Тэта-функции на косых произведениях двумерных торов

Оглавление
1 Введение 3
1.1 Постановка задами..................................... 3
1.2 Симнлектические и кэлеровы многообразия............... 4
1.3 Классическая тэта-функция............................. 8
1.4 Общие 1>езультаты о вложении в комплексное проективное
пространство.......................................... 11
1.5 Ниль- и солвмиогообразия.............................. 13
1.6 Косые произведения двумерных горов.................... 14
1.7 ГЬіан работы.......................................... 16
2 Тэта-функции на многообразии Кодаиры—Терстона 19
2.1 Свойства классической тэта-функции....................20
2.2 Тэта-функции многообразия Кодаиры-Терстона............21
2.2.1 Тэта-функция — сечение линейного комплексного расслоения............................................. 22
2.2.2 Мультипликативное свойство 0ИТ..................24
2.3 Вложение Мкт в комплексное проективное пространство . 24
2.4 Вложение является спмплектпческим отображением .... 31
3 Тэта-функции на косых произведениях дву мерных торов
с нулевым классом Эйлера 36
3.1 Расслоения............................................37
3.2 Тэта-функции на расслоениях...........................39
3.2.1 $м — сечение линейного комплексного расслоения. . 42
3.2.2 Мультипликативное свойство вм .....................43
3.3 Вложение в комплексное проективное пространство .... 44
3.4 Вложение является симплектичсским отображением .... 51
3.5 Связь с другими обобщениями тэта-функций..............55
2
Глава 1
Введение
1.1 Постановка задачи
В диссертации рассматривается важная и интересная задача си милекти'ческой геометрии — построение канонических симплектических вложений замкнутых многообразий с целочисленной симплектической формой в комплексное проективное пространство. Отображения вложения при этом строятся при помощи обобщенных тэта-функций.
Как известно, классическая тэта-функция абелева многообразия, с геометрической точки зрения, является сечением голоморфного линейного расслоения над комплексным тором. Классическая теорема Лефшеца утверждает, что сечения достаточно большой тензорной степени этого расслоения задают комплексно-аналитическое вложение абелева многообразия в некоторое комплексное проективное пространство.
3
Зададимся целью обобщить данную конструкцию на некоторые расслоения, где слой и база — одномерные комплексные торы. Мы вводим аналоги классических тэта-функций как сечения линейных комплексных расслоений над данными расслоениями. Нам однако придется отказаться от голоморфности вложения, так как на данных расслоениях, вообще говоря, нет не только кэлеровой структуры, но и комплексной. Тем не менее, данные многообразия являются симплсктііческимії. Мы будем строить тэта-функции так, чтобы для них выполнялся симплектический аналог теоремы Лефшеца — тэта-фуикции с характеристиками, которые являются сечениями тензорной степени данного линейного расслоения, задают симплектическое вложение многообразия в С1?х (для достаточно больших тензорных степеней). Симплектическое вложение означает, что вкладываемое многообразие наследует симплектическую структуру комплексного проективного пространства.
Автор благодарит Искандера Асановпча Таймаиова за постановку задачи и терпение. Автор также благодарит Андрея Евгеньевича Миронова за полезные обсуждения.
1.2 Симплектические и кэлеровы
многообразия
Гладкое многообразие М размерности 2п называется симплсктическим, если на нем существует невырожденная дифференциальная 2-форма <д, являющаяся замкнутой (сіси = 0). Условие невырожденности можно
4
определить двумя эквивалентными способами. Форма невырождена если для любого ненулевого касательного вектора и € ТМ существует касательный вектор є ТМ такой, что и>(и, у) ф 0, или эквивалентно и>п ф 0 всюду на АТ, то есть о;'1 пропорциональна форме объема.
Пусть (М, и>) и (Аг,о/) обозначают два многообразия М, N с симплектическими формами и и и/ соответственно. Отображение / : М —> N называется симплектическим отображением из (М,и) в (Аг,о/) если /•((*/) = 1Л.
Исторически первыми примерами снмплектпческнх многообразий были кэлеровы многообразия. Компактное комплексное многообразие называется кэлеровы м, если на нем существует эрмитова метрика такая, что ассоциированная с ней форма
и = А №
2п
замкнута, то есть — 0. Сама метрика при этом тоже называется кэлеровой.
Таким образом все кэлеровы многообразия являются
симплектическими. Возник естественный вопрос о том, существуют ли симнлектическис многообразия, не являющиеся кэлеровыми. Терстон в своей работе (1| привел первый пример такого многообразия. Позже выяснилось, что данный пример был ранее известен Кодаире [4], поэтому это многообразие называется многообразием Кодаиры-Терстоиа. Известно, что если многообразие кэлерово, то это налагает серьезные топологические ограничения. Так например, нечетномерные числа Бетти должны быть четны. Терстон для многообразия Кодаиры-Терстона вычислил Ь1, оказавшееся равным 3, и тем самым доказан, что
/
данное многообразие не является кэлеровым.
Если класс когомологии [о>] формы ассоциированной с кэлеровой метрикой лежит в целочисленном классе когомологий,
и ЄЯ2(М;2) С Н2(М\К),
то данное многообразие называется ходжевым, а сама ({юрма ходжевой. Целочислснность означает, что периоды и> по всем циклам из Н2{М\Ъ) являются целыми числами. Пример ходжева многообразия — это комплексное проективное пространство с формой, ассоциированной с метрикой Фубини-Штуди.
Пространство Сі?п определяется как фактор-пространство Сп+|\{0} по действию С* = С\{0}:
(Д > • • • 5 -=") -> (А*0, А*1 Агп), А є С*.
На этом пространстве задана метрика Фубини-Штуди, имеющая в однородных координатах (г° : ... : гп) вид
(Е,*1*) • - (Е
(Е*л*)*
Этой эрмитовой метрике сопоставим однозначно форму
УЕГ (Е, &) • Е* л* л л* - (Е, **<в0 л (Е* з*«ь*)
2ТГ ‘ (Е*Л*)*
Комплексное многообразие называется проективным алгебраическим, если оно вкладывается в комплексное проективное пространство СР" как множество нулей системы однородных многочленов.
б