Оглавление
Введение 4
1. Существование и единственность решения, его свойства
в случае неограниченной области 28
1.1. Решения с начальной вектор-функцней из Ь-ДП)....... 33
1.1.1. Существование решения для квазилинейной системы ................................................. 33
1.1.2. Существование производных решения для слабо нелинейной системы ....'............................... 48
1.1.3. Единственность решения и энергетическое неравенство ............................................... 63
1.2. Решение с начальной вектор-функцией из 1>2(П) П 67
1.2.1. Существование ограниченного решения............ 67
1.2.2. Принцип максимума и единственность ограниченного решения .......................................... 71
1.3. Решения с локально суммируемой начальной всктор-
функиией.............................................. 74
1.3.1. Класс единственности .......................... 77
1.3.2. Существование решения с растущей начальной вектор-функций......................................... 84
2. Оценки сверху 88
2
2.1. Оценка 1|2-нормы решения но внешности шара и скорость стабилизации ее при * —► со............................... 88
2.2. Оценка Ь2-нормы производных и равномерная оценка решения .................................................... 95
2.3. Равномерная оценка шраниченного решения........... 99
3. Оценки снизу 102
3.1. Оценка Ьо-нормы для линейного автономного уравнения 103
3.2. Равномерная оценка для линейного уравнения......... 109
3.3. Точпыс оценки в случае полулинейной системы параболических уравнений....................................... 113
Библиографический список 116
3
Введение
Диссертация посвящена изучению стабилизации решений первой смешанной задачи для параболических уравнений и систем второго порядка с младшими членами в цилиндрической области О = {/ > 0} хО, где П — произвольная неограниченная область пространства П„, п>
2. Рассматривается зависимость поведения решения этой задачи при больших значениях времени < от неограниченной по пространственным переменным области П, лежащей в основании цилиндра.
Исследованию поведения при больших зпачениях времени решений задачи Коши и смешанных задач с однородными граничными условиями для параболических уравнений и систем посвящено большое число работ. Основная часть их касается скалярного уравнения
и* = сИу (Д((, х)Ун). (0.1)
Здесь А(1,х) — симметрическая матрица размера п хп, ее элементами являются измеримые функции г), = 1, п, удовлетворяющие
условию
сМ2 < Е «у(*,*)вд < ^2|у|2, 02 > 1, (0.2)
0=1
для любого вектора у = (у\,У2, ...,уп)еК„ и почти всех (<, ж) € V.
В работах [11], [35] было отмечено, что даже в случае уравнения
(0.1) изучение зависимости поведения решения от совокупности ” переменных” — неограниченной области П. коэффициентов уравнения и начальной функции ^ — является непростой задачей. Поэ тому в литературе выделяются две задачи, в которых стабилизация решения зави-
4
сит. главным образом, только от одной 51 переменной”: п одном случае только от начальной функции, в другом только от области.
Если от начальной функции требовать только ограниченность, то решение уравнения (0.1) не обязано равномерно стабилизироваться. Таким образом, возникает задача о критерии равномерной стабилизации: найти условие на ограниченную начальную функцию, необходимое и достаточное для равномерной стабилизации решения.
В работах [39], [40] было найдено достаточное условие равномерной стабилизации решения задачи Коши для уравнения (0.1) с ограниченной начальной функцией. Позднее критерий равномерной стабилизации решения задачи Коши был установлен В.В. Жиковым [16] и Б. Капнп [52]. Необходимым и достаточным условием равномерной стабилизации к нулю решения задачи Коши для уравнения (0.1) (см. [16], [52]):
и(*,х) —> 0 при * —* оо равномерно по х е
является равномерное стремление к нулю шарового среднего от начальной функции
г~п ! <р{у)<1у —> 0 при г —> оо равномерно по х € Яя.
|у-х|<г
Аналогичный критерий в неограниченной области для второй смешанной задачи был получен А.К. Гущиным, В.П. Михайловым, Ю.А. Михайловым [11], [12], и для первой смешанной задачи — Ф.Х. Мукмино-вым [34].
