Оглавление
Введение 3
Глава 1. Нелокальные задачи для уравнения сметанного параболо-гиперболического типа 23
§1.1. Задача с условиями периодичности ........................ 23
§1.2. Нелокальная задача....................................... 37
§1.3. Сопряженная нелокальная задача........................... 55
Глава 2. Начально-граничная и нелокальные задачи для вырождающегося уравнения смешанного парабол о-гиперболического типа 69
§2.1. Начально-граничная задача ............................... 69
§2.2. Задача с условиями периодичности ........................ 81
§2.3. Нелокальная задача....................................... 89
§2.4. Сопряженная нелокальная задача...........................106
Библиографический список 113
2
Введение
Одним из важных разделов современной теории дифференциальных уравнений с частными производными является теория краевых задач для уравнений смешанного типа. Такой интерес объясняется как теоретической значимостью получаемых результатов, так и их важными практическими приложениями в околозвуковой газовой динамике, в магнито и гидродинамических течениях с переходом через скорость звука, в теории бесконечно малых изгибаний поверхностей и других областях.
Начало исследований краевых задач для уравнений смешанного типа было положено в известных работах Ф. Трикоми [87] и С. Геллерстедта [99], где были впервые поставлены и исследованы краевые задачи для модельных уравнений смешанного типа, теперь известных как "задача Трикоми”и "задача Геллерстедта".
В 40-х годах Ф.И. Франкль [89] обнаружил важные приложения задачи Трикоми и других родственных ей задач в трансзвуковой газодинамике.
В дальнейшем созданием теории краевых задач для уравнений смешанного типа занимались Ф.И. Франкль. A.B. Бпцадзе, К.И. Бабенко, S. Agmon, L. Nirenberg, M.N. Prottcr, C.S. Morawetz, Л. Боре, В.Ф. Волкодавов, В.Н. Врагов, Т.Д. Джураев, В.А. Елесв. В.И. Жегалов, А.Н. Зарубин, И.Л. Кароль, Ю.М. Крикунов, А.Г. Кузьмин, O.A. Ладыженская, М.Е. Лернер, Е.И. Моисеев, А.М. Нахушев, Н.Б. Плещинский, С.П. Пулькин, К.В. Сабитов, М.С. Салахитдинов, М.М. Смирнов, А.П. Солдатов, P.C. Хайруллин, Хе Кан Чер,
з
JÏ.И. Чибрикова и др. В их работах наряду с задачами Трикоми и Геллерстедта были поставлены и изучены новые краевые задачи для уравнений смешанного типа.
Существенное место в теории дифференциальных уравнений в частных производных занимают нелокальные краевые задачи ввиду их теоретической и прикладной значимости. Для различных классов .уравнений нелокальные задачи изучались Ф.И. Фраи клем [90], A.B. Бицадзе [б], В.И. Жегаловым [17]— [19], A.B. Бицадзе и A.A. Самарским [7], А.М. Нахушевьтм [43] - [45], Н.И. Ионкиным [25, 26], А.Л. Скубачевским [80], В.А. Ильиным и Е.И. Моисеевым [23, 24], М.Е. Лернером и O.A. Репиным [37] - [39], Л.С. Пулькииой [50], А.И. Кожановым [30]. К.Б. Сабитовым и О.Г. Сидоренко [70, 64], Ю.К. Сабитовой [71, 72] и другими авторами.
В трансзвуковой газовой динамике Ф.И. Франкль [89] для уравнения Чаплыгина
■К{у)иХх Т Нуу =
где АГ(0) = 0, К'(у) > 0, впервые поставил краевую задачу, в которой носителем нелокального краевого условия ("скачка уплотнения1') 7/(0, у) — и(0, —у) = f(y)> 0 < у < а, является часть границы х = 0 области, состоящей из частей границ подобластей эллиптичности и гиперболичности уравнения. При этом на ней задается производная по нормали искомой функции и(х,у).
Впервые на необходимость рассмотрения задач сопряжения, когда на одной части области задано параболическое уравнение, на другой - гиперболическое, было указано в 1959 г. И.М. Гсльфандом [12]. Он рассматривает пример, связанный с движением газа в канале, окруженном пористой средой, при этом в канале движение газа описывается волновым уравнением, вне его - уравнением диффузии. Затем Г.М. Стручина [85], Я.С. Уфлянд [88], Л.А. Золима
[16] показали другие применения этих задач. Так, например, Я.С. Уфлянд задачу о распространении электрических колебаний в составных линиях, когда на участке полубесконечной линии пренебрегается потерями, а остальная часть линии рассматривается как кабель без утечки, свел к решению системы уравнений
а также при требованиях непрерывности напряжения и тока па прямой х = I :
Здесь Ь, С\ - самоиндукция и емкость (на единицу длины) первого участка линии; Сг - сопротивление и емкость второго участка. Если из системы уравнений (0.1) исключить токи, то получим задачу для уравнения смешанного параболо-гиперболического типа
= 0, 0 < х <
= 0, I < х < со
(0.1)
при начальных и граничных условиях:
0 < х < /,
1 < х < ос,
(0.2)
с соответствующими граничными условиями:
и(х, 0) = 0. иу(х, 0) = 0. 0 < х < и(х, 0) = 0, I < х < оо,
и условиями сопряжения:
У
о
5
Эта задача для более общего уравнения, чем уравнения (0.2), рассмотрена в [14].
