдено замыкание группы подобий полного метрического пространства в пространстве (Ф(Х Х),6Р) (теорема 3.4.5).
В параграфе 3.5 в специальном метрическом пространстве введены два аналога слабой сходимости последовательности в вещественном гильбертовом пространстве и исследованы их геометрические свойства (теоремы 3.5.1 - 3.5.4).
Основные результаты но перечисленным темам этой главы опубликованы в статьях автора [з1, Э2, б53 з15).
Всюду в диссертации используется обозначение \ху\ для расстояния р(х,у) между точками метрического пространства (Х,р). Теорема 1.2.3 обозначает теорему 3 из второго параграфа главы 1.
20
Глава 1
Выпуклые и конечные множества в геодезическом пространстве
В параграфе 1.1 рассматривается внутренняя метрика Хаусдорфа. Доказало, что метрика Хаусдорфа на множестве всех непустых замкнутых ограниченных подмножеств метрического пространства (X, р) является внутренней метрикой тогда и только тогда, когда метрика р -г внутренняя. Установлено, что пространство (Х,р) — метрически выпукло тогда и только тогда, когда для любых двух ограниченных множеств существования пространства X найдется середина этих множеств относительно метрики Хаусдорфа. Указано, как построить такую середину в метрически выпуклом пространстве. В метрическом пространстве с внутренней метрикой получена верхняя оценка для хаусдорфова расстояния между обобщенными шарами.
В параграфе 1.2 при заданном метрическом пространстве (Х,р) рассматриваются множество всех У-сетей Едг(Х) пространства X, его подмножество Едг(Х), элементами которого служат произвольные У-сети мощности У, симметризованная степень порядка У пространства X, отождествленная с множеством всех У-сетей с повторениями Х^) и его подмножество Хд,, равномощное множеству Е^(Х). Множество Хдг наделяется метрикой а1п где р € [1,оо], а множество Едг(Х) наделяется фактор-метрикой ард или метрикой Хаусдорфа а. Найдены необ-
21
ходимые и достаточные условия, при которых пространства (Хм, ар), (Ег(Х),а) являются пространствами.с внутренней метрикой, а.также метрически выпуклыми (выпуклыми по Менгеру, собственными, геодезическими) пространствами. Получены достаточные условия; при- которых пространство (Х^,ар) является геодезическим пространством или удовлетворяет локальному условию неположительности кривизны по Буземану. Найдены необходимые и достаточные условия, при которых пространство (Едг(Х), аР,л) является пространством с внутренней метрикой, а также собственным (собственным метрически выпуклым, собственным выпуклым по Менгеру, собственным геодезическим) пространством. Для собственного геодезического пространства (X, р) получены достаточные условия, при которых произвольные две ЛГ-сети пространства (Едг(Х), а) могут быть соединены сегментом. В метрически выпуклом пространстве, удовлетворяющем глобальному условию неположительности кривизны но Буземану, найдены геометрическое свойство отображения, сопоставляющее произвольному сегменту его середину, и некоторые геометрические свойства пространства (Е2(Х), а), связанные в основном со свойством метрической выпуклости этого пространства.
В параграфе 1.3 исследуются геометрические свойства выпуклых множеств в обобщенном хордовом пространстве. Введено понятие обобщенного хордового пространства (обобщенного (7-пространства Бузе-мана). Получены достаточные условия выпуклости замыкания (внутренности) выпуклого (/-множества обобщенного хордового пространства, а также совпадения замыкания (внутренности) выпуклого (/-множества с замыканием внутренности (внутренностью замыкания внутренности) этого множества. Найдены условия, эквивалентные условию выпуклости всех замкнутых шаров в обобщенном хордовом пространстве, являющимся (/-множеством, а также в обобщенном (7-пространстве Вуземана. Установлены достаточные условия, при которых обобщенное хордовое пространство является обобщенным
22
С-пространством Буземана. Геометрически охарактеризовано множество всех точек на всех опорных (полукасательных) хордах в произвольной граничной точке выпуклого множества из открытого шара обобщенного хордового пространства. Получеш»/ геометрические характеристики для трансверсалей произвольной прямой обобщенного прямого хордового пространства, все открытые шары которого выпуклы.
В.параграфе 1.4 исследуются одулярные структуры геометрии Гильберта и прямого (^-пространства Буземана. Получены достаточные условия, при которых одулярная структура геодезического пространства, через каждые две различные точки которого можно провести единственную прямую, является топологической одулярной структурой. Установлено, что одулярные структуры прямого С-прострапства Буземана и геометрии Гильберта являются топологическими одулярными структурами. Доказано, что метрика геометрии Гильберта в открытом шаре В строго выпуклого банахова пространства топологически эквивалеи'г-иа индуцированной метрике в В банахова пространства, а также, что эти метрики липшицево эквивалеитены на каждом замкнутом шаре, содержащимся в В. Получен явный вид для основных операций одулярной структуры геометрии Гильберта. Вычислены некоторые пределы функций, связанных с основными операциями одулярной структуры геометрии Лобачевского.
Основные результаты по перечисленным темам опубликованы в стаг тьях автора [зЗ, б4, б6, б11, б14, б16, б20].
1.1 Внутренняя метрика Хаусдорфа
Напомним наиболее общее определение пространства с внутренней метрикой. Метрическое пространство (Х: р) называется пространством с внутренней метрикой, если для любых х, у € X, е > 0 найдется ко-
23