Другой круг работ посвящен исследованию поведения решения смешанных задач в неограниченной области с финитной начальной функцией, ограниченной в одной из соболевских норм. В случае линейного параболического уравнения поведение решения с неотрицательной финитной начальной функцией, грубо говоря, соответствует поведению функции Грина. Отметим, при этом, что поведение 1>ешений первой
5
смешанной задачи п неограниченной области качественно отличается от поведения решений второй смешанной задачи. Если убывание решения шорой смешанной задачи для уравнения теплопроводности обеспечивается "размазыванием тепла" но все большему объему, и убывание будет тем более быстрым, чем быстрее "расширяется область на бесконечности’'. то убывание решения первой сметанной задачи обеспечивается, в основном, оттоком тепла через границу, и убывание будет' тем более быстрым, чем медленнее ”расширяется область на бесконечности". При этом фактор "размазывания тепла" действует и в случае первой смешанной задачи.
Как показано в работах А.К. Гущина [8]-[10], A.B. Лежнева [28], для уравнения теплопроводности в случае второй смешанной задачи происходит "равномерное распространение тепла" но области, состоящей из точек, удаленных от носи теля финитной начальной функции на. расстояние \Д.
Сформулируем условия, накладываемые в [8] на неограниченную область П. Рассматривается функция l(v) = iuf mes„_i(ö<2nfi),
IÛ6SnQ—v
где Q — произвольное открытое подмножество И. Непрерывная положительная монотонно неубывающая функция g(v), v > 0. удовлетворяет условию: существует такая положительная постоянная (ео < 1/п), что функция vl~£a/g(v) монотонно неубывает дня всех v > 0. Область Q принадлежит классу А(д), если для всех v >0, /(f) > g(v). Пуст ь начало координат принадлежит области П. Область U из класса .4(ÿ) считается принадлежащей классу Вуд), если существуют такие положительные постоянные s, 5. R. что для любого г > R справедливы неравенства:
0(4О)>44ОГ, w(r)<S(v(r)r,
где tî(r) = meSnQr, Qr = {х g О : |я| < r}, iu(r) = ines„_i{£ Є П : |x| = r}, 0 < fto < (ÎJ - l)/n-
Если область 12 удовлетворяет условию В(д), то решение u(t,x) второй смешанной задачи для уравнения (0.1) с финитной начальной функцией <р(х) подчиняется неравенству
sug |u(t,*)l < C\\v\\Ll[{l)/v(\fi), t > 0,
а если начальная функция <р £ 0 еще и неотрицательна, то при достаточно больших I и неравенству
sup a(<,x) > с/о(\/*).
A.B. Лежневым изучалась зависимость поведения при больших значениях времени неотрицательного решения второй смешанной задачи для параболического уравнения (0.1) от неограниченной области 12 и начальной функции <р. При некоторых условиях на область 12 установлено, что при больших значениях времени норма ||u(f)||is решения
ведет себя, как функция Ф(\/7), где
Ф(г) = f ip^dx/vir), г > 0.
ß'
А.Ф. Тедеевым в работе [43] исследовалось решение второй смешанной задачи для вырождающегося квазилинейного параболического уравнения
ut = YL -^-a,(J,x, Vu) - Alu^w, q > 0. А > 0. (0.3)
»=1 <lXi
Здесь функции а,(<,х,£), i = 1,2,непрерывны по ( € и изме-
римы по (/, х) € D и для всех £, rj 6 Нп при п.в. (t, х) е D удовлетворяют условиям
£ (а,(<,х,0 - (i{(t,x, j})) (& - 1ц) > с, |С - v|m+1, т > 1,
1=1
Iа&,х,0 - <*.(*,*, r/)| < с2т + |r/|)m_1|C - '/1> * = 17«,
7
at'(f,ar,0) s 0, i = l,n.
Для неотрицательного решения второй смешанной задачи в неограниченной области U из класса В(д) в случае уравнения (0.3) при Л = 0 с неотрицательной начальной функцией р(х) G Ь^+\ П L^Q), />о > 1, получены точные оценки величины М(t) = vrainiaxu(t,x). В частности, для начальной функции <г>(х), удовлетворяющей условию
с(1 + 1*1)- < ф) < С( 1 + 1*1)-, 7——4т--------------------Г < а <
(ро + 1)(1 - ао) 1 - ао
при достаточно больших 1 > 0 выведены неравенства
drl/((l-O0)(n.+l)+m-l)ln< < j< £rl/((l-«0)(n>+l)+m-l) lnt
Кроме того, в неограниченной области Q из класса А(д) при Л ф 0 установлена оценка сверху функции M(t) при достаточно больших t.