O.A. Ладыженская и Л. Ступялис |36] в многомерном пространстве рассмотрели начально-граничные краевые задачи на сопряжения для параболо-гиперболических уравнений, которые возникают при изучении задачи о движении проводящей жидкости в электромагнитном ноле.
Л.А. Золина [16] исследовала аналог задачи Трикоми для уравнения
I ихх ~ Ну — 0) У > 0,
Lu = < (0.3)
у Нхх Нуу = 0, у < О, в области, ограниченной при у < 0 характеристиками АС(х+у = 0) и ВС(х — у = 1) уравнения (0.3), а при у > 0 отрезками прямых AAq(x = 0), ВВ0(х = 1) и АоВц(у = h > 0), с граничными условиями и условиями склеивания:
и
Л До
и
= <Р1 (*/), «„„=¥>2(2/)» 0<y<h,
В fin
^ = y(x), 0 < х < 1/2,
и(х, +0) = А(т)а(т, —0), %(а;,-|-0) = у,(х)иу(х, —0), 0 < х < 1.
После этих статей появилось множество работ, где изучаются задача Трикоми и ее обобщения, задачи со смещениями, задача типа задачи Бицадзе-Самарского и другие нелокальные задачи для смешанных параболо-гиперболи-ческих уравнений второго порядка. Это работы Х.Г. Бжихатлова и А.М. На-хушева [4], Х.Г. Бжихатлова [5], В.Н. Врагова [10|, В.А. Елеева [15], Н.Ю. Капустина [28], А.М. Нахушева |45|, М.С. Салахитдинова, А. Бердышева, А.К. Уринова [75, 7G], К.Б. Сабитова [G2] и других.
Достаточно полная библиография по теории краевых задач для смешанных параболо-гиперболических уравнений содержи тся в монографиях [13, 14].
К.Б. Сабитовым (62] для уравнении
Ьх(и) = ихх Н- К\(у)иу - К2(у)иуи - Хи = О,
(0.4)
Ь2(и) = К\(у)их + К2(у)иу - иш/ - Хи = 0,
(0.5)
где Кі(у) = (1 + эдпу)/2, К2(у) = (I - здпу)/2, X = ХіКі(у) - Х2К2(у),
Лі, Х‘2 - числовые параметры, рассмотрен аналог известной задачи Трикоми и изучен характер влияния гиперболической части уравнений (0.4) и (0.5) на корректность постановки задачи Трикоми. Показано, что единственность решения задачи Т в классе регулярных решений уравнения (0.4) существенным образом зависит от параметров Аі и А2. Если даже Аі > 0, что в области параболичности гарантирует выполнение принципа экстремума, то найдется такое А2, при которых однородная задача Трикоми имеет ненулевое неотрицательное решение. А задача Трикоми для уравнения (0.5) вообще не имеет ни вещественного, ни комплексного спектра.
В работах Н.И. Ионкина [25, 26] в области Вт = {(#,£) | 0 < я < 1, 0 < £ < Т} для уравнения теплопроводности
Здесь показано, что нелокальное условие из (0.6) эквивалентно нелокальному условию 1^(0, £) = их(1, £) 0 < £ < Т. В этих работах доказаны теоремы существования и единственности классического решения этой задачи. Идея метода решения задачи основывается на возможности разложения функции <р(х), задающей начальное условие, в биортогональный ряд по системе собственных
Щ - ихх = /(я,£)
изучена нелокальная задача с условиями:
і
(0.6)
О
и(х, 0) = (р(х), 0 < х < 1.
и присоединенных функции несамосопряженного оператора исходной задачи [22].
М.Е. Лернер, O.A. Ренин [38] в полуполосе G = {(х,у)|0 < х < 1,у > 0} изучили задачу: найти функцию и(х, у) со свойствами:
и(х,у) G C(G) П Cl[G U {а; = 0})пС2((7);
утихх + иуу = 0, (х, у) в G, т> -1; и(хуу) —> 0 при у —► +оо равномерно по х 6 [0,1]; u(0,|/)-ti(l,f/) = Y?i(y), ti*(0, у) = <р2(у), У> О,
г/(х,0) = т(х), 0 < х < 1,
где т(ж), ч>\(у), (у) — заданные достаточно гладкие функции, причем т{х)
ортогональна к системе функций 1, cos(27* -f- 1)7гж, n = 0,1, 2,... .