В работах [46]-[48], [36] рассматривались смешанные задачи для параболического уравнения (0.1) в нецилиндрических областях. А именно, в [48] и [36] для первой смешанной задачи в предположении ограниченности сечений области плоскостями t = const получены оценки скорости стабилизации решения в терминах первого собственного значения соответствующего эллиптического оператора па этих сечениях. В работах [46], [47] В.И. Ушаковым в предположении, что пецилин-дрическая область расширяется при возрастании времени, установлена справедливость результатов, близких к приведенным выше для случая второй смешанной задачи; при этом рассматривалось краевое условие, обеспечивающее сохранение энергии.
Многими авторами изучаются решения начально-краевых задач для полулинейного уравнения вида:
Щ = Д« - q > 0, (0.4)
причем, в большинстве работ, рассматривается асимптотическое поведение при t —> оо в зависимости от значения показателя q. В статье [50]
8
А. Опнга и Ь. \eron показано, что поведение решения задачи Коши для уравнения (0.4) определяется двумя факторами: начальной функцией у? и знаком 2/п — </. В частности, при <р 6 11 (Яп) и е/ > 2/п решение ведет себя подобно уравнению теплопроводности.
В.Н. Арефьевым, В.А. Кондратьевым в [1] выведена следующая оценка решения задачи Коши для уравнения (0.4):
причем установлено, что при q > 2/п показатель у точный. Там же рассматривалось поведение при * -* оо решения уравнения (0.4), удовлетворяющего второму краевому условию. В случае ограниченной области для обобщенного решения получено представление:
где V(t,x) = о(ехр(-/3*)) при t -* оо, /3 = const > О, С, т = const >
0. В [15] этот результат обобщен для полулинейной параболической системы общего вида. Более подробный обзор работ по стабилизации решений параболических уравнений и систем можно найти в работах
В диссертации рассматривается первая смешанная задача для квазилинейных параболических систем второю порядка дивергентного вида
|и| < С*"7, t > 0, 7 = max(l/q, п/2),
и(М) = С(( + г)-‘Л + К(М),
И, (17], И-
и,= div(A(t,s, Vu)) - а(*,т, u), (t,x)eD\ (0.5)
h|s = mx), S = {t>0}xdil Є (0.6)
u|«=0 = Ф)л <p(x) € L*(ft);
где u(/,x) — N-мерная вектор-функция.
(0.7)
(0.8)
9
Ставится задача — отыскать геометрические характеристики неограниченной области ІЇ, определяющие поведение при і —* ос следующего функционала
-1и НифЦь^п)
от решения задачи (0.5)-(0.8) с финитными вектор-функциями ф(1,х), ф(х). Целью настоящей работы является получение оценок Ь2(П), Ьоо(Г2)-норм решений выделенпых систем в терминах найденных геоме-трических характеристик, установление точности полученных оценок для полулинейных систем частпого вида.
Следуя [35] задачу об изучении зависимости поведения решения от іеометрии неограниченной области назовем задачей ”о затухании финитного возмущения”. Требование ограниченности носителей начальной и граничной функций существенно, гак как в противном случае скорость стабилизации решения зависит не только от области 1), но и от начальной функции р даже при ф — 0 (см. [35]).
Перед тем, как перейти к изложению содержания работы введем некоторые обозначения. Положим: || • ||^^>, (•,•)<? норма в пространстве Ьр(Я) и скалярное произведение в Ь-і(С}), соответственно, причем значения $ = ІЇ и р = 2 могут быть опущены; В(р, г) — шар радиуса р с цептром в точке г є Яп, в случае г = (0,0, — 0) будем писать Вр\ = {х Є Яп : а < |л] < &}, Ю* = ІЇГ\Р%, причем параметры а = 0 и Ь = оо могут отсутствовать; дії'' = 6Г = {х € дії : |а:| <
г}, Ъ = {х Є п : и = г}; Е% = (с.,/3) хП, 5# = (с,.3) х 90, Д2(г) = (ог,/3) х Пг, 5^(г) = (а,/3) х 6Г, причем параметры а = 0 и /3 = оо могут отсутствовать.
Определим класс областей вращения:
ії = ІЇ(/) = {х<= Яп, X = (хьх'): И < /(*,), а:, > 0}, (0.9)
где / — положительная измеримая функция. Параметр / будем писать
10
- Київ+380960830922