В другой работе [39] ими исследована аналогичная задача в полуполосе G для уравнения
ихх + и.уу + (2р/у)иу - Ь2и = 0, b > 0, р ё Я,
при условии tpi(y) = 0 и ip2{y) = 0. В этих работах на основании принципов экстремума доказана единственность, методом разделения переменных и интегральных преобразований установлена разрешимость рассматриваемой задачи.
В работе М.Е. Лернера, O.A. Репина |37] для уравнения смешанного типа
sgn у • \у\шихх + Иуу = 0, тп > 0,
в области, где эллиптическая часть является полу полосой, гиперболическая часть представляет собой характеристический треугольник, рассмотрена краевая задача с двумя нелокальными краевыми условиями и(0,у) — и(1,у) =
8
<Pi{y), мж(0,г/) — «*(1,3/) = <P2(у), У > О- Доказательство единственности решения поставленной задачи проводится с помощью принципа экстремума, существование - методами интегральных преобразований и уравнений.
Е.И. Моисеев в [40. 41] исследовал в полуполосс нелокальную краевую задачу для вырождающегося эллиптического уравнения:
Утихт + иуу = 0, тп > -2, 0 < х < 1, у > О,
«(0,у) = «(1,2/), «, (0,у) = 0, у > 0, и(х.О) = /(ж), 0 < х < 1, в классе функций a £ C(G) p|C2(Gr), в предположении, что и(х,у) ограничена или стремится к нулю на бесконечности. Методом спектрального анализа доказана теорема единственности и существования решения поставленной задачи.
В работах Сабитова К.Б. и О.Г. Сидоренко [67, 64| исследована нелокальная задача для вырождающегося уравнения эллиптического типа
Lu = tmuxx -b utt — b2tmu = 0 ,
где 777 = const > 0, b = const > 0, в прямоугольной области D+ = {(ж, £)| 0 <
х < 1,0 < t < в}, 0 - заданное положительное число, и в полуполосс (0 =
+оо), методом спектрального анализа со следующими условиями:
и(х, 0) = ¥>(%), и(х,0) = ф(х), 0 < х < 1;
«(0,г) = «(М), «*((),£) = ux(l,t), 0 < t < 0.
Аналогично для вырождающегося уравнения гиперболического типа
Lu = (—t)muX£ - utt — b2(—t)mu = 0 ,
где in = const > 0, b = const > 0, в области D= {(ж,£)1 0 < x < 1, —a < t < 0}, a - заданное положительное число, рассмотрена нелокальная задача с аналогичными граничными условиями.
9
Нахушев A.M. [44] установил критерий единственности решения задачи Дирихле для уравнений смешанного типа в цилиндрической области.
Сабитовым К.Б. [67. 68] исследована задача Дирихле для вырождающегося уравнения смешанного типа
sgn t • \t\murx + utt — b2sgn t • \t\mu = 0 , m > 0, b > 0,
в прямоугольной области и в полуполосе. Методами спектрального анализа установлен критерий единственности и существование решения задачи Дирихле в виде суммы ряда Фурье.
В работе Сидоренко О. Г. [79] для вырождающегося уравнения смешанного типа
Lu = K(y)vxx + иуу - b2 К (у)и = 0, (0.7)
где К (у) = sgny • |^|m, т = const > 0, b = const > 0, в прямоугольной
области D = {(т,2/)| 0 < х < 1, —а < у < /3], а, /3 > 0, следуя [67] доказана однозначная разрешимость нелокальной задачи: найти в области D функцию и(х,у), удовлетворяющую условиям:
и(х,у) Е C(D) HC\D U {х = 0} U {х = 1}) П C2(D+ U £>_); (0.8)
Lu(xty) = 0, (.т, у) G D+ U (0.9)
^х(0, у) = их( 1, у), гг(0; у) = и( 1, у), -а < у < (3\
и(х,/3) = ^(х), 0 < х < 1; иу{х, —а) — ф(х), 0 < х < 1,
где ip(x) и i>(x) — заданные достаточно гладкие функции.
Сабитовой Ю.К. [72] для уравнения смешанного типа (0.7) в прямоугольной области D исследована следующая нелокальная начально-граничная задача: найти в области D функцию и(х\у), удовлетворяющую условиям (0.8), (0.9) и
и(0,у) =и(1,у), txx(0,у) = 0, -а<у </3,
ю
- Київ+380960